2.1-2.2函数的概念及表示讲义-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 函数的概念及表示 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一：函数关系与依赖关系的联系 (1)具有依赖关系的两个变量，不一定具有函数关系； (2)当且仅当对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定值时，才称这两个变量之间有函数关系； (3)运用图形语言说明变量x，y间的关系： 结合依赖关系及函数（初中）的定义可知，图2-1中 变量x，y间具有依赖关系，但不具有函数关系；而 图2-2中变量x，y间具有函数关系和依赖关系． 知识点二：函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域. 注：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）可以“多对一”、“不可一对多”；（4）A中元素的无剩余性；（5）B中元素的可剩余性。 知识点三：区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示． 区间表示：设a，b∈R，且a<b，规定如下 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 1.区间的左端点必小于右端点； 2.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开； 3.用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示； 4.无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则； 5.包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号． 知识点四：同一个函数 1.前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 知识点五：常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 知识点六：函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 知识点八.分段函数 分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域. 1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数. 2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. 3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 4.注意事项 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数； (2)分段函数中各段自变量的取值范围的交集是空集； (3)处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系.　 例题讲解 知识点1、函数关系的判断 例1、下列对应是集合到集合的函数的是(    ) A．， B．，， C．， D．， 例2、下面图象中，不能表示函数的是(    ) A． B． C． D． 练习： 1． (多选)下列对应关系是实数集上的函数的是(　　) A．：把对应到 B．：把对应到 C．：把对应到 D．：把对应到 2． (多选)托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是(    ) A． B． C． D． 3．已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(    ) A．B．C．D． 4． (多选)下列是函数图象的是(    ) A．B．C．D． 知识点二、区间的表示 例1、把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}. 练习： 1．集合 可用区间表示为(　　) A． B． C． D． 2．若实数 满足 ，则用区间表示为(　　) A． B． C． D． 知识点三、函数的定义域 例1、函数的定义域为 (2)求函数的定义域为________． 例2、已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________. (2)已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______. (3)函数的定义域为，则函数的定义域是__________. 例3、已知函数的定义域为，则函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 例4、已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( ) A．{x|x∈R} B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D． 练习： 1．函数的定义域为______． 2．函数的定义域为________. 3．已知函数的定义域为 则的定义域为_________________ 4．函数的定义域为，则的定义域为________. 5．如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x(单位：m)的矩形草坪(阴影部分)，要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 知识点四、同一函数的判断 例1、下列函数表示同一个函数的是(     ). A．与 B．与   C．与 D．与 练习： 1．下列各函数中，与函数表示同一函数的是(    ) A． B． C． D． 2．下列每组中的函数是同一个函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 3．下列各组函数为同一函数的是(　　) ①与;②与;③与. A．①② B．① C．② D．③ 知识点五、三种函数的表示方法 例1、某公共汽车，行进的站数与票价关系如下表： 行进的站数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？ 练习： 1．司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 2．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数. 3．已知完成某项任务的时间与参加完成此项任务的人数之间满足关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过8． (1)写出关于的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出此函数的图象． 知识点六、求函数值或值域 例1、已知，，求： (1)；(2)；(3). 例2、试求下列函数的定义域与值域． (1)，； (2)； (3)； (4). 练习： 1．)(多选)下列函数与的值域相同的是(    ) A． B． C． D． 2．求下列函数的值域. (1);(2);(3),.(4) 知识点三函数解析式 例1、根据下列条件，求的解析式. (1)已知 (2)已知 (3)已知是二次函数，且满足 练习： 1．根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 2．根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知，则的解析式为__________． (2)已知满足，求的解析式． (3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式． 知识点八、分段函数 例1、已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 例2、已知函数． (1)求的值；(2)画出函数的图象． 例3、已知. (1)用分段函数的形式表示该函数. (2)画出区间上的的图象； (3)根据图象写出区间上的值域. 练习： 1．已知函数 (1)求，，；(2)若，求的值． 2．已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 3．已知函数. (1)在所给坐标系中作出的简图； (2)解不等式. 4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 举一反三 1．函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 2．若函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则的定义域是(    ) A． B． C． D． 5．下列四组函数中，表示同一函数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 6．下列四组函数中，表示相同函数的一组是(    )． A．， B．， C．， D．， 7．下列函数中，值域是的是(　　) A． B．， C．， D． 8．某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示该学生离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是(　　) A．B．C．D． 9． (多选)下列四个图象中，是函数图象的是(    ) A．    B．  C．  D．   10．(多选)下列各组函数不是同一个函数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 11．(多选)下列函数定义域和值域相同的是(    ) A． B． C． D． 12． (多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(    )    A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 13． (多选)下列各曲线中，能表示y是x的函数的是(    ) A．B．C．D． 14．函数的定义域为______. 15．若函数的定义域为[－2,1]，则的定义域为_______，的定义域为______． 16． (1)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 17.试求下列函数的定义域与值域. (1)，(2)(3)(4) 18． (1)已知，求的解析式；(2)已知，求函数的解析式； (3)已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； (4)已知，求的解析式． (5)已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式． 19．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式． 20．已知函数 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域． 21．已知函数 (1)求； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中，作出函数的图像. 22．求下列函数的值域． (1)，；(2)；(3)，； (4)y＝；(5)y＝2x－. 课 堂 小 结 一.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 1.任取一条垂直于x轴的直线l； 2.在定义域内平行移动直线l； 3.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 二.判断一个对应关系是否为函数的方法 三．求函数定义域 1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. 2.如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. 3.如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. 4.如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. 5.如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 四．判断两个函数为同一函数 1.定义域、对应关系两者中只要有一个不同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数. 2.函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. 3.在化简解析式时，必须是等价变形. 五．求函数值 1.方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 2.关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 六．求函数值域的常用方法 1.观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域. 2.配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法. 3.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域. 4.分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域. 七．求函数解析式 1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法： (1)换元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围. (2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可. 2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解. 3.待定系数法求函数解析式 已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. 八．分段函数 1.函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间； (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解. 3.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤： (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型； (2)设函数式：设出函数的解析式； (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式； (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 4.作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点. 课 后 作 业 1．函数的值域为(    ) A． B． C． D．以上答案都不对 2．若函数的值域是，则此函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 3．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为(    ) A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 4．已知函数的值域为，则常数______． 5．函数在上有意义，则实数a的取值范围为______． 6．已知函数． (1)求与与； (2)由(1)中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 7．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效． (1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？ (2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值． 8．已知定义域为的函数，对于任意的恒有. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 函数的概念及表示 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一：函数关系与依赖关系的联系 (1)具有依赖关系的两个变量，不一定具有函数关系； (2)当且仅当对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定值时，才称这两个变量之间有函数关系； (3)运用图形语言说明变量x，y间的关系： 结合依赖关系及函数（初中）的定义可知，图2-1中 变量x，y间具有依赖关系，但不具有函数关系；而 图2-2中变量x，y间具有函数关系和依赖关系． 知识点二：函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域. 注：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）可以“多对一”、“不可一对多”；（4）A中元素的无剩余性；（5）B中元素的可剩余性。 知识点三：区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示． 区间表示：设a，b∈R，且a<b，规定如下 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 1.区间的左端点必小于右端点； 2.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开； 3.用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示； 4.无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则； 5.包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号． 知识点四：同一个函数 1.前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 知识点五：常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 知识点六：函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 知识点八.分段函数 分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域. 1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数. 2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. 3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 4.注意事项 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数； (2)分段函数中各段自变量的取值范围的交集是空集； (3)处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系.　 例题讲解 知识点1、函数关系的判断 例1、下列对应是集合到集合的函数的是(    ) A．， B．，， C．， D．， 【解析】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误； 对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.故选A． 例2、下面图象中，不能表示函数的是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确； 选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.故选：C. 练习： 1． (多选)下列对应关系是实数集上的函数的是(　　) A．：把对应到 B．：把对应到 C．：把对应到 D．：把对应到 【解析】选项A，是实数集上的一个函数．它的对应关系是把乘再加，对于任一，都有唯一确定的值与之对应，如，则与之对应； 选项B，同理B也是实数集上的一个函数； 选项C，不是实数集上的函数．因为当时，的值不存在； 选项D，不是实数集上的函数．因为当时，的值不存在．故选：AB. 2． (多选)托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意，， A项，在中，当时，对应函数值为，与集合不对应，A错误； B项，在中，当时，对应的函数值分别为，B正确； C项，在中，当时，定义域不合要求，C错误； D项，在中，当时，对应的函数值分别为， D正确；故选：BD. 3．已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(    ) A．B．C．D． 【解析】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除； 对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除； 对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除； 对选项D：满足函数关系的条件，正确.故选：D 4． (多选)下列是函数图象的是(    ) A．B．C．D． 【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应， 因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD. 知识点二、区间的表示 例1、把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}. 【解析】(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)(2){x|x<0}＝(－∞，0) (3){x|－1<x<1}＝(－1，1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]. 练习： 1．集合 可用区间表示为(　　) A． B． C． D． 【解析】由题得， 用开区间表示为 故答案为：A。 2．若实数 满足 ，则用区间表示为(　　) A． B． C． D． 【解析】由 可知 可以等于 ，不能等于 ，所以是半开半闭区间，D选项符合. 知识点三、函数的定义域 例1、函数的定义域为 (2)求函数的定义域为________． 【解析】(1)依题意，，解得且，所以函数的定义域为且. (2)要使函数有意义，则，解得，即且， 函数的定义域为.故答案为：. 例2、已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________. (2)(2023·上海)已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______. (3)(2022广西)函数的定义域为，则函数的定义域是__________. 【解析】(1)因为函数的定义域为，所以，即且， 所以函数的定义域为.故答案为：. (2)令，得，从而，所以函数的定义域为. (3)函数的定义域为，即，得，所以函数的定义域为 例3、已知函数的定义域为，则函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或，所以函数的定义域是.故选：C 例4、已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( ) A．{x|x∈R} B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D． 【解析】由题意知解得<x<5即定义域为故选：D. 练习： 1．函数的定义域为______． 【解析】由，得，故函数的定义域为：．故答案为： 2．函数的定义域为________. 【解析】令，可得，解得.故函数的定义域为.故答案为:. 3．已知函数的定义域为 则的定义域为_________________ 【解析】由已知，的定义域为，所以对于需满足,解得 4．函数的定义域为，则的定义域为________. 【解析】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为， 则函数中，所以，即的定义域为.故答案为：. 5．如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x(单位：m)的矩形草坪(阴影部分)，要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 【解析】设矩形另一边的长为m，由三角形相似得：，(), 所以,所以矩形草坪的面积，解得：.故答案为： 知识点四、同一函数的判断 例1、下列函数表示同一个函数的是(     ). A．与 B．与   C．与 D．与 【解析】对于A项，，显然与对应关系不同，但定义域相同均为，故A错误； 对于B项，由题意得，即的定义域为，，即的定义域为和，两函数定义域不同，故B错误； 对于C项，，即两函数对应关系不同，故C错误； 对于D项，，两函数定义域与对应关系均相同，故D正确.故选：D 练习： 1．下列各函数中，与函数表示同一函数的是(    ) A． B． C． D． 【解析】，故的定义域为, 对于A，的定义域为，且解析式与相同，故为同一个函数， 对于B,，故不是同一个函数， 对于C,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数， 对于D,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选:A 2．下列每组中的函数是同一个函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为[0，+∞)，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数； 对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R， 所以这两个函数不是同一个函数.故选：B. 3．下列各组函数为同一函数的是(　　) ①与;②与;③与. A．①② B．① C．② D．③ 【解析】对①:与的定义域、对应关系均相同，是同一函数； 对②:由，而,对应关系不同，不是同一函数； 对③：，，对应关系不同，不是同一函数.故选：B 知识点五、三种函数的表示方法 例1、某公共汽车，行进的站数与票价关系如下表： 行进的站数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？ 【解析】根据题意，可知除了图表法之外，还可以用解析式法和图象法表示， 解析式法：设票价为元，站点的个位为，则. 图象法： 练习： 1．司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 【解析】①列表法 x (台) 1 2 3 4 5 y(元) 3000 6000 9000 12000 15000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18000 21000 24000 27000 30000 ②图象法：如图所示. ③解析法：售出台数x与收款数y之间的函数关系. 2．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数. 【解析】这个函数的定义域是数集. 用解析法可将函数表示为，. 用列表法可将函数表示为 笔记本数 1 2 3 4 5 钱数 5 10 15 20 25 用图象法可将函数表示为： 3．已知完成某项任务的时间与参加完成此项任务的人数之间满足关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过8． (1)写出关于的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出此函数的图象． 【解析】(1)因为当时，；当时，，所以，解得，所以． 又，为正整数，所以此函数的定义域是， 所以所求函数解析式是． (2)，2，3，4，5，6，7，8，列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 197 100 53 35 (3)此函数的图象如图所示： 知识点六、求函数值或值域 例1、已知，，求： (1)；(2)；(3). 【解析】(1)=2×22-3×2-25=-23；=2×2-5=-1； (2)=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；=g(-23)=2×(-23)-5=-51； (3)=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40； =g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55. 例2、试求下列函数的定义域与值域． (1)，； (2)； (3)； (4). 【解析】(1)因为的定义域为，则， 同理可得，，，，所以函数的值域为. (2)函数的定义域为R，因为，所以函数的值域为. (3)函数的定义域为，因为， 所以函数的值域为. (4)要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是. 设，则，于是， 又，所以，所以函数的值域为. 练习： 1．(2023·江苏连云港)(多选)下列函数与的值域相同的是(    ) A． B． C． D． 【解析】，故其值域为； 对A：当时，，其值域为，故A正确； 对B：，故，其值域为，故B错误； 对C：，当且仅当时取得等号，其值域为，故C正确； 对D：令，故的值域即的值域； 又在单调递减，在单调递增，故，故D错误.故选：AC. 2．求下列函数的值域. (1);(2);(3),.(4) 【解析】(1)设,则,所以, 根据二次函数的图像和性质,函数的值域为. (2)函数的定义域为,, 所以函数的值域为. (3)因为函数的对称轴为,所以函数在单调递减,单调递增, 所以函数的值域为. (4)，，当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为； 知识点三函数解析式 例1、根据下列条件，求的解析式. (1)已知 (2)已知 (3)已知是二次函数，且满足 【解析】(1)令，则，，所以由， 得，所以； (2)由，得， 所以，所以，解得； (3)由题意设，因为，所以，因为， 所以，所以，所以，得， 所以. 练习： 1．根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 【解析】(1)解：令，则，故，所以； (2)解：设，因为，所以， 即，所以，解得，所以； (3)解：因为①，所以②， ②①得，所以. 2．根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知，则的解析式为__________． (2)已知满足，求的解析式． (3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式． 【解析】(1)方法一(换元法)：令，则，．所以， 所以函数的解析式为． 方法二(配凑法)：． 因为，所以函数的解析式为． (2)将代入，得， 因此，解得． (3)令，得， 所以，即． 知识点八、分段函数 例1、已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 【解析】(1)， (2)当时，，解得，不成立； 当时，，解得或，成立； 当时，，解得成立.综上，的值为或2. 例2、已知函数． (1)求的值；(2)画出函数的图象． 【解析】(1)，，则； (2)函数的图象如下图所示： 例3、已知. (1)用分段函数的形式表示该函数. (2)画出区间上的的图象； (3)根据图象写出区间上的值域. 【解析】(1)当时，，当时，，所以. (2)根据二次函数的图象性质，作图如下， (3)由图象可知，当或时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为， 所以区间上的值域为. 练习： 1．已知函数 (1)求，，；(2)若，求的值． 【解析】(1)因为，所以． 因为，所以．又，所以． (2)经观察可知，否则．若，令，得，符合题意； 若，令，得，符合题意．故的值为或3． 2．已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【解析】1)由，∴， . (2)简图如图所示： (3)简图可知函数的值域为 3．已知函数. (1)在所给坐标系中作出的简图； (2)解不等式. 【解析】(1)的简图如下： ； (2)由已知得或，解得或， 即不等式的解集为． 4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 【解析】(1)依题意，令x为里程数(单位：公里)，为行驶x公里的票价(单位：元)， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以票价与里程之间的函数关系式为. (2)由(1)得函数的图象，如下： 举一反三 1．函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【解析】根据函数形式可知，函数的定义需满足，解得：且， 所以函数的定义域为.故选：B 2．若函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意可知，所以，要使函数有意义，则 解得.故选：D 3．若函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法， 在函数中，，解得或.故选：D. 4．已知函数的定义域是，则的定义域是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为函数的定义域是，所以，所以,即的定义域为，所以，解得，即的定义域是.故选:C. 5．下列四组函数中，表示同一函数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】对选项A，因为定义域为R，定义域为R，定义域相同， 但，所以，不是同一函数，故A错误； 对选项B，因为定义域为R，定义域为， 定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误； 对选项C，因为定义域为，定义域为， 定义域不同，所以，不是同一函数，故C错误； 对选项D，因为定义域为R，定义域为R， 又，所以，是同一函数，故D正确.故选：D 6．下列四组函数中，表示相同函数的一组是(    )． A．， B．， C．， D．， 【解析】对于A，与定义域均为，所以， 与为相等函数，A正确； 对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误； 对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误； 对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误. 7．下列函数中，值域是的是(　　) A． B．， C．， D． 【解析】对选项A：，即函数的值域为，错误；对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误； 对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误； 对选项D：，函数的值域为.故选：D 8．某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示该学生离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是(　　) A．B．C．D． 【解析】依题意可知，关于的函数图象呈下降趋势，故A和C都不正确； 由于该同学是先跑后走，所以关于的函数图象下降速度是先快后慢，故B不正确，D正确.故选：D． 9． (多选)下列四个图象中，是函数图象的是(    ) A．    B．  C．  D．   【解析】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应， 选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况， 其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.故选：ACD 10．(多选)下列各组函数不是同一个函数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】对于A，的定义域是，的定义域是R，定义域不同，故不是同一函数，A错； 对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，B错； 对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对； 对于D，的定义域是，的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，D错. 故选：ABD 11．(多选)下列函数定义域和值域相同的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A；的定义域为,值域也为，故A正确， 对于B； 的定义域为,值域为,故B错误， 对于C；定义域为，值域为，故C正确， 对于D；的定义域为和值域均为，故D正确， 12． (多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(    )    A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 【解析】由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误， 由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确， 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k，故C正确， 当30≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点(40，2)，(50，3)， 则，故y与x的关系式为，故D正确．故选：BCD 13． (多选)下列各曲线中，能表示y是x的函数的是(    ) A．B．C．D． 【解析】由图像可知ACD选项的图像满足一一对应，一个有唯一的与之对应， 选项B表示的是一个圆，不满足一一对应，除左右与轴的交点外， 一个有两个与之对应，故选项B不能表示y是x的函数.故选：ACD. 14．函数的定义域为______. 【解析】要使有意义，则，解得，且；即，且， 所以的定义域为.故答案为： 15．若函数的定义域为[－2,1]，则的定义域为________，的定义域为________． 【解析】满足，解得，即，即函数的定义域为. 由，得，即函数的定义域为.故答案为：；. 16． (1)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【解析】(1)令，则， 因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为． (2)令，，则，． 因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为， 所以，所以，所以函数的定义域为． 故答案为：； 17.试求下列函数的定义域与值域. (1)，(2)(3)(4) 【解析】(1)函数的定义域为，则， 同理可得，，，，所以函数的值域为. (2)函数的定义域为，因为，所以函数的值域为. (3)函数的定义域为，因为，所以函数的值域为. (4)要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是.设，则， 于是，又，所以，所以函数的值域为. 18． (1)已知，求的解析式；(2)已知，求函数的解析式； (3)已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； (4)已知，求的解析式． (5)已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式． 【解析】(1)因为，所以． (2)方法一  设，则，，即， 所以，所以． 方法二  因为，所以． (3)因为是二次函数，所以设．由，得c＝1． 由，得，整理得， 所以，所以，所以． (4)用－x替换中的x，得， 由，解得． (5)方法一 令，则，所以． 方法二 令，则，即，令，则 19．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式． 【解析】当x∈[0，30]，设y＝k1x＋b1，由已知得∴k1＝，b1＝0，y＝x； 当x∈(30，40)时，y＝2；当x∈[40，60]时，设y＝k2x＋b2，由已知得 ∴k2＝，b2＝－2，y＝x－2.∴f(x)＝ 20．已知函数 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域． 【解析】(1)解：因为所以． (2)解：当时，，不合题意，应舍去；当时，，解之得或(舍)；当时，，则，综上，或． (3)解：由题可作图如下： 则函数定义域为，值域为． 21．已知函数 (1)求； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中，作出函数的图像. 【解析】(1)， (2)当时，，因为，得；当时，，因为，得；当时，，因为，得，综上所述：或或 (3)描点连线，作图即可 22．求下列函数的值域． (1)，；(2)；(3)，； (4)y＝；(5)y＝2x－. 【解析】(1)函数的定义域为， 因为，，， 所以该函数的值域为． (2)函数的定义域为R，因为，所以该函数的值域为. (3)函数的定义域为，，所以该函数的值域为. (4)，显然，所以y≠2. 故函数的值域为. (5)令，则，    所以， 由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为. 课 堂 小 结 一.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 1.任取一条垂直于x轴的直线l； 2.在定义域内平行移动直线l； 3.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 二.判断一个对应关系是否为函数的方法 三．求函数定义域 1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. 2.如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. 3.如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. 4.如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. 5.如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 四．判断两个函数为同一函数 1.定义域、对应关系两者中只要有一个不同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数. 2.函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. 3.在化简解析式时，必须是等价变形. 五．求函数值 1.方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 2.关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 六．求函数值域的常用方法 1.观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域. 2.配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法. 3.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域. 4.分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域. 七．求函数解析式 1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法： (1)换元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围. (2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可. 2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解. 3.待定系数法求函数解析式 已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. 八．分段函数 1.函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间； (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解. 3.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤： (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型； (2)设函数式：设出函数的解析式； (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式； (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 4.作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点. 课 后 作 业 1．函数的值域为(    ) A． B． C． D．以上答案都不对 【解析】设题中函数为，则，当时，； 当时，视其为关于x的二次方程，判别式， 综上，故值域为．故选：C. 2．若函数的值域是，则此函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【解析】由函数的值域是，所以当时，， 当时， 即， 解得，所以函数的定义域为：，故选：D 3．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为(    ) A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 【解析】函数的定义域为A，值域为B，所以当时，；当时，； 当时，；当时，；所以，又， 所以若，解得或，因为，所以.此时，所以，则； 若，又，所以不成立.综上，.故选：D. 4．已知函数的值域为，则常数______． 【解析】因为，所以，，即， 因为函数的值域为，所以是方程的两个根， 所以，，解得或，所以7或.故答案为：7或. 5．函数在上有意义，则实数a的取值范围为______． 【解析】由题意函数在上有意义， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，解得，故实数a的取值范围为， 6．已知函数． (1)求与与； (2)由(1)中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【解析】(1)∵，∴，＝， ， ＝. (2)由(1)发现. 证明如下：＝++. (3).由(2)知，，…， ∴原式. 7．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效． (1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？ (2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值． 【解析】(1)因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为，             ． 当时，，解得； ．当时，，解得；综上求得， 所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ． (2)设从第一次投放起，经过x()天后，浓度为 ． 因为，所以， 所以即 所以 当且仅当，即时，等号成立，所以 答：为使接下来的4天中能够持续有效m的最小值为2 8．已知定义域为的函数，对于任意的恒有. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【解析】(1)因为对于任意的恒有， 则令，得，又，则， 又令，得，即， 因此，， ，，所以. (2)因为对于任意的恒有， 则令，得，而，有， 令，得，又，则有， 所以. 30 学科网（北京）股份有限公司 $$