第2章 1 生活中的变量关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦生活中的变量关系核心知识点，先通过概念梳理明确依赖关系与函数关系的区别，借助即时练巩固判断方法，再结合图象（如行程问题）和表格（如声速与温度）分析变量关系，最后学习分段函数的定义及应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以短视频账号对应关系生活化导入，激发兴趣，通过即时练和跟踪训练强化理解，结合行程图象、声速表格等实例培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析变量逻辑，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过练习题查漏补缺，提升知识应用能力。

§1　生活中的变量关系 新课导入 学习目标 　　通过短视频社交软件可以分享生活，也可以认识更多的朋友，了解各种奇闻趣事．大部分同学都有短视频账号，这样短视频账号与同学之间就有了对应关系，即短视频账号(可能不止一个)对应唯一一位同学． 在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个).你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？ 1.结合教材实例了解生活中两个变量之间的依赖关系现象和函数关系现象． 2．结合教材实例理解函数为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具． 3．认识并会分析分段函数． 知识点一　依赖关系与函数关系 [知识梳理] 1．依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量之间具有依赖关系． 2．函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．这时变量x与y就建立起了函数关系． [即时练] 下列各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ (1)圆的面积和它的半径； (2)家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； (3)正三角形的面积和它的边长． 解：(1)圆的面积与半径之间存在依赖关系，也是函数关系．因为对于任一给定的半径的值，都有圆的面积的唯一值与之对应． (2)家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性，不是函数关系． (3)正三角形的面积与其边长之间存在依赖关系，也是函数关系．因为对于任一给定的边长的值，都有正三角形的面积的唯一值与之对应． 判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考查对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应． 知识点二　用图表反映两个变量之间的关系 角度1　根据图象分析两个变量之间的关系 [例1] (多选)(对接教材例5)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是(　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲同学从家到公园的时间是30 min C．甲同学从家到公园的平均速度比从公园到乙同学家的平均速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 【解析】　甲同学在公园休息的时间是10 min，所以全程只走了50 min，A错误；由题图知B正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的平均速度比从公园到乙同学家的平均速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．故选BD. 【答案】　BD (1)结合图象分析两个变量之间的关系时，首先要清楚横轴、纵轴的含义，明确单位等；其次要注意观察，分析图象中蕴含的数据信息，特别注意图象中的关键点，如图象与横轴、纵轴的交点，图象的最高点、最低点等． (2)由图象判断两个变量是否具有函数关系时，首先要区分好自变量和因变量，其次要看对于自变量的每一个值，因变量是否都有唯一确定的值与之对应． 角度2　根据表格分析两个变量之间的关系 [例2] (对接教材例4)有研究表明，声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，当空气的温度变化时，声音的传播速度也将随着变化．声音在空气中的传播速度与空气温度关系的一些数据如表： 温度/℃ … －20 －10 0 10 20 30 … 声速/(m/s) … 318 324 330 336 342 348 … (1)指出在这个变化过程中的自变量和因变量． (2)当声音在空气中的传播速度为342 m/s时，此时空气的温度是多少？ (3)该数据表明：空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大(或减少)多少？ (4)用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，根据(3)中你发现的规律，直接写出y与x之间的关系式． 【解】　(1)自变量是温度，因变量是声速． (2)由题表中数据可得出，当声音在空气中传播速度为342 m/s时，空气的温度是20 ℃. (3)利用题表中数据得出，空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大6 m/s. (4)由题表中数据可得y＝0.6x＋330. 利用表格分析两个变量之间的关系时，首先要明确表格中的各个项目，确定好给出的变量，其次要弄清表格中给出的两个变量的各组数据间的对应关系，在此基础上判断它们是否具有依赖关系，是否具有函数关系，必要时可将表格中的各组数据转化为图象，结合图象分析变量的特点及关系． [跟踪训练1] (1)向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的(　　) 解析：选B.观察题图，根据图象的特点，发现当水深h＝时，注水量V＞(V0为水瓶总容量)，即水深为水瓶高的一半时，实际注水量大于水瓶总容量V0的一半．当水深是水瓶高的一半时，选项A中V＜，选项B中V＞，选项C，D中V＝.故选B. (2)在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，测得的弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)的对应值如下表． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 ①上表反映的两个变量之间的关系中，______是自变量，__________是因变量． ②当所挂物体质量为3 kg时，弹簧长为______；不挂重物时弹簧长为__________． ③弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为：__________________________________________________. 解析：①在弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系中，所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量． ②当所挂物体质量为3 kg时，弹簧长24 cm；当不挂重物时，弹簧长18 cm. ③弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为：y＝2x＋18(x≥0). 答案：①所挂物体质量　弹簧长度　②24 cm　18 cm ③y＝2x＋18(x≥0) 知识点三　分段函数 [知识梳理] 生活中，出租车的路程和车费、个人收入和应缴所得税的税率等变量间的关系，对于不同范围的自变量有不同的关系，如居民每月应缴电费y(单位：元)与用电量x(单位：kW·h)的关系是 y＝ 形如上述的函数，一般叫作分段函数． [例3] 已知函数y＝ (1)分别求当x＝－5和x＝时，y的值； (2)当x＝a时，y＝3，求实数a的值． 【解】　(1)因为－5<－2，所以当x＝－5时，y＝－5＋1＝－4；因为>2，所以当x＝时，y＝2×－4＝1. (2)当a≤－2时，y＝a＋1＝3， 解得a＝2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，y＝a2＋2a＝3， 解得a＝1或a＝－3，因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，所以a＝1符合题意； 当a≥2时，y＝2a－4＝3，解得a＝，符合题意． 综上，当y＝3时，a＝1或a＝. (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的关系． (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． [跟踪训练2] (1)已知y＝则当x＝－3时，y的值为(　　) A．－3 B．3 C．－9 D．9 解析：选B.因为－3<0， 所以当x＝－3时，y＝－(－3)＝3. (2)某市公共汽车的票价按下列规则制定： ①5 km以内，票价2元； ②5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km按5 km计算). 每相邻两个站点之间的距离为1 km，如果该公共汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站)，求票价y(单位：元)关于路程x(单位：km)的函数关系式，并画出图象． 解：由公共汽车票价制定的规则，可得到以下函数关系式： y＝ 根据这个函数关系式，可画出函数图象，如图所示． 1．下列说法不正确的是(　　) A．依赖关系不一定是函数关系 B．函数关系是依赖关系 C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数 D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数 解析：选C.由依赖关系及函数关系的定义知A，B正确；对于C，D，如m＝n2，m是n的函数，而n＝±，不是函数关系，故C不正确，D正确． 2．(教材P53习题2－1A组T1改编)张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则(　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 解析：选A.小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有依赖关系，但不一定是函数关系．故选A. 3．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道： (1)甲、乙两人中先到达终点的是________； (2)乙在这次赛跑中的平均速度为__________________m/s. 解析：(1)由题图可知甲、乙两人到达终点所用的时间分别为12 s，12.5 s，故甲先到达终点． (2)乙＝＝8(m/s). 答案：(1)甲　(2)8 4．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ ①将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； ②家庭的食品支出与电视价格之间的关系； ③在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 解：①冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系； ②家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系； ③在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系． 综上可知，①③中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；②中两变量不存在依赖关系． 1．已学习：依赖关系，函数关系． 2．须贯通：通过图象反映两个变量之间的关系，分段函数． 3．应注意：依赖关系与函数关系容易混淆，误认为分段函数是几个函数组成的． 学科网（北京）股份有限公司 $