第2章 2.1 函数概念-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学函数概念核心知识点，从复习初中变量定义过渡到高中集合语言定义，涵盖定义域、值域、对应关系及同一个函数判断，通过思考问题、知识梳理、例题与跟踪训练构建学习支架，衔接初高中知识脉络。 该资料以生活实例导入培养数学眼光，通过问题链引导发展数学思维，用集合语言精准表达体现数学语言。例题分类清晰，方法总结实用，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

§2　函　数 2．1　函数概念 新课导入 学习目标 　　许多事物都是动态变化的，我们可以感受它们的变化．早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高……在这些变化的现象中都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化．这两个变量之间存在着函数关系． 1.在复习初中函数概念的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．会判断两个函数是否为同一个函数． 4．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和函数值． 知识点一　函数概念 思考1　初中时，我们已经学习过函数，当时是如何定义的呢？ 提示：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数．其中x叫自变量，y叫因变量．　 思考2　对于坐标平面内的点(x，y)，若y＝1，x∈R，y是否是x的函数？ 提示：是． 思考3　对于坐标平面内的点(x，y)，若x＝1，y∈R，y是否是x的函数？ 提示：不是． [知识梳理] 1．函数的有关概念 函数的定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 集合A称为函数的定义域，x称为自变量 值域 与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域 2.同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 角度1　判断一个对应关系是否为函数 [例1] (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　) (2)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 【解析】　(1)A错误，当x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性；B正确，同时满足任意性与唯一性；C错误，当x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性；D错误，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．故选B. (2) 按照函数的定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． 【答案】　(1)B　(2)AD (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 角度2　同一个函数的判断 [例2] (对接教材例1)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1 B．f(x)＝|x|，g(x)＝()2 C．f(x)＝x，g(x)＝ D．f(x)＝2x，g(x)＝ 【解析】　对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，故f(x)与g(x)不是同一个函数．对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，故f(x)与g(x)不是同一个函数．对于C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，且g(x)＝x＝f(x)，故f(x)与g(x)是同一个函数．对于D，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，g(x)＝2|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一个函数． 【答案】　C 判断两个函数是否表示同一个函数的步骤 [跟踪训练1] (1)下列可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象是(　　) 解析：选C.对于A，其对应函数的值域不是N＝{y|0≤y≤1}，A错误；对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误；对于C，其对应函数的定义域为M＝{x|0≤x≤1}，值域是N＝{y|0≤y≤1}，C正确；对于D，图象不满足一个x对应唯一的y，该图象不是函数的图象，D错误．故选C. (2)(多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝·，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝x＋3 D．汽车匀速运动时，路程与时间t的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5) 解析：选BD.对于A，f(x)＝，g(x)＝，对应关系不同，不是同一个函数；对于B，定义域、对应关系都相同，是同一个函数；对于C，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3，对应关系不同，不是同一个函数；对于D，定义域、对应关系都相同，是同一个函数． 知识点二　求函数的定义域 [例3] (对接教材例2)求下列函数的定义域： (1)y＝·； (2)y＝； (3)y＝－＋； (4)y＝. 【解】　(1)由题意，知 所以x＝1， 所以函数的定义域为{x|x＝1}＝{1}． (2)要使函数有意义，只需 解得x≥4且x≠5， 所以函数的定义域为[4，5)∪(5，＋∞). (3)要使函数有意义，则 解得－≤x＜2，且x≠0. 所以函数的定义域为∪(0，2). (4)由题意，知解得x≤1，且x≠0， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1]. 求函数定义域的几种情形 (1)如果f(x)是整式，其定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合； (3)如果f(x)是偶次根式，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； (4)如果f(x)是由以上几部分数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； (5)f(x)＝x0的定义域是{x|x≠0}． [跟踪训练2] (1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A.[－2，0)∪(0，2] B．[0，2] C．[－2，2] D．(0，2] 解析：选D.要使得函数有意义，则解得0＜x≤2.故选D. (2)函数f(x)＝(x－1)0＋的定义域为(　　) A．[0，1)∪(1，3) B．[0，3] C．[0，1)∪(1，3] D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选A.要使函数有意义，需满足解得0≤x<3且x≠1，所以f(x)的定义域为[0，1)∪(1，3).故选A. 知识点三　求函数值（值域） [例4] (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，求f(2)，g(2)，f(g(3))的值． (2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； ③y＝. 【解】　(1)因为f(x)＝， 所以f(2)＝＝. 又g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6. 因为g(3)＝32＋2＝11，所以f(g(3))＝f(11)＝＝. (2)①因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数的值域是R. ②y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6). ③y＝＝＝＝3－.因为≠0，所以y≠3，所以y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞). (1)求函数值的方法及关注点 ①方法：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；求f(g(a))的值应遵循由里到外的原则． ②关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义． (2)求函数值域的常用方法 ①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域． ②配方法：若函数是二次函数形式，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法． ③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域． ④分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为反比例函数的形式，便于求值域． [跟踪训练3] (1)已知函数f(x)＝ax2－1，a为正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　) A.1 B．0 C．－1 D．2 解析：选A.由题意得f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0.又因为a为正数，所以a＝1. (2)求下列函数的值域： ①y＝－1； ②y＝； ③y＝2x－. 解：①因为≥0，所以－1≥－1，所以y＝－1的值域为[－1，＋∞). ②y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).　 ③设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为. 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(－∞，5) B．(5，＋∞) C．(－∞，5] D．[5，＋∞) 解析：选C.由题意得5－x≥0，解得x≤5，所以函数f(x)＝的定义域为(－∞，5].故选C. 2．(教材P55T2改编)下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是(　　) A．y＝|x| B．y＝ C．y＝()2 D．y＝()3 解析：选D.对于A，对应关系与函数y＝x不同，所以不是同一个函数，故排除A；对于B，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除B；对于C，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除C；对于D，因为函数y＝()3＝x与函数y＝x是同一个函数，故D正确．故选D. 3．(多选)(2026·驻马店月考)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则正整数a的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选BC.函数y＝x2－4x－4的图象如图所示．函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，结合a是正整数，知B，C正确． 4．(教材P55T1改编)已知函数f(x)＝x3＋－3，则f＝____________． 解析：因为f(x)＝x3＋－3，所以f＝3＋－3＝＋4－3＝. 答案： 1．已学习：理解函数的定义，会求函数的定义域，同一个函数的判断． 2．须贯通：求函数值和简单函数的值域． 3．应注意：(1)化简函数的对应关系时要注意定义域的变化； (2)整体代换的思想求函数的定义域和值域． 学科网（北京）股份有限公司 $