第2章 2.2 第1课时 函数的表示法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“函数的表示法”核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示方法，衔接初中已学内容，通过实际情境引入，逐步深入函数图象特征、描点法作图及待定系数法、换元法等解析式求法，构建完整知识支架。 以心电图实例导入培养数学眼光，通过售彩电等例题对比三种表示法，结合跟踪训练强化应用，体现数学思维的逻辑推理。注重定义域标注、图象虚实点等细节，助学生用数学语言精准表达，课中辅助分层教学，课后方便学生回顾补缺。

2．2　函数的表示法 新课导入 学习目标 利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图．医生看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果．这就是本节我们学习的函数的表示方法，除了用图象法表示函数，还有哪些表示方法呢？ 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如解析法、图象法、列表法等)表示函数． 2．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象． 3．能在实际问题中列出分段函数的表达式，并能解决有关问题． 第1课时　函数的表示法 知识点一　函数的表示法 思考1　在初中我们学习了函数的哪些常用表示方法？ 提示：解析法、列表法、图象法． 思考2　举例说明，任何函数都能用解析法表示吗？ 提示：不一定，如某人的身高与年龄的关系． [知识梳理] [例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 【解】　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示． (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 应用函数的三种表示方法的三个注意点 (1)解析法必须注明函数的定义域． (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系． (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． [跟踪训练1] 已知函数y＝f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x).　 解：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示． 用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示． x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 知识点二　函数的图象 [知识梳理] 1．函数图象的特征 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． 2．描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域) [例2] (对接教材例3)作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 【解】　(1)当x∈[2，＋∞)时，函数的图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1].　 (2)当－2≤x≤2时，函数的图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1，8]. 函数图象的作法及注意点 (1)作函数图象最基本的方法是描点法：主要有三个步骤——列表、描点、连线．作图象时一般先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图象． (2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意特殊点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等，还要分清这些特殊点是实心点还是空心圈． [跟踪训练2] 画出下列函数的图象，并判断函数是否存在最值，若存在，求出最值． (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1). 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1，由图象知，函数存在最大值1，无最小值． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线．如图2中实线部分，由图象知，函数不存在最值． 知识点三　函数解析式的求法 角度1　待定系数法 [例3] (1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝3x＋2，则f(x)的解析式为______________． (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为__________． 【解析】　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝3x＋2， 于是有 解得 或 所以f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1. (2)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得 解得 故f(x)＝x2＋1. 【答案】　(1)f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1　(2)f(x)＝x2＋1 角度2　换元法、配凑法 [例4] 已知函数f(＋1)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为________________． 【解析】　方法一(换元法)：令t＝＋1≥1，则x＝(t－1)2， 所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－2t＋3， 即f(x)＝x2－2x＋3(x≥1). 方法二(配凑法)：因为f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－2(＋1)＋3，其中＋1≥1，所以f(x)＝x2－2x＋3(x≥1). 【答案】　f(x)＝x2－2x＋3(x≥1) 角度3　解方程组法 [例5] (1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)－2f＝－1，则函数f(x)的解析式为________________． (2)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为___________________________________. 【解析】　(1)因为f(x)－2f＝－1，①　 将x换成，得f－2f(x)＝－1，② ①②联立，消去f，得f(x)＝＋(x>0). (2)在原式中用－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，于是得 消去f(－x)，得f(x)＝. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x，a≠±1.　 【答案】　(1)f(x)＝＋(x>0) (2)f(x)＝x，a≠±1 求函数解析式的常用方法 (1)换元法(有时可用配凑法)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或配凑法)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). (2)解方程组法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，进而得到目标变量的解析式． (3)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． [跟踪训练3] (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为____________________． 解析：因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， 所以f(x)＝x2－4(x≥2). 答案：f(x)＝x2－4(x≥2) (2)已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F()＝19，F(1)＝9，则F(x)＝__________________. 解析：根据题意设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，x≠0)， 则F(x)＝f(x)＋g(x)＝kx＋(x≠0)， 因为F()＝19，F(1)＝9， 所以 解得 所以F(x)＝3x＋(x≠0). 答案：3x＋(x≠0) (3)已知f＝，那么f(x)的解析式为______________． 解析：由f＝可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0，且x≠－1}． 令t＝(t≠0，且t≠－1)，则f(t)＝＝， 故f(x)＝(x≠－1，且x≠0). 答案：f(x)＝(x≠－1，且x≠0) 1．观察下表： x －3 －2 －1 1 2 3 f(x) 5 1 －1 －3 3 5 g(x) 1 4 2 3 －2 －4 则f(f(－1)－g(3))＝(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．5 解析：选D.由题表知，f(－1)＝－1，g(3)＝－4，所以f(f(－1)－g(3))＝f(3)＝5. 2．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4 解析：选A.方法一：令2x＋1＝t，则x＝. 所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2.所以f(x)＝3x＋2. 方法二：因为f(2x＋1)＝6x＋5＝3(2x＋1)＋2， 所以f(x)＝3x＋2. 3．(教材P57T1(2)改编)已知函数p＝f(m)的图象如图所示．则函数p＝f(m)的定义域为____________，值域为____________． 解析：由题图可以看出m的取值范围为[－3，0]∪[1，4]，所以函数p＝f(m)的定义域为[－3，0]∪[1，4]；由题图可以看出p的取值范围是[－2，2]，故函数p＝f(m)的值域为[－2，2]. 答案：[－3，0]∪[1，4] 　[－2，2] 4．(2026·驻马店月考)求下列函数的解析式． (1)若f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式． 解：(1)方法一(换元法)：设t＝＋1，x≥0， 则x＝(t－1)2，t≥1. 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， 所以f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二(配凑法)：因为x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1). (2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝ax＋5a＋b＝2x＋17， 所以解得 故f(x)＝2x＋7. (3)因为f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，所以将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，联立两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，所以f(x)＝x2－2x. 1．已学习：函数的表示法，函数的图象． 2．须贯通：用待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法求函数解析式． 3．应注意：求函数解析式时易忽视定义域． 学科网（北京）股份有限公司 $