1.3.2 第1课时 基本不等式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，系统梳理重要不等式（任意实数x,y，x²+y²≥2xy）和基本不等式（非负实数a,b，(a+b)/2≥√(ab)），通过金店天平实际问题引入，经概念辨析、例题解析（理解、比较大小、证明）、练习巩固，搭建“问题-概念-应用”的学习支架。 该资料以真实情境激发兴趣，引导学生用数学眼光观察现实，通过判断正误、多题型例题培养逻辑推理的数学思维，证明题与变式训练提升数学语言表达能力。课中助力教师高效授课，课后分层练习及解析帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

3.2　基本不等式 课标 要求 1.掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立）（逻辑推理）. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题（数学建模）. 第一课时　基本不等式 　　有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，在右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售. 【问题】　你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　重要不等式与基本不等式 1.重要不等式 对于任意实数x和y，有≥xy，当且仅当　x＝y　时，等号成立. 2.基本不等式 设a≥0，b≥0，有≥，当且仅当　a＝b　时，等号成立. 其中，称为a，b的　算术平均值　，称为a，b的几何平均值. 基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的　算术　平均值大于或等于它们的　几何　平均值. 提醒：（1）不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较：①两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的.前者要求a，b是实数即可，而后者要求a≥0，b≥0；②两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”. （2）基本不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤（其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.（　√　） （2）n∈N＋时，n＋＞2.（　√　） （3）x≠0时，x＋≥2.（　×　） （4）若a＞0，则a3＋的最小值为2.（　×　） 2.不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是（　　） A.a＝4 B.a＝ C.a＝－ D.a＝± 解析：D　此不等式等号成立的条件为a2＝ ，即a＝±. 3.〔多选〕若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　） A.＞ B.＜ C.＞ D.＞ 解析：ABD　由a＞b＞0，得＜，所以＜1，即＜，（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＞4ab，即＜，故选项A、B、D均成立. 4.若x＞0，则y＝＋x的最小值为　4　. 解析：∵x＞0，＞0，∴y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，故ymin＝4. 题型一　对基本不等式的理解 给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［（－）＋］≤－2＝－2. 其中正确的推导为（　　） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：B　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确.②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的.③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确. 通性通法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.对∀a，b∈R，≥成立 B.若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2 C.对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D.若x＞2，则x＋≥2中可以取等号 解析：BC　A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；D项，x＋≥2＝2取等号的条件为无解，不等式中不可取等号. 题型二　利用基本不等式比较大小 若a，b∈R，则下列不等式恒成立的是（　　） A.≥ B.＋≥2 C.≥（）2 D.（a＋b）（＋）≥4 解析：C　令a＝－2，b＝2，则A、B、D均错误.对于C，∵a2＋b2≥2ab，∴2a2＋2b2≥a2＋b2＋2ab，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，∴≥（）2，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确. 通性通法 运用基本不等式比较大小的注意点 （1）要灵活运用基本不等式，特别注意其变形； （2）应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 　已知a，b，x，y都是正实数，且＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系是　ab≥xy　. 解析：因为1＝＋≥2＝2，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立；xy≤＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以ab≥xy. 题型三　应用基本不等式证明不等式 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘， 得≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，求证：＋＋≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 2.（变条件，变设问）本例条件变为“a＋b＝1，a＞0，b＞0，”求证：≥9. 证明：∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＝＝＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立. ∴≥9. 通性通法 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 　已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥＋＋. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以由基本不等式，得a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立， b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立， a＋c≥2，当且仅当a＝c时，等号成立. 上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2＋2＋2，即a＋b＋c≥＋＋， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 1.下列不等式一定成立的是（　　） A.x2＋＞x　　　　　 　 B.x＋≥2 C.x2＋1≥2｜x｜（x∈R） D.＞1（x∈R） 解析：C　选项A中，当x＝时，x2＋＝x，故选项A不正确；选项B中，当x＜0时，－x＋≥2，所以x＋≤－2，故选项B不正确；选项C中，x2－2｜x｜＋1＝（｜x｜－1）2≥0（x∈R），故选项C正确；选项D中，∈（0，1]（x∈R），故选项D不正确. 2.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C.a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D.a＋b≥2成立的条件是ab＞0 解析：BC　根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C. 3.下列不等式中，正确的是　④　（填序号）. ①a＋≥4；②a2＋b2≥4ab；③≥；④x2＋≥2. 解析：a＜0，则a＋≥4不成立，故①错；a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故②错；a＝4，b＝16，则＜，故③错；由基本不等式可知④正确. 4.已知a，b都是正数，求证：（a＋）（b＋）≥4. 证明：∵a＞0，b＞0， ∴a＋≥2＝2，b＋≥2＝2. 由不等式的性质，得（a＋）（b＋）≥4， 当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立. 1.给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中可使＋≥2成立的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　根据基本不等式的条件，a，b同号，则＋≥2，故选C. 2.a，b∈R，则a2＋b2与2｜ab｜的大小关系是（　　） A.a2＋b2≥2｜ab｜ B.a2＋b2＝2｜ab｜ C.a2＋b2≤2｜ab｜ D.a2＋b2＞2｜ab｜ 解析：A　∵a2＋b2－2｜ab｜＝（｜a｜－｜b｜）2≥0，∴a2＋b2≥2｜ab｜（当且仅当｜a｜＝｜b｜时，等号成立）. 3.若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A.a2＋b2＞2ab B.a＋b≥2 C.＋＞ D.＋≥2 解析：D　∵a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴A错误；对于B、C，当a＜0，b＜0时，显然错误；对于D，∵ab＞0，∴＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴D正确. 4.〔一题多解〕设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是（　　） A. B.a2＋b2 C.2ab D.a 解析：B　法一　因为0＜a＜b，所以1＝a＋b＞2a，所以a＜.又因为a2＋b2≥2ab，所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1＝a＋b＞2，所以ab＜，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞，故选B. 法二（特值检验法）　取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝.因为＞＞＞，所以a2＋b2最大，故选B. 5.〔多选〕已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（　　） A.＋＞ B.a＋≥2 C.｜＋｜≥2 D.2（a2＋b2）≥（a＋b）2 解析：CD　当a＝－1，b＝－1时，ab＞0，＋＞不成立，故A不符合题意；当a＜0时，a＋≥2不成立，故B不符合题意；｜＋｜＝｜｜＋｜｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C符合题意；∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D符合题意.故选C、D. 6.〔多选〕若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是（　　） A.ab≥ B.＋≥ C.＋≥4 D.a2＋b2≥ 解析：CD　∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∵ab≤，∴A错误；（＋）2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2＝2，∴＋≤，∴B错误；＋＝＝≥4，∴C正确；a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，∴D正确，故选C、D. 7.已知y＝4x＋（x＞0，a＞0）在x＝3时取得最小值，则a的值为　36　. 解析：∵y＝4x＋（x＞0，a＞0），∴y＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝即x＝时，等号成立.又∵y＝4x＋（x＞0，a＞0）在x＝3时取得最小值，∴＝3，∴a＝36. 8.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是　x＜y　. 解析：x2＝，y2＝a＋b＝， ∵a＋b＞2（a≠b），∴x2＜y2，∵x，y＞0，∴x＜y. 9.设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的取值范围是　[－4，＋∞）　. 解析：因为a＞0，b＞0，所以原不等式可化为k≥－（a＋b），所以k≥－－2.因为＋≥2（当且仅当a＝b时，等号成立），所以－－2≤－4，所以k≥－4，即k的取值范围是[－4，＋∞）. 10.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（1＋）（1＋）≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋， 同理1＋＝2＋， 所以（1＋）＝（2＋）（2＋） ＝5＋2（＋）≥5＋4＝9， 当且仅当＝， 即a＝b＝时等号成立， 所以（1＋）（1＋）≥9. 11.设a＞0，b＞0，则“a＋b≤1”是“＋≥8”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　a＞0，b＞0，若a＋b≤1，则＋≥＋＝2＋＋＋＋≥2＋2＋2＝8，当且仅当a＝b＝时等号同时成立，充分性满足；若＋≥8，a＋b≤1不一定成立，例如a＝1，b＝时，＋≥8，但a＋b＞1，必要性不满足，故选B. 12.〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　） A.a＋b＋c≤ B.（a＋b＋c）2≥3 C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1 解析：BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，上述三个不等式全部相加得2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥ ，若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2，因此，A、C选项错误，B、D选项正确.故选B、D. 13.已知a＞b＞c，则与的大小关系是　≤　. 解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号. 14.设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以＋≥2，＋≥2，＋≥2， 所以＋＋≥6， 当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立. 所以＋＋≥6. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $