第1章 4.3 一元二次不等式的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦一元二次不等式的应用，系统梳理简单分式不等式的解法（通过等价转化为整式不等式），三个“二次”（二次函数、方程、不等式）的内在联系，以及实际问题中的建模应用，构建从基础解法到综合应用的学习支架。 以“刹车距离判断超速”情境导入，用数学眼光观察现实问题，例题中分式不等式等价转化培养数学思维的逻辑性，实际应用案例（销售利润、花圃设计）提升数学语言表达能力。课中例题解析助教师高效授课，课后练习题与总结帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

4．3　一元二次不等式的应用 新课导入 学习目标 　　在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问题：如何判断甲、乙两车是否超速？ 1.会解简单的分式不等式． 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 3．能用一元二次不等式解决实际问题． 知识点　简单的分式不等式 [知识梳理] 简单分式不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)≥0；(2)<1. 【解】　(1)因为≥0，所以≤0，等价于解得－4<x≤2， 所以原不等式的解集为{x|－4<x≤2}． (2)移项得－1<0，通分化简得到分式不等式<0，等价于(x＋3)(x－2)<0，解得－3<x<2.所以原不等式的解集为{x|－3<x<2}． 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． [跟踪训练1] (1)不等式>0的解集是________． 解析：因为>0等价于(2x＋1)(x－1)>0， 解得x>1或x<－， 所以不等式>0的解集是 . 答案： (2)已知关于x的不等式≤0的解集为A.若3∈A，4∉A，则a的取值范围是__________________． 解析：由3∈A，得≤0， 即解得a≤或a>3. 又4∉A，所以>0或4－a＝0， 即(4a－1)(4－a)>0或a＝4， 解得<a≤4. 综上，a的取值范围是<a≤或3<a≤4. 答案：<a≤或3<a≤4 应用点一　三个“二次”之间的关系 [例2] 若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 【解】　方法一：由题意知 所以 代入不等式cx2－bx＋a>0中得 ax2＋ax＋a>0(a<0)， 即x2＋x＋1<0， 化简得x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2.所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}． 方法二：由题意得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，，且a<0，所以－＝＋＝，＝×＝， 由cx2－bx＋a>0得x2－x＋1<0， 即x2＋x＋1<0，即x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2，所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}． 母题探究　若将本例中“”改为“{x|<x<}”，其他条件不变，如何求解？ 解：由题意知 所以 代入不等式cx2－bx＋a>0， 得ax2＋ax＋a>0(a>0)， 即x2＋x＋1>0， 化简得x2＋5x＋6>0， 解得x>－2或x<－3. 所以所求不等式的解集为{x|x>－2，或x<－3}． 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： [跟踪训练2] (1)(2026·驻马店月考)已知不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为(　　) 解析：选C.因为不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}，所以a<0，且即所以y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax－2a＝a(x2－x－2)＝a(x－2)(x＋1)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，两个零点为x1＝2，x2＝－1. (2)(多选)已知不等式ax2＋bx－6<0的解集为{x|－3<x<2}，下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．－3，2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根 C.b＝－1 D．不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥2} 解析：选BD.因为不等式ax2＋bx－6<0的解集为{x|－3<x<2}， 所以－3和2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根， 有解得故A，C错误，B正确；不等式x2－bx－2a≥0即x2－x－2≥0，可得解集为{x|x≤－1，或x≥2}，故D正确． 应用点二　一元二次不等式的实际应用 [例3] (对接教材例5)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500. (1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 【解】　(1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式为w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10x2＋600x－5 000(10≤x≤50). (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得 －10x2＋600x－5 000≥3 000. 化简得，x2－60x＋800≤0. 解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}． 解不等式应用题的步骤 [跟踪训练3] (2026·广东部分学校联考)如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花圃四周(阴影部分)铺设宽度相同的观赏通道．已知三块花圃的面积均为150 m2.若矩形花圃的长比宽至少多5 m，记花圃的宽为x m，则x的取值范围为________． 解析：因为三块花圃的面积均为150 m2，所以长为 m，又矩形花圃的长比宽至少多5 m，所以≥x＋5，即x2＋5x－150≤0，即(x－10)(x＋15)≤0，且x>0，所以0<x≤10. 答案： 1．不等式≥1的解集是(　　) A． B． C． D．{x|－2≤x<3} 解析：选C.不等式≥1可转化为－1≥0，即≥0，等价于解得≤x<2. 2．(2026·重庆月考)已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k<4　　　　　　　　 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3 解析：选D.由已知得一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1＝0有解，所以k－3≠0，且4－4(k－3)≥0，所以k≤4且k≠3. 3．(2026·焦作月考)已知不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1<x<3}，则b＋c＝____________． 解析：由题意，－1和3为方程5x2－bx＋c＝0的根， 则解得 所以b＋c＝10－15＝－5. 答案：－5 4．某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝0.21v＋0.006v2，在一次交通事故中，测得汽车的刹车距离不小于39 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为________km/h. 解析：设这辆汽车刹车前的车速为v km/h(v>0)，根据题意，有s＝0.21v＋0.006v2≥39，整理得6v2＋210v－39×1 000≥0, 解得v≥65或v≤－100(舍去)，所以这辆汽车刹车前的车速至少为65 km/h.　 答案：65 1．已学习：(1)简单的分式不等式的解法； (2)二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系及应用； (3)一元二次不等式的实际应用． 2．须贯通：已知不等式解集逆求参数的一般思路： (1)将不等式解集转化为相应方程根； (2)将方程根代入方程求得参数值． 3．应注意：(1)解分式不等式要等价变形； (2)实际问题中变量的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $