第1章 4.2 一元二次不等式及其解法 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦一元二次不等式的解法及应用核心知识点，从基础的不等式标准化与因式分解求解，到与集合运算、函数零点、充分必要条件的综合应用，再到含参数不等式的分类讨论，构建递进式学习支架。 资料题型多样，涵盖选择、填空、解答及多选题，通过含参数不等式讨论（如第13题）培养推理能力，结合集合与条件关系（如第14题）发展逻辑思维，解析详尽助力教师授课，分层题目帮助学生课后巩固查漏补缺。

1．不等式－x2＋6x＋27>0的解集为(　　) A．{x|－3<x<9} B．{x|－9<x<3} C．{x|x<－3，或x>9} D．{x|x<－9，或x>3} 解析：选A.由－x2＋6x＋27>0，得x2－6x－27<0，即(x－9)(x＋3)<0，解得－3<x<9，所以不等式－x2＋6x＋27>0的解集为{x|－3<x<9}． 2．已知集合A＝{x|x2<3}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0，1，2，3} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，1} D．{0，1，2} 解析：选C.因为A＝{x|x2<3}＝{x|－<x<}，B＝{－1，0，1，2，3}，所以A∩B＝{－1，0，1}． 3．已知函数y＝x2－bx＋c的零点为1，2，则不等式－x2＋cx＋b<0的解集为(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|x<－3，或x>1} C．{x|－3<x<1} D．{x|x<－1，或x>3} 解析：选D.由题意可得 解得 所以代入不等式得－x2＋2x＋3<0， 整理可得x2－2x－3>0， 即(x－3)(x＋1)>0， 所以不等式的解集为{x|x<－1，或x>3}． 4．设x∈R，使得不等式x2－2x－8<0成立的一个充分不必要条件是(　　) A．{x|－2<x<4} B．{x|x>－2} C．{x|2≤x≤3} D．{x|x<4} 解析：选C.由x2－2x－8<0， 即(x＋2)(x－4)<0，解得－2<x<4， 对比选项，只有{x|2≤x≤3}是{x|－2<x<4}的真子集，可知不等式x2－2x－8<0成立的一个充分不必要条件是{x|2≤x≤3}． 5．(2026·焦作月考)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解析：选B.不等式可变形为(x－m)(x＋n)<0，由m＋n>0，得m>－n，所以不等式的解集为{x|－n<x<m}． 6．(多选)下列不等式中解集非空的是(　　) A．x2－3x＋3<0 B．x2＋6x＋9≤0 C．－x2－2x－1>0 D．x2－2ax＋a2－1≥0 解析：选BD.对于A，因为Δ＝(－3)2－4×3＝－3<0，抛物线y＝x2－3x＋3开口向上，与x轴无交点，所以不等式x2－3x＋3<0无解，即解集为空集，所以A不符合题意； 对于B，由x2＋6x＋9≤0，得(x＋3)2≤0，得x＝－3，所以不等式的解集为{x|x＝－3}，所以B符合题意； 对于C，因为Δ＝(－2)2－4×(－1)×(－1)＝0，抛物线y＝－x2－2x－1开口向下，与x轴只有一个交点，所以不等式－x2－2x－1>0无解，即解集为空集，所以C不符合题意； 对于D，因为Δ＝(－2a)2－4(a2－1)＝4>0，所以抛物线y＝x2－2ax＋a2－1与x轴有两个不同的交点，因为抛物线y＝x2－2ax＋a2－1开口向上，所以不等式x2－2ax＋a2－1≥0的解集非空，所以D符合题意． 7．要使有意义，则x的取值范围为________． 解析：要使有意义， 则3x2－4x＋1≥0，解得x≤或x≥1， 故x的取值范围为. 答案： 8．若A＝{x|mx2＋2mx＋2<0}＝∅，则m的取值范围为________． 解析：当m＝0时，2<0不成立，A＝∅，符合题意，故m＝0； 当m≠0时，由A＝∅， 得 解得0<m≤2， 所以m的取值范围为0≤m≤2. 答案：0≤m≤2 9．若关于x的不等式ax＋b<0的解集为{x|x>－2}，则关于x的不等式ax2－bx>0的解集为________． 解析：因为不等式ax＋b<0的解集为{x|x>－2}， 所以a<0，－＝－2，即b＝2a， 所以ax2－bx>0⇔ax2－2ax>0⇔x2－2x<0⇔x(x－2)<0，　 解得0<x<2，即不等式ax2－bx>0的解集为{x|0<x<2}． 答案：{x|0<x<2} 10．(13分)解下列不等式： (1)4x2≥12x－9；(4分) (2)x2－x＋<0；(4分) (3)x2＋>x.(5分) 解：(1)不等式可化为4x2－12x＋9≥0，即(2x－3)2≥0，所以x∈R， 即不等式的解集为R. (2)不等式可化为<0，无解， 即不等式的解集为∅. (3)不等式可化为x2－x＋>0， 即＋>0，所以x∈R， 即不等式的解集为R. 11．(多选)(2026·阜阳期中)下列关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a>0的解集讨论正确的是(　　) A．当a＝1时，解集为∅ B．当a>1时，解集为{x|x>a} C．当a<1时，解集为{x|x<a或x>1} D．无论a取何值，解集均不为空集 解析：选CD.原不等式可化为(x－1)(x－a)>0. 对于A，当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，解得x≠1，故A错误；对于B，当a>1时，不等式的解集为{x|x<1或x>a}，故B错误；对于C，当a<1时，不等式的解集为{x|x>1或x<a}，故C正确；对于D，由上述分析可知，无论a取何值，不等式的解集均不为空集，故D正确． 12．已知关于x的不等式x2－(a＋2)x＋2a<0的解集中恰有两个整数，则正整数a的值为________． 解析：由不等式x2－(a＋2)x＋2a<0，得(x－a)·(x－2)<0， 显然a≠2，否则原不等式解集为空集． 当a<2时，解得a<x<2，要使原不等式的解集中恰有两个整数，a必小于0，与a为正整数矛盾；当a>2时，解得2<x<a，要使原不等式的解集中恰有两个整数，则4<a≤5，所以正整数a的值为5. 答案：5 13．(13分)(2026·宁夏月考)已知关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1≤0. (1)当a＝2时，解不等式；(4分) (2)当a∈R时，解不等式．(9分) 解：(1)当a＝2时，2x2－3x＋1≤0，即(2x－1)(x－1)≤0，解得≤x≤1， 所以原不等式的解集为{x|≤x≤1}． (2)当a∈R时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)≤0， 若a＝0，不等式为－x＋1≤0，解得x≥1； 若a≠0，令(ax－1)(x－1)＝0，解得x＝或x＝1， 当a<0时，则<0<1，解得x≤或x≥1； 当a>0时，则>0， 若0<a<1，则>1，解得1≤x≤； 若a＝1，原不等式为(x－1)2≤0，解得x＝1； 若a>1，则<1，解得≤x≤1. 综上所述，若a＝0，不等式解集为{x|x≥1}； 若a<0，不等式解集为{x|x≤或x≥1}； 若0<a<1，不等式解集为{x|1≤x≤}； 若a＝1，不等式解集为{x|x＝1}； 若a>1，不等式解集为{x|≤x≤1}． 14．(15分)设集合A＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0}，B＝{x|x2－5x－6<0}． (1)若m＝4，求A∩B，(∁RA)∪B；(7分) (2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)当m＝4时，由x2－8x＋12≤0，解得2≤x≤6，即A＝{x|2≤x≤6}． 由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，即B＝{x|－1<x<6}． 所以A∩B＝{x|2≤x<6}， ∁RA＝{x|x<2，或x>6}，则(∁RA)∪B＝{x|x<6，或x>6}． (2)由题意得，AB， 因为x2－2mx＋m2－4＝[x－(m－2)][x－(m＋2)]≤0，m－2<m＋2， 所以A＝{x|m－2≤x≤m＋2}， 由(1)知B＝{x|－1<x<6}， 所以解得1<m<4， 即实数m的取值范围是{m|1<m<4}． 15．若方程ax2＋bx＋c＝0有唯一的实数根2，则不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为________________________________. 解析：①当a＝0时，由题意知方程bx＋c＝0有唯一的实数根2，此时b≠0，且2b＋c＝0， 得不等式bx－2b≥0，即b(x－2)≥0， 则当b>0时，x≥2；当b<0时，x≤2. ②当a≠0时，由题意知方程ax2＋bx＋c＝0有唯一的实数根2， 即二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴只有一个交点(2，0)， 当a>0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R； 当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x＝2}． 综上所述，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x＝2}或R或{x|x≤2}或{x|x≥2}． 答案：{x|x＝2}或R或{x|x≤2}或{x|x≥2} 学科网（北京）股份有限公司 $