第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词，系统梳理全称量词（如“所有”“任意”）、存在量词（如“有些”“存在”）的意义，构建全称量词命题与存在量词命题的识辨、真假判断及由命题真假求参数范围的完整知识链。 以罗素理发师悖论趣味导入，激发学生用数学眼光观察现实世界的好奇心。通过实例分析命题类型、判断真假及参数求解，培养数学思维的推理能力，用符号语言（∀、∃）精确表达，课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

2．2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 新课导入 学习目标 　　某位理发师的广告词是这样写的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢？这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！ 1.理解全称量词与存在量词的意义． 2．理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念. 3．能判定全称量词命题与存在量词命题的真假并掌握其判断方法． 知识点一　全称量词命题与存在量词命题的识辨 [知识梳理] 1．全称量词命题与全称量词 (1)全称量词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题． (2)全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． 2．存在量词命题与存在量词 (1)存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题． (2)存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． [例1] (对接教材例4、例5)判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (2)负数的平方是正数； (3)有些三角形不是等腰三角形； (4)每个二次函数的图象都与x轴相交． 【解】　(1)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题． (2)中省略了全称量词“所有”，所以是全称量词命题． (3)中含有存在量词“有些”，所以是存在量词命题． (4)中含有全称量词“每个”，所以是全称量词命题． 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤如下： [跟踪训练1] 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)∀x∈Z，(2x＋1)2>0； (2)凸多边形的外角和等于360°； (3)存在实数x，使x2≥2； (4)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0. 解：(1)含有全称量词“∀”，是全称量词命题． (2)可改成为任意凸多边形的外角和等于360°，是全称量词命题． (3)含有存在量词“存在”，是存在量词命题． (4)含有存在量词“存在”，是存在量词命题． 知识点二　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 [例2] 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有x<x；　 (3)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. 【解】　(1)(2)是全称量词命题，(3)是存在量词命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在x1＝－5，x2＝－3，满足x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题． (3)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题． 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 [跟踪训练2] (1)下列命题中是全称量词命题且为真命题的是(　　) A．∀x∈N，2x＋1是奇数 B．存在一个x∈R，使＝0 C．一次函数y＝kx＋b(k≠0)，y随着x的增大而增大 D．∃x，y∈Z，3x－2y＝10 解析：选A.对于A，是全称量词命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题，故A符合题意； 对于B，是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题，故B不符合题意； 对于C，是全称量词命题．当k<0时，y随x的增大而减小，所以该命题是假命题，故C不符合题意； 对于D，是存在量词命题．当x＝4，y＝1时，3x－2y＝10，所以该命题为真命题，故D不符合题意． (2)(多选)(2026·驻马店月考)下列存在量词命题中，是真命题的有(　　) A．∃x∈R，|x|<0 B．存在一个实数，它的绝对值不是正数 C．有些自然数是偶数 D．∃x∈Z，2x＋－1＝0 解析：选BC.对于A，∀x∈R，|x|≥0，故A为假命题； 对于B，存在一个实数0，它的绝对值不是正数，故B为真命题； 对于C，有些自然数是偶数，如2，故C为真命题； 对于D，由2x＋－1＝0，可得2()2＋－1＝0， 因为≥0，解得＝，即x＝，∉Z，故D为假命题． 应用点　由含量词命题的真假求参数 [例3] 已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a >0.若p为真命题，求实数a的取值范围． 【解】　命题p为真命题，转化为a<x对任意x∈{x|1≤x≤4}恒成立，因此a<xmin，即a<1. 母题探究　本例中“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：由题得命题p：∃x∈{x|1≤x≤4}，x－a>0，命题p为真命题，转化为a<x在x∈{x|1≤x≤4}上有解，因此a<xmax，即a< 4. 解决由含量词命题的真假求参数的思路 (1)全称量词命题求参数范围的问题，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可通过构造函数、数形结合、分离参数的方法求参数范围． (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立． [跟踪训练3] 若命题“∃x∈R，使得mx2＋4x－1＝0”为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．－4<m<0　　　　　 B．m>0 C．m≥－4 D．－4≤m≤0 解析：选C.当m＝0时，x＝，符合题意； 当m≠0时，只要Δ＝16＋4m≥0即可，解得m≥－4，即m≥－4且m≠0. 综上，实数m的取值范围为m≥－4.故选C. 1．(教材P20T1改编)下列命题是全称量词命题的是(　　) A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．∃x∈R，x2＝x 解析：选C.选项A，B，D中，分别有“存在”“至少”“∃”这样的存在量词，所以选项A，B，D都为存在量词命题，因为选项C中有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称量词命题．故选C. 2．(2026·无锡期末)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}，则(　　) A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∉B D．∀x∈A，x∈B 解析：选A.A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}， 对于A，∃x∈A，x∈B，这是存在量词命题，只需找到一个x∈A且x∈B的元素即可，例如x＝3，满足3≥1且3>2，故A正确； 对于B，∃x∈B，x∉A，这是存在量词命题，集合B中的元素都在集合A中，故不存在集合B中的元素不属于集合A，故B错误； 对于C，∀x∈A，x∉B，这是全称量词命题，要求所有集合A中的元素都不属于集合B，而3属于集合A，也属于集合B，故C错误； 对于D，∀x∈A，x∈B，这是全称量词命题，要求所有集合A中的元素都属于集合B，而1属于集合A，但不属于集合B，故D错误． 3．若对于任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________．　 解析：对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 答案：(－∞，3] 4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)∀x∈R，x2－4x＋6>0； (3)∃x∈N＋，使x为29的因数． 解：(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，99既能被11整除，又能被9整除，故该命题为真命题． (2)命题中含有全称量词“∀”，故是全称量词命题，因为x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，所以x2－4x＋6>0恒成立，故该命题为真命题． (3)命题中含有存在量词“∃”，故是存在量词命题，当x＝1时，x为29的因数，所以该命题为真命题． 1．已学习：全称量词命题、存在量词命题的概念，含量词的命题的真假判断． 2．须贯通：通过含量词的命题的真假求参数的取值范围． 3．应注意：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”． 学科网（北京）股份有限公司 $