第2章 3 第1课时 函数的单调性和最值-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦函数的单调性和最值核心知识点，从气温变化图等实际情境引入，抽象出增减函数定义及单调区间概念，过渡到最值的定义与几何意义，结合例题形成直观到抽象、定义到应用的学习支架。 以泰山文化情境导入培养数学眼光，通过图象法分析单调性与最值发展几何直观，实际利润计算问题体现数学语言表达，课中助教师引导递进教学，课后学生可借例题练习查漏补缺。

§3　函数的单调性和最值 新课导入 学习目标 　　泰山作为中国地理文化的象征，以其拔地通天之势屹立在齐鲁大地之上，泰山的美在于它的起伏变化．类似地，作为高中数学的核心，函数的魅力也是如此．今天我们一起来探究函数的起伏变化——函数的单调性． 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会用定义证明函数的单调性． 2．理解函数的单调区间的概念并会求函数的单调区间，会判断函数单调性． 3．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值． 4．能利用函数的最值解决相关的实际应用问题． 第1课时　函数的单调性和最值 知识点一　函数的单调性 下图为某地区24小时内的气温变化图． 思考1　从左向右看，图象是如何变化的？ 提示：从左向右看，图象先下降，后上升，再下降． 思考2　气温在哪些区间上升？哪些区间下降？ 提示：气温在区间[4，14]内上升，在区间[0，4)和(14，24]内下降． [知识梳理] 1．定义域为D的函数y＝f(x)的增减性 函数 增函数 减函数 条件 设函数y＝f(x)的定义域是D，如果对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 结论 y＝f(x)是增函数 y＝f(x)是减函数 特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 2.函数的单调性及单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．此时，区间I为函数y＝f(x)的单调区间． [例1] (对接教材例1)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 【解】　y＝－x2＋2|x|＋3＝ 函数图象如图所示． 函数在区间(－∞，－1]，[0，1]上单调递增，在区间[－1，0]，[1，＋∞)上单调递减．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞). 母题探究　将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示， 由图象可知其单调递增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1]，[1，3]. 解决能作出图象的函数的单调性问题时，都可应用图象法判断函数的单调性，图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断． [跟踪训练1] 写出下列各函数的单调区间： ①y＝； ②y＝ ③y＝|x2－4x＋3|. 解：①y＝＝1＋，函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以y＝的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递减区间． ②作出函数y＝的图象如图所示，由图可知函数的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0]. ③先画出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示． 由图可知，函数在(－∞，1]和[2，3]上单调递减，在[1，2]和[3，＋∞)上单调递增，故y＝|x2－4x＋3|的单调递增区间为[1，2]，[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，[2，3]. 知识点二　函数的最值 [知识梳理] 类别 最大值 最小值 条件 若存在实数M，对所有的x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 称M为函数y＝f(x)的最大值 称M为函数y＝f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 [例2] (对接教材例2)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间和最值． 【解】　y＝f(x)＝的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]，单调递增区间为[2，＋∞).由图知，当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为－4；f(x)无最大值． 图象法求最值的一般步骤 [跟踪训练2] (1)用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C.在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象，如图所示． 根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象应为图中的实线部分． 解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6， 故f(x)的最大值即图象最高点的纵坐标，为6. (2)已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值． 解：作出函数y＝f(x)的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取得最大值2；当x＝时，f(x)取得最小值－.所以f(x)的最大值为2，最小值为－. 应用点　函数最值的实际应用 角度1　利用函数最值求参数 [例3] (1)函数f(x)＝(k>0)在[4，6]上的最大值为1，则k＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是__________． 【解析】　(1)由题意，当k>0时，函数y＝在[4，6]上单调递减， 所以f(x)在[4，6]上的最大值为f(4)＝＝1，解得k＝3.故选C. (2)y＝f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，作出函数f(x)的图象，如图所示， 当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝2，且f(0)＝f(2)＝3. 因为函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2， 则实数m的取值范围是[1，2]. 【答案】　(1)C　(2)[1，2] 角度2　函数最值的实际应用 [例4] 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当0＜x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y(单位：万元)与x(单位：件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 【解】　(1)当0＜x≤20时，y＝33x－x2－x－100＝－x2＋32x－100； 当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x. 故y＝(x∈N＋). (2)当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156. 而当x＞20时，160－x＜140， 故当x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元． 即当该工厂年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元． (1)利用函数最值求参数就是求最值的逆运算，掌握求最值的几个基本方法：图象法、单调性法即可． (2)解决实际应用问题的步骤 ①审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系． ②建模：建立数学模型，列出函数关系式． ③求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). ④检验：数学问题回归实际问题，写出答案． [跟踪训练3] (1)已知函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(－1，0) C．[1，2) D．[－1，2) 解析：选D.y＝＝－1＋，因为x∈(m，n]，故－1∉(m，n].若m≥－1，则y＝－1＋在(m，n]上单调递减，故y＝－1＋的最小值为－1＋＝0，解得n＝2，故－1≤m<2.若n<－1，则y＝－1＋在(m，n]上单调递减，故y＝－1＋的最小值为－1＋＝0，解得n＝2，与n＜－1矛盾．故选D. (2)将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个， 销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个， 则y＝(x－40)(1 000－10x) ＝－10(x－70)2＋9 000. 故当x＝70时，ymax＝9 000. 即当售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元． 1．已知函数f(x)＝x2＋x－2，则函数f(x)在区间[－1，1)上(　　) A．最大值为0，最小值为－ B．最大值为0，最小值为－2 C．最大值为0，无最小值 D．无最大值，最小值为－ 解析：选D.因为f(x)＝x2＋x－2是以直线x＝－为对称轴、开口向上的二次函数，－∈[－1，1)，由函数的图象(图略)知，当x＝－时，函数有最小值为－；当x＝1时，函数有最大值为0.但是定义域是[－1，1)，所以函数f(x)在区间[－1，1)上无最大值，最小值为－. 2．(多选)设函数f(x)＝(2＋a2)x＋3，x∈[－2，7]的最大值为M，最小值为m，若M－m＝27，则实数a的值可以是(　　) A．3 B．－1 C．1 D．2 解析：选BC.因为2＋a2≥2>0，所以函数f(x)＝(2＋a2)x＋3，x∈[－2，7]是增函数，所以M＝f(7)＝7(2＋a2)＋3＝7a2＋17，m＝f(－2)＝－2(2＋a2)＋3＝－2a2－1，由M－m＝7a2＋17－(－2a2－1)＝27，解得a＝±1，即实数a的值可以是1或－1.故选BC. 3．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2，4])的单调递增区间为________． 解析：f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1.其图象开口向上，对称轴为直线x＝1，又x∈[－2，4]，故f(x)的单调递增区间为[1，4]. 答案：[1，4] 4．已知函数f(x)＝ (1)画出函数的图象并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图象求出函数的最小值． 解：(1)函数的图象如图所示． 由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无单调递减区间． (2)由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1. 1．已学习：增函数，减函数，函数的单调区间，函数的最值的定义． 2．须贯通：利用函数图象求函数的单调区间与函数的最值． 3．应注意：(1)函数的单调区间误用并集； (2)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素． 学科网（北京）股份有限公司 $