周周练3 不等式(范围：§ 3～§ 4)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

周周练3　不等式(范围：§ 3～§ 4) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是(　　) A．－3<a－b<2 B．－6<a－b<5 C．－4<a－b<7 D．－5<a－b<1 解析：选B.因为－3<b<5，所以－5<－b<3.已知－1<a<2，－5<－b<3，两个不等式相加，得到－6<a－b<5. 2．若(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝　(　　) A．1＋ B．2 C．4 D．6 解析：选C.由题意，x－2>0， 而＝ ＝x－2＋＋2 ≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以a＝4. 3．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝，则集合A∩B＝(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|1<x<2} C．∅ D．{x|0<x<1} 解析：选B.分式不等式<0等价于(x－1)(x－3)<0，解得1<x<3， 即B＝{x|1<x<3}，又A＝{x|0<x<2}，所以A∩B＝{x|1<x<2}． 4．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作x个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为0.25 x天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作(　　) A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 解析：选C.由题设，总成本为400＋，则每个面包的总成本y＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝40时取等号，故为使每个面包的总成本最小，每天应制作40个． 5．“∀x∈{x|－1≤x≤2}，x2－2a≤0”恒成立的一个充分不必要条件是(　　) A．{a|a≥0} B．{a|a≥1} C．{a|a≥2} D．{a|a≥3} 解析：选D.若∀x∈{x|－1≤x≤2}，x2－2a≤0，则a≥对∀x∈{x|－1≤x≤2}恒成立，即a≥，由x∈{x|－1≤x≤2}可得0≤x2≤4，所以0≤≤2，所以a≥2，由于{a|a≥3}是{a|a≥2}的真子集，故D符合题意． 选项A，B是必要不充分条件，C是充要条件． 6．若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a，b，c∈R)的解集为{x|－1<x<2}，则b－c＋的最小值为(　　) A.－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选D.由题意知，－1，2为方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)的两实数根， 故即 则b－c＋＝a＋≥2＝4，当且仅当a＝，即a＝2时取等号， 即b－c＋的最小值为4. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知a>0，b>0，a＋b2＝1，则(　　) A．＋b< B．a＋2b>1 C．b≤ D．＋≥9 解析：选BCD.已知a>0，b>0，a＋b2＝1，取a＝，b＝，所以＋b＝＋＝，故A错误；因为a>0，b>0，a＋b2＝1，所以b2<1，所以0<b<1，所以b2<2b，所以a＋b2<a＋2b，所以a＋2b>1，故B正确；因为a＋b2＝1≥2＝2b，所以b≤，当且仅当a＝b2，即a＝，b＝时取等号，故C正确；＋＝(a＋b2)＝1＋＋＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故D正确． 8．已知x1，x2是方程m(x－1)(x＋2)－1＝0的两个根，其中x1<x2，不等式m(x－1)(x＋2)－1>0的解集是{x|x1<x<x2}，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＋1＝0 B．－2<x1<x2<1 C．x1x2＋2>0 D．|x1－x2|>3 解析：选ABC.不等式m(x－1)(x＋2)－1>0的解集是{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，所以m<0，且x1，x2是一元二次方程mx2＋mx－2m－1＝0的解， 所以x1＋x2＝－1，x1x2＝＝－2－>－2，所以x1＋x2＋1＝0，x1x2＋2>0，故A，C正确； 又因为|x1－x2|＝＝<3，所以D错误； 又方程m(x－1)(x＋2)＝0的解是1和－2，且不等式m(x－1)(x＋2)－1>0的解集为{x|x1<x<x2}，所以－2<x1<x2<1，故B正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．不等式组的解集为________． 解析：由≥5， 得≥0， 化简得≥0，即≤0， 得解得1<x≤8.① 又|x－2|>1，所以x－2>1或x－2<－1，解得x<1，或x>3.② 由①②解得3<x≤8. 则不等式组的解集为{x|3<x≤8}． 答案：{x|3<x≤8} 10．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足＋≥，当且仅当＝时，等号成立，则y＝＋的最小值为________． 解析：由题意得，1－3x>0，0<x<， 所以y＝＋＝＋＝＋≥＝49，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，则y的最小值为49. 答案：49 11．设命题P：对任意0≤x≤1，不等式2x－3≥m2－4m恒成立．若P为真命题，则实数m的取值范围是____________． 解析：因为对任意0≤x≤1，不等式2x－3≥m2－4m恒成立，所以对任意0≤x≤1，(2x－3)min≥m2－4m成立， 又因为(2x－3)min＝－3， 所以－3≥m2－4m，即1≤m≤3. 即若P为真命题，则实数m的取值范围是1≤m≤3. 答案：1≤m≤3 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)解下列不等式： (1)0≤x2－2x－3<5；(6分) (2)≤1.(7分) 解：(1)由x2－2x－3≥0，得x≤－1或x≥3，由x2－2x－3<5得－2<x<4. 所以－2<x≤－1或3≤x<4. 所以原不等式的解集为{x|－2<x≤－1或3≤x<4}． (2)因为≤1，所以－1≤0， 所以≤0， 即≥0.此不等式等价于(x－4)(x－)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，所以原不等式的解集为{x|x<或x≥4}． 13．(本小题满分15分)如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2 900元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地面，造价为350元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为W(单位：元)，AD长为x(单位：m). (1)当x＝4 m时，求草坪面积；(6分) (2)当x为何值时，W最小？并求出这个最小值．(9分) 解：(1)四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为， 当x＝4时，＝(m)，故草坪面积为4××＝(m2). (2)由题意得0＜x＜10，花坛的造价为2 900x2元，花岗岩地面的造价为350(100－x2)元，四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为， 故草坪的造价为80×4×＝(元)， 故W＝2 900x2＋350(100－x2)＋ ＝2 560x2＋＋33 000≥2＋33 000＝65 000，当且仅当2 560x2＝，即x＝时，等号成立， 故x＝时，W最小，最小值为65 000元． 14．(本小题满分15分)已知函数y＝ax2－(2a＋2)x＋4. (1)若a＝－3，求不等式y>0的解集；(4分) (2)是否存在实数a使得方程y＝0有两个不相等的实数根且＋＝1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；(5分) (3)若关于x的不等式y>－(x2＋2)的解集是实数集R，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)当a＝－3时，y＝－3x2＋4x＋4，由y>0，得－3x2＋4x＋4>0，即3x2－4x－4<0， 整理得(3x＋2)(x－2)<0， 解得－<x<2， 则不等式y>0的解集为. (2)不存在实数a符合题意，理由如下： 由y＝0，得ax2－(2a＋2)x＋4＝0， 若存在实数a使得方程y＝0有两个不相等的实数根且＋＝1成立， 则a≠0，x1≠0，x2≠0，x1≠x2，由根与系数的关系得由＋＝1， 得＝1，则＝1，解得a＝1， 此时方程为x2－4x＋4＝0， 即(x－2)2＝0，解得x1＝x2＝2， 因此，不存在实数a符合题意． (3)由y>－(x2＋2)， 得ax2－(2a＋2)x＋4>－(x2＋2)， 整理得(a＋1)x2－(2a＋2)x＋6>0， 当a＋1＝0，即a＝－1时，不等式为6>0，此时不等式恒成立，符合题意； 当a＋1≠0，即a≠－1时，由不等式的解集是实数集R， 得解得－1<a<5， 综上所述，实数a的取值范围为－1≤a<5. 学科网（北京）股份有限公司 $