第2章 2.2 第2课时 分段函数 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦分段函数核心知识点，系统梳理从函数求值、定义域求解到图象绘制、实际应用的脉络，通过基础选择、填空及综合解答题，搭建从概念理解到问题解决的学习支架。 资料以情境化问题（如茶叶温度与时间关系）培养数学眼光，通过分类讨论（分段函数求值）发展数学思维，结合图象绘制（绝对值函数）强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

1．已知函数f(x)＝则f(f(2))的值为(　　) A．11 B．0 C．5 D．4 解析：选C.由题可得f(2)＝－2×22＋8＝0，f(f(2))＝f(0)＝5. 2．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 解析：选C.[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞). 3．函数f(x)＝|1－x|的图象大致是(　　) 解析：选B.由题设知f(x)＝ 根据各选项图象知，B符合要求． 4．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y(单位：℃)和泡茶时间t(单位：min)满足关系式y＝若喝茶的最佳口感水温大约是60 ℃，则需要等待的时间为(　　) A．1.5 min B．2 min C．3 min D．4 min 解析：选D.令60＝－10t＋100，解得t＝4；令＝60，解得t＝2，不符合题意， 所以需要等待的时间为4 min. 5．(2026·南阳月考)已知函数f(x)＝则y＝f(x)图象与x轴交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B.当x≥1时，由f(x)＝0，得＝0，显然无实数解； 当x<1时，由f(x)＝0，得－x2＋2＝0，解得x＝－或x＝(舍去). 综上所述，y＝f(x)图象与x轴的交点有1个． 6．(多选)(2026·山西期中)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(f(－1))＝1 B．若f(x)＝3，则x的值是 C．f(x)<1的解集为(－∞，1) D．f(x)的值域为(－∞，4) 解析：选ABD.对于A，因为f(x)＝所以f(－1)＝－1＋2＝1， 所以f(f(－1))＝f(1)＝12＝1，故A正确； 对于B，若f(x)＝3，则当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝3，解得x＝1(舍去)； 当－1<x<2时，f(x)＝x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝， 所以f(x)＝3的解为x＝，故B正确； 对于C，当x≤－1时，f(x)＝x＋2<1，解得x<－1； 当－1<x<2时，f(x)＝x2<1，解得－1<x<1. 所以f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故C错误； 对于D，当x≤－1时，f(x)＝x＋2≤－1＋2＝1； 当－1<x<2时，f(x)＝x2∈[0，4). 所以f(x)的值域为(－∞，4)，故D正确． 7．已知函数f(x)＝若f(x0)＝5，则x0＝________． 解析：若x0≤0，可得x＋1＝5，解得x0＝－2或x0＝2(舍去)；若x0>0，可得－2x0＝5，解得x0＝－，与x0>0矛盾，故舍去．综上可得x0＝－2. 答案：－2 8．若函数f(x)＝且f(f(－1))＝，则a＝________． 解析：f(－1)＝(－1)2＋1＝2， f(f(－1))＝f(2)＝＝，解得a＝0. 答案：0 9．设函数f(x)＝若f(m)＞m，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得或 解得m＜－1. 答案：(－∞，－1) 10．(13分)已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|. (1)把函数f(x)写成分段函数的形式；(6分) (2)画出函数f(x)的图象，并写出函数的值域．(7分) 解：(1)当x＜－1时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x， 当－1≤x≤2时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3， 当x＞2时，f(x)＝x－2＋x＋1＝2x－1， 所以f(x)＝ (2)f(x)的图象如图所示： 由图象知所求值域为[3，＋∞). 11．设f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则(　　) A．函数y＝F(x)的最大值为3，最小值为1 B．函数y＝F(x)的最大值为2－，无最小值 C．函数y＝F(x)的最大值为7－2，无最小值 D．函数y＝F(x)的最大值为3，最小值为－1 解析：选C.在同一平面直角坐标系中先画出f(x)与g(x)的图象，F(x)的图象如图中实线所示，由图象可知，当x＜0时，F(x)取得最大值，此时f(x)＝3＋2x，所以由3＋2x＝x2－2x，解得x＝2＋(舍去)或x＝2－， 即当x＝2－时，函数F(x)有最大值7－2，无最小值． 12．(2026·阜阳月考)已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是(　　) A．{x|x≤1} B．{x|x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|x<0} 解析：选A.因为当x≥0时， f(x)＝1，所以xf(x)＋x≤2，等价于x≤1，所以0≤x≤1；因为当x＜0时，f(x)＝0，所以xf(x)＋x≤2，等价于 x≤2，所以x<0.综上，原不等式的解集是{x|x≤1}．　 13．(13分)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(10))的值；(5分) (2)求f(x)的最大值．(8分) 解：(1)因为f(10)＝－102＋20×10－64＝36，所以f(f(10))＝f(36)＝－36－＋76＝31. (2)当x∈[3，12)时，f(x)＝－x2＋20x－64＝－(x－10)2＋36， 当x＝10时，f(x)取得最大值f(10)＝36； 当x∈[12，40]时，f(x)＝－x－＋76＝－＋76≤－2＋76＝40， 当且仅当x＝时，即x＝18时，等号成立， 则f(x)的最大值为f(18)＝40. 综上，f(x)的最大值为40. 14．(15分)某超市引进A，B两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，B类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，B类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，B两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货x(30≤x≤70，x∈N＋)千克．假设A，B类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克． (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利f(x)(单位：元)的表达式；(7分) (2)若f(x)≥322，求x的取值范围．(8分) 解：(1)当30≤x≤50，x∈N＋时，f(x)＝3x＋50×5－3(100－x－50)＝6x＋100； 当50＜x≤70，x∈N＋时，f(x)＝50×3＋5×(100－x)－1×(x－50)＝700－6x. 故f(x)＝ (2)当30≤x≤50，x∈N＋时，由6x＋100≥322，解得x≥37； 当50＜x≤70，x∈N＋时，由700－6x≥322，解得x≤63. 故x的取值范围是{x∈N＋|37≤x≤63}． 15．函数f(x)＝(1－x)|x－3|在(－∞，t]上取得最小值－1，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．[2－，2] C．[2，2＋] D．[2，＋∞) 解析：选C.由题意得f(x)＝ 即f(x)＝则作出函数f(x)图象如下， 根据图象可得当x≥3时，令－x2＋4x－3＝－1，解得x＝2＋； 当x＜3时，令x2－4x＋3＝－1，解得x＝2，所以2≤t≤2＋. 学科网（北京）股份有限公司 $