第1章 培优点2 一元二次不等式恒(能)成立问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦一元二次不等式恒（能）成立问题核心知识点，系统梳理在R上恒成立、给定范围恒成立及简单能成立三类问题，通过实例展示分离参数法、数形结合法等解题方法，构建从基础类型到应用情境的学习支架。 该资料分类清晰且注重方法对比，如例2通过函数最值与分离参数法培养学生推理能力，例3转化为最值问题渗透模型意识。课中辅助教师系统授课，课后尝试训练帮助学生巩固方法，查漏补缺。

　一元二次不等式恒(能)成立问题 不等式在某个范围内恒成立、能成立问题，涉及的知识面广，综合性强，解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、更换主元法等． 类型一 在R上恒成立问题 [例1] 若关于x的不等式：2kx2＋kx－<0对x∈R恒成立，求k的取值范围． 【解】　当k＝0时，－<0，满足题意；当k≠0，则满足 即解得－3<k<0. 综上所述，k的取值范围是{k|－3<k≤0}． 求解一元二次不等式解集为R的情况： ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 提醒　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 类型二 在给定范围上的恒成立问题 [例2] 当x>1时，不等式x2＋ax＋9>0恒成立，则实数a的取值范围为________． 【解析】　方法一：因为当x>1时，不等式x2＋ax＋9>0恒成立， 所以只需求出函数y＝x2＋ax＋9(x>1)的最小值，令最小值大于0即可． 二次函数y＝x2＋ax＋9的图象的对称轴方程为x＝－. 当－≤1，即a ≥－2时，当x＞1时，函数y＝x2＋ax＋9＞a＋10，则a＋10≥0，a≥－10，所以a≥－2. 当－>1，即a<－2时，函数在x＝－处取得最小值(－)2－＋9＝9－， 所以9－>0，解得－6<a<6，所以－6<a<－2. 综上，实数a的取值范围为{a|a>－6}． 方法二(分离参数法)：因为x>1， 所以由x2＋ax＋9>0恒成立得a>－(x＋)恒成立． 因为x＋≥2＝6，当且仅当x＝， 即x＝3时等号成立，所以－(x＋)的最大值为－6，所以a>－6. 故实数a的取值范围为{a|a>－6}． 【答案】　{a|a>－6} 在给定范围上的恒成立问题 (1)当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 类型三 简单的能成立问题 [例3] 已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} 【解析】　由于－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，又因为－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，则实数a的取值范围为{a|－1≤a≤4}． 【答案】　A 解决能成立问题的方法 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值或最大值，求得参数的取值范围． [尝试训练] 1.若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则实数a的取值范围是　(　　) A．{a|0≤a≤4} B．{a|a≤4} C．{a|a≥4} D．{a|a≤5} 解析：选B.若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立， 则对任意x∈{x|1≤x≤3}，a≤x＋恒成立， 而x＋≥2＝4，当且仅当x＝， 即x＝2时取等号，因此a≤4， 所以实数a的取值范围是{a|a≤4}． 2．若关于x的不等式x2－ax＋1≤0在1≤x≤2上有解，则a的取值范围为(　　) A．{a|a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|a≤} D．{a|a≥} 解析：选B.方法一：x2－ax＋1≤0在1≤x≤2上有解，即当1≤x≤2时，函数y＝x2－ax＋1的最小值小于或等于0. 二次函数y＝x2－ax＋1图象的对称轴方程为x＝， 当<1，即a<2时，ymin＝12－a＋1≤0，则a≥2，无解； 当>2，即a>4时，ymin＝22－2a＋1≤0，则a≥，所以a>4； 当1≤≤2，即2≤a≤4时，ymin＝()2－a·＋1≤0，解得a≥2或a≤－2，所以2≤a≤4. 综上所述，a的取值范围为{a|a≥2}． 方法二(分离参数法)：由题意得a≥x＋在1≤x≤2上有解，只需a≥(x＋)min，又x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a的取值范围为{a|a≥2}． 3．已知∀x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，因为函数y＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，所以Δ＝a2－4(3－a)＝a2＋4a－12≤0，即(a－2)(a＋6)≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围为{a|－6≤a≤2}． 答案：{a|－6≤a≤2} 学科网（北京）股份有限公司 $