第2章 §1 生活中的变量关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中依赖关系与函数关系的辨析、变量关系的图象表示及分段函数的应用，通过生活实例引入依赖关系，经问题探究明晰函数关系定义，再结合图象直观分析变量对应规律，最终以分段函数模型解决实际问题，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以“天宫二号”发射、摩天轮等生活化情境引入，通过问题链驱动学生用数学眼光观察变量关系，借助气温图、运动路程图等培养数形结合的数学思维，通过股票价格、公交票价等实例训练分段函数的数学语言表达。课中助力情境化教学，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

学习目标　1.通过实例，了解生活中两个变量间的依赖关系、函数关系的含义.2.能辨析依赖关系和函数关系.3.认识并会分析分段函数. 导语 客观世界中有各种各样的运动变化现象.例如，在“天宫二号”发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路营运里程逐年增加……所有这些变化现象都表现出变量间的对应关系，数学上我们可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律. 一、生活中的依赖关系与函数关系 问题1　某人坐摩天轮一圈用时8分钟.摩天轮匀速转动，则他所处的高度与摩天轮的转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？ 提示　此人所处的高度与摩天轮的转动时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟. 问题2　某人坐摩天轮一圈用时8分钟.摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他所处的高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？ 提示　每取一个t值，有唯一一个h值与之对应. 知识梳理 1.依赖关系 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系. 2.函数关系 (1)如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. (2)两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么变量x和y具有函数关系. 注意点： 函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.要确定变量间的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量. 例1　下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)圆的面积和它的半径； (2)速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； (3)家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； (4)正三角形的面积和它的边长. 解　(1)中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系； (2)中，在速度不变的情况下，汽车行驶的路程s与行驶时间t之间存在正比例关系； (3)中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性； (4)中，正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝a2的关系. 综上，(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系，其中(1)(2)(4)是函数关系. 反思感悟　判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考查对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应. 跟踪训练1　(多选)下列变量之间的关系是依赖关系而不是函数关系的是(　　) A.光照时间与果树亩产量 B.某同学在某次考试中的数学成绩与他的考试号 C.水稻的产量与施肥量 D.高一定的三角形的面积与底边长 答案　AC 二、通过图象反映两个变量之间的关系 例2　如图所示为某市一天24小时内的气温变化图. (1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？ (2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？ (3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？ 解　(1)上午8时的气温是0 ℃，全天的最高气温大约是9 ℃，在14时达到，全天的最低气温大约是－2 ℃，在4时达到. (2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃. (3)大约在8时到22时之间，气温在0 ℃以上.变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图象是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t具有依赖关系，也具有函数关系. 反思感悟　用图象反映两个变量间的关系是一种常用的表示两个变量关系的方法，在解决此类问题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的依赖关系是如何变化的. 跟踪训练2　一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时~24时)体温的变化情况的是(　　) 答案　C 解析　从亮亮的体温变化，可以看出图象应为早晨37 ℃以上37 ℃(中午)37 ℃以上37 ℃(半夜)，结合图象知，只有C项符合. 三、分段函数 分段函数 一般地，分段函数就是对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数. 注意点： (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数. (2)作分段函数的图象时，应分别作出每一段的图象. (3)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. 例3　某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位：元)与时间t(单位：天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上.根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P与时间t所满足的函数关系. 解　P＝ 反思感悟　借助图表可以直观地呈现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律. 跟踪训练3　某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元； (2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算). 每相邻两个站点之间的距离为1千米，如果某空调公共汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站)，求票价y(单位：元)关于路程x(单位：千米)的函数解析式，并画出图象. 解　根据题意，如果某空调公共汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站)，那么汽车行驶的总路程为19千米，所以自变量x的取值范围是{x∈N＋|x≤19}. 由空调公共汽车票价制定的规则，可得到以下函数解析式： y＝ 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图所示. 1.知识清单： (1)依赖关系. (2)函数关系. (3)通过图象反映两个变量之间的关系. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：依赖关系与函数关系容易混淆. 课时对点练 [分值：85分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.下列说法错误的是(　　) A.圆的周长与其直径的比值是常量 B.任意四边形的内角和的度数是常量 C.发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系 D.某手机的研发费用与销售量之间是函数关系 答案　D 解析　A，B，C中说法均正确，而D中，研发费用与销售量之间是依赖关系，但不是函数关系. 2.谚语“瑞雪兆丰年”说明(　　) A.下雪与来年的丰收具有依赖关系 B.下雪与来年的丰收具有函数关系 C.下雪是丰收的函数 D.丰收是下雪的函数 答案　A 解析　积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用.所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系. 3.大明种植了10亩小麦，每亩施肥量x千克，小麦总产量y千克，则(　　) A.x，y之间有依赖关系 B.x，y之间有函数关系 C.y是x的函数 D.x是y的函数 答案　A 解析　虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系. 4.一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)(　　) 答案　A 解析　开始一段时间路程逐渐增大，速度不变，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A. 5.电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费.通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象表示为下图中的(　　) 答案　B 6.星期天，小明从家出发出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是(　　) A.从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了 B.从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了 C.从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了 D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家 答案　B 解析　水平线段表明小明离家的距离始终是300 m，然后离家距离达到500 m，故可能情况是小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了. 7.(5分)从市场中了解到，饰用K金的含金量如表： K数 24 K 22 K 21 K 18 K 14 K 含金量% 99以上 91.7 87.5 75 58.5 K数 12 K 10 K 9 K 8 K 6 K 含金量% 50 41.66 37.5 33.34 25 饰用K金的K数与含金量之间是　　　　关系，K数越大，含金量　　　　.  答案　函数　越高 8.(5分)假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示： (1)甲、乙两人中先到达终点的是　　　　；  (2)乙在这次赛跑中的速度为　　　　m/s.  答案　(1)甲　(2)8 解析　设甲、乙的速度分别为v1，v2， 则v1＝(m/s)，v2＝＝8(m/s)，v1>v2，甲先到达终点. 9.(12分)下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；(2分) (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；(2分) (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系；(2分) (4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系；(2分) (5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系；(2分) (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系.(2分) 解　(1)地球绕太阳公转，二者间的距离与时间存在函数关系，其中时间是自变量，距离是因变量. (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间存在函数关系，其中时间是自变量，高度是因变量. (3)某超市一天的销售额与客流量之间是依赖关系，但不是函数关系. (4)某十字路口，通过汽车的数量与时间存在函数关系，其中时间是自变量，通过汽车的数量是因变量. (5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间存在函数关系，其中时间是自变量，杯中水的体积是因变量. (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间不存在函数关系. 10.(12分)如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系.骑车者9时离开家，15时回到家.根据这个曲线图，请你回答下列问题： (1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2分) (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(2分) (3)第一次休息时，离家多远？(2分) (4)11：00到12：00他骑了多少千米？(2分) (5)他在9：00~10：00和10：00~10：30的平均速度分别是多少？(2分) (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？(2分) 解　(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米. (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时. (3)第一次休息时，离家17千米. (4)11：00至12：00，他骑了13千米. (5)9：00~10：00的平均速度是10千米/时； 10：00~10：30的平均速度是14千米/时. (6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐. 11.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿半圆形路径M→A→C→B→M匀速慢跑一周，那么李老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是(　　) 答案　D 解析　由题意得，从M到A的过程中，李老师与M的距离在增加，由A经C到B的过程中，李老师与M的距离不变，都是半圆的半径长，由B到M的过程中，李老师与M的距离逐渐减少，故选D. 12.(多选)将水注入不同形状的玻璃容器中，从空瓶到注满为止，如图所示(设单位时间内进水量相同)，在每个容器下方给出的图象中，能正确反映该容器中水面的高度随时间变化规律的是(　　) 答案　AC 解析　对于A中，容器为圆柱形，水的高度随时间的变化应为直线型，所以A正确；对于B中，容器下为圆台形上为圆柱形，水的高度随时间的变化先越来越快，后为直线型，所以B不正确；对于C中，容器为上粗下细的椭球形的一半，水的高度随时间的变化应越来越慢，所以C正确；对于D中，容器下为球形上为圆柱形，水的高度随时间的变化为先越来越慢后越来越快，最后为直线型，所以D不正确. 13.(5分)某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入　　　　，它们之间是　　　　关系.  答案　增加　函数 14.(5分)国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表： 运送距离x(km) 0<x≤500 500<x≤1 000 1 000<x≤1 500 … 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 … 如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是　　　　元.  答案　7.00 解析　∵800 g<1 000 g， ∴适用表格给出的邮资标准. ∵1 000<1 200<1 500，∴应付邮资7.00元. 学科网（北京）股份有限公司 $