1.4.3 一元二次不等式的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦一元二次不等式的应用这一核心知识点，承接一元二次不等式解法，通过实际情境抽象出不等式关系，构建二次函数模型，按设未知数、列不等式组、求解、结合实际意义确定答案的步骤，形成从理论到应用的完整学习支架。 该资料以刹车距离、企业盈利等真实情境驱动，通过数学抽象将实际问题转化为不等式模型，培养数学建模能力。题型涵盖分式不等式、恒成立问题等，结合通性通法指导，强化数学运算。课中助力教师情境教学与分层讲解，课后练习题及解析帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

4.3　一元二次不等式的应用 课标 要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一元二次不等式的现实意义（数学抽象）. 2.能够构建一元二次函数模型解决实际问题（数学建模、数学运算）. 　　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2. 【问题】　如何判断甲、乙两车是否超速？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　利用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1.选取合适的字母表示题中的未知数. 2.由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）. 3.求解所列出的不等式（组）. 4.结合题目的实际意义确定答案. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）不等式＞1的解集是{x｜x＜1}.（　×　） （2）若a＞0，则关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0有解集的充要条件是Δ＝b2－4ac≥0.（　√　） （3）若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0在R上恒成立，则（　×　） 2.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t％征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是（　　） A.{t｜1≤t≤3} B.{t｜3≤t≤5} C.{t｜2≤t≤4} D.{t｜4≤t≤6} 解析：B　设按销售收入的t％征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t％＝60（8t－t2）.令y≥900，即60（8t－t2）≥900，解得3≤t≤5. 3.不等式≥0的解集为　{x｜－1≤x＜1}　. 解析：原不等式⇔∴－1≤x＜1. 题型一　简单的分式不等式 解下列不等式： （1）≥0；（2）＞1. 解：（1）原不等式等价于 即∴－2≤x＜3. ∴原不等式的解集为{x｜－2≤x＜3}. （2）原不等式可化为－1＞0，即＜0. ∴（3x－2）（4x－3）＜0，∴＜x＜. ∴原不等式的解集为. 通性通法 解分式不等式的策略 （1）对于形如＞0（＜0）的不等式可等价转化为mn＞0（＜0）来解决；对于形如≥0（≤0）的不等式可等价转化为来解决； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 1.不等式＜0的解集为　　. 解析：原不等式可化为（x＋1）（2x－1）＜0，∴－1＜x＜，故原不等式的解集为. 2.不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为　5　. 解析：由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5. 题型二　不等式恒成立问题 角度1　在R上恒成立问题 若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（　　） A.（－3，0] B.[－3，0） C.[－3，0] D.（－3，0） 解析：A　①k＝0时，－＜0，不等式恒成立.②k≠0时，不等式恒成立应满足即－3＜k＜0.由（1）（2）知－3＜k≤0. 【母题探究】 （变条件）若把本例条件变为“不等式2kx2＋kx＋＞0对一切实数x都成立”，试求k的取值范围. 解：当k＝0时，不等式为＞0，显然成立； 当k≠0时，则有解得0＜k＜3.所以k的取值范围为[0，3）. 通性通法 　　转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 角度2　在给定范围上恒成立问题 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围为　（－∞，－5）　. 解析：令y＝x2＋mx＋4，∵y＜0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得解得m＜－5，∴实数m的取值范围是（－∞，－5）. 通性通法 在给定范围上的恒成立问题 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0； （2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 1.命题“∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A.a≥4　 　B.a≥5 C.a≤4　 　D.a≤5 解析：B　因为命题“∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 2.若对∀x∈R不等式x2＋mx＞4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围. 解：原不等式可化为x2＋（m－4）x＋4－m＞0， ∴Δ＝（m－4）2－4（4－m）＝m2－4m＜0， ∴0＜m＜4，∴m的取值范围为{m｜0＜m＜4}. 题型三　一元二次不等式的实际应用 某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，n（n∈N＋）年内的总维修保养费用为（4n2＋20n）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设到第n年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）为y万元. （1）写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利； 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由. 解：由题意可知y＝100n－（4n2＋20n）－144＝－4n2＋80n－144（n∈N＋）. 令y＞0，得－4n2＋80n－144＞0，解得2＜n＜18， 所以从第3年起开始盈利. （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目. 解：若选择方案①，设年平均利润为y1， 则y1＝＝80－4（n＋）≤80－4×2＝32，当且仅当n＝，即n＝6时等号成立，所以当n＝6时，y1取得最大值32，此时该项目共获利32×6＋72＝264（万元）. 若选择方案②，纯利润y＝－4n2＋80n－144＝－4（n－10）2＋256， 所以当n＝10时，纯利润取得最大值256，此时该项目共获利256＋8＝264（万元）. 以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需要10年，所以仅考虑该项目的获利情况，选择方案①更有利于该公司发展. 通性通法 解不等式应用题的步骤 某单位在对一个长800 m、宽600 m的矩形区域进行绿化时，是这样想的：中间为矩形草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围. 解：设花坛的宽度为x（0＜x＜300）m，则草坪的长为（800－2x）m，宽为（600－2x）m， 根据题意得（800－2x）·（600－2x）≥×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600（舍去）或x≤100， 所以0＜x≤100. 当x在0＜x≤100之间取值时，草坪的面积不小于总面积的二分之一. 1.不等式≥0的解集为（　　） A.{x｜0≤x≤2} B.{x｜0＜x≤2} C.{x｜x＜0或x≥2} D.{x｜x＜0或x＞2} 解析：B　由原式得x（x－2）≤0且x≠0，解得0＜x≤2，故选B. 2.不等式≥1的解集是（　　） A.{x｜x＜－1或－1＜x≤2} B.{x｜－1≤x≤2} C.{x｜x≤2} D.{x｜－1＜x≤2} 解析：D　∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，即≤0，即（x－2）（x＋1）≤0且x＋1≠0，解得－1＜x≤2. 3.已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是（　　） A.[－4，4] B.（－4，4） C.（－∞，－4]∪[4，＋∞） D.（－∞，－4）∪（4，＋∞） 解析：A　欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4，即实数a的取值范围是[－4，4]. 4.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2（0＜x＜240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是　150　台. 解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，所以x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200（舍去）或x≥150，又因为0＜x＜240，x∈N，所以150≤x＜240，x∈N. 1.不等式＜的解集是（　　） A.{x｜x＜2} B.{x｜x＞2} C.{x｜0＜x＜2} D.{x｜x＜0或x＞2} 解析：D　不等式＜等价于－＜0，等价于＜0，等价于2x（2－x）＜0，解得x＜0或x＞2.故选D. 2.与不等式≥0同解的不等式是（　　） A.（x－3）（2－x）≥0 B.0＜x－2≤1 C.≥0 D.（x－3）（2－x）＞0 解析：B　解不等式≥0，得2＜x≤3，A项，解不等式（x－3）（2－x）≥0得2≤x≤3，故不正确.B项，解不等式0＜x－2≤1得2＜x≤3，故正确.C项，解不等式≥0得2≤x＜3，故不正确.D项，解不等式（x－3）（2－x）＞0得2＜x＜3，故不正确.故选B. 3.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（　　） A.{x｜10≤x＜16} B.{x｜12≤x＜18} C.{x｜15＜x＜20} D.{x｜10≤x＜20} 解析：C　由题意得[30－（x－15）×2]x＞400，即x2－30x＋200＜0，∴10＜x＜20，又∵x＞15，∴15＜x＜20.故选C. 4.已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为（　　） A.{a｜－1≤a≤4} B.{a｜－1＜a＜4} C.{a｜a≥4或a≤－1} D.{a｜－4≤a≤1} 解析：A　由题意知，原不等式可化为－（x－2）2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即（a－4）（a＋1）≤0，∴－1≤a≤4，故选A. 5.若函数y＝x2－ax＋9的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围为（　　） A.a＜6 B.－6＜a＜6 C.0＜a≤6 D.－6≤a≤6 解析：B　依题意x2－ax＋9＞0在R上恒成立，所以Δ＜0，由Δ＝a2－36＜0，解得－6＜a＜6.故选B. 6.〔多选〕下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（　　） A.（x＋8）（x2＋2x＋3）＜2 B.x＋8＜2（x2＋2x＋3） C.＜ D.2x2＋3x－2＞0 解析：BD　依题意，注意到x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2＞0，因此不等式＜2等价于x＋8＜2（x2＋2x＋3），化简得2x2＋3x－2＞0.故选B、D. 7.现有含盐7％的食盐水200克，生产含盐5％以上、6％以下的食盐水，设需要加入含盐4％的食盐水为x克，则x的取值范围是　{x｜100＜x＜400}　. 解析：5％＜＜6％，解得x的取值范围是{x｜100＜x＜400}. 8.若不等式＞ax＋的解集是{x｜4＜x＜b}，则实数a＝　　，b＝　36　. 解析：设＝t（t＞0），则x＝t2，由题意易知不等式at2－t＋＜0的解集为{t｜2＜t＜}，所以2，是方程at2－t＋＝0的两根，即解得 9.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润100（ 5x＋1－）元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的取值范围是　[3，10]　. 解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的取值范围为[3，10]. 10.设m为实数，y＝（m＋1）x2－mx＋m－1. （1）若方程y＝0有实数根，求实数m的取值范围； （2）若不等式y＞0的解集为∅，求实数m的取值范围； （3）若不等式y＞0的解集为R，求实数m的取值范围. 解：（1）当m＋1＝0，即m＝－1时， 方程即x＝2，符合题意； 当m＋1≠0，即m≠－1时， Δ＝m2－4（m＋1）（m－1）≥0， 所以－≤m≤，且m≠－1， 综上，实数m的取值范围为{m｜－≤m≤}. （2）当m＋1＝0，即m＝－1时，x＞2，不符合题意； 当m＋1≠0时， 所以m≤－， 综上，实数m的取值范围为{m｜m≤－}. （3）当m＋1＝0时，x＞2，不符合题意； 当m＋1≠0时， 所以m＞. 综上，实数m的取值范围为{m｜m＞}. 11.在R上定义运算ⓧ：xⓧy＝x（1－y），若不等式（x－a）ⓧ（x＋a）＜1对任意实数x恒成立，则（　　） A.－1＜a＜1 B.0＜a＜2 C.－＜a＜ D.－＜a＜ 解析：C　根据题意，不等式（x－a）ⓧ（x＋a）＜1可变形为（x－a）（1－x－a）＜1，∴x2－x－a2＋a＋1＞0.要使x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，则Δ＝（－1）2－4（－a2＋a＋1）＜0，即4a2－4a－3＜0，∴－＜a＜，故选C. 12.〔多选〕不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意x∈R恒成立，则下列关系正确的是（　　） A.b2－4c＋4≤0 B.b≤0 C.c≥1 D.b＋c≥0 解析：ACD　对于A，将x2＋bx＋c≥2x＋b整理为x2＋（b－2）x＋c－b≥0，因为x2＋bx＋c≥2x＋b对任意x∈R恒成立，所以Δ≤0，即（b－2）2－4（c－b）≤0，整理得b2－4c＋4≤0，A正确；对于B，令b＝1，c＝2，则Δ＝（1－2）2－4（2－1）＝1－4＝－3＜0，B错误；对于C，由A知4c≥b2＋4，即c≥＋1≥1，C正确；对于D，b＋c≥b＋＋1＝（＋1）2≥0，D正确，故选A、C、D. 13.若对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3＜0成立，则a的取值范围是　（－∞，－2）　. 解析：要使x2－ax－3＜0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时a应满足：即解得a＜－2.故当a∈（－∞，－2）时，有x2－ax－3＜0在x∈[－3，－1]上恒成立. 14.某小商品在2024年的价格为8元/件，年销量是a件.现经销商计划在2025年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件.经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格之差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件. （1）写出该商品价格下调后，经销商的年收益y（单位：元）与实际价格x（单位：元/件）的函数关系式； （2）设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2025年的收益比2024年至少增长20％？ 解：（1）由题意知，该商品价格下调后为x元/件，则年销量增加到件，故经销商的年收益y＝（x－3），5.5≤x≤7.5. （2）当k＝2a时，依题意有（x－3）≥（8－3）a×（1＋20％），化简得≥0，解得x≥6或4＜x≤5. 又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2024年的收益比2023年至少增长20％. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $