第1章 4.1 一元二次函数-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦一元二次函数的图象与性质这一核心知识点，从初中已学抛物线的开口方向、对称轴、顶点等基础出发，通过配方将一般式转化为顶点式，系统探究图象的平移与伸缩变换，进而深入分析函数的开口方向、对称轴、单调性及最值，构建完整的学习支架。 该资料以实例（如例1作函数图象并分析平移过程）培养学生几何直观的数学眼光，通过多方法解题（如求解析式的不同思路、含参最值的分类讨论）发展推理能力的数学思维，用表格梳理性质、规范步骤提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 新课导入 学习目标 　　在初中我们学过了一元二次函数，知道了其图象为抛物线，并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征．本节我们将进一步研究一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的平移，函数值的变化趋势，最大值或最小值等性质． 1.掌握一元二次函数的图象与性质． 2．体会用平移的方法研究一元二次函数的图象． 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　一元二次函数及其图象 [知识梳理] 1．一元二次函数及其变形 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a＋， 若设h＝－，k＝，则有y＝a(x－h)2＋k． 2．一元二次函数的图象及变换 (1)图象：一元二次函数的图象叫作抛物线； (2)图象变换：y＝ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度可得y＝a(x－h)2＋k的图象． [例1] 在同一平面直角坐标系中作出下列函数的图象． (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x. 并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象． 【解】　列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示． 由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下． 方法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 方法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 一元二次函数图象平移问题的解题策略 (1)要注意平移的方向，即由哪个函数变换到另一个函数． (2)将函数化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式． (3)判定h与k的正负，利用“左加右减，上加下减”的规则判定平移的方向和大小． [跟踪训练1] 将一元二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一元二次函数y＝x2－2x＋1的图象，则b＝________，c＝________． 解析：y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图象顶点坐标为(1，0). 将一元二次函数y＝x2－2x＋1的图象向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象的顶点坐标为(3，－3)，得到的抛物线方程为y＝(x－3)2－3，即y＝x2＋bx＋c， 所以(x－3)2－3＝x2＋bx＋c，即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c，所以b＝－6，c＝6. 答案：－6　6 知识点二　求一元二次函数的解析式 [例2] 已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且最大值为8，求一元二次函数的解析式． 【解】　方法一：由题意得， 解得 故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 方法二：因为一元二次函数图象过点(2，－1)，(－1，－1)，所以抛物线的对称轴为直线x＝＝， 又因为函数最大值为8，所以y＝a＋8.将点(2，－1)代入得，a＋8＝－1，解得a＝－4. 所以y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 求一元二次函数解析式的步骤 [跟踪训练2] 已知一元二次函数的图象经过两点(0，3)，(2，3)，且函数的最大值是5，则函数y＝__________________． 解析：由于点(0，3)，(2，3)在图象上，所以图象关于直线x＝1对称， 又函数的最大值为5， 设y＝a(x－1)2＋5(a<0)， 将(0，3)代入得3＝a＋5，所以a＝－2， 因此y＝－2(x－1)2＋5＝－2x2＋4x＋3. 答案：－2x2＋4x＋3 知识点三　一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 [知识梳理] 函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) 图象 a＞0 a＜0 性质 抛物线开口向 上，并向上无限延伸 抛物线开口向 下，并向下无限延伸 对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k) 在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大 在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小 抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝k 抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝k 角度1　一元二次函数的性质 [例3] (对接教材例1)已知一元二次函数y＝－2x2＋4x＋3，请回答下列问题． (1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)指出函数y＝－2x2＋4x＋3的图象是由函数y＝－2x2的图象经过怎样的变换得到的； (3)试述函数值的变化趋势及函数的最值． 【解】　(1)因为y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x－1)2＋5，所以该一元二次函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，5). (2)由(1)可知，将函数y＝－2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，即可得到函数y＝－2x2＋4x＋3的图象． (3)由(1)知，函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，则可得在区间(－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[1，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小．故函数在x＝1处取得最大值5，即ymax＝5，无最小值． 角度2　一元二次函数的最值问题 [例4] 求函数y＝(x－1)2＋1在区间[－1，2]上的最大值与最小值． 【解】　函数y＝(x－1)2＋1图象的对称轴为直线x＝1，开口向上． 因为1∈[－1，2]且|－1－1|＞|2－1|， 所以函数y＝(x－1)2＋1在区间[－1，2]上，当x＝1时取得最小值，当x＝－1时取得最大值，故ymin＝1，ymax＝5. 母题探究1　求函数y＝(x－1)2＋1在区间[－2，t]上的最小值． 解：因为函数y＝(x－1)2＋1图象的对称轴为直线x＝1，开口向上． 当－2＜t＜1时，函数值y随x的增大而减小． 所以当x＝t时，ymin＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2；当t≥1时，1∈[－2，t]， 所以当x＝1时，ymin＝1. 综上，ymin＝ 母题探究2　求函数y＝(x－1)2＋1在区间[t，t＋1]上的最小值． 解：如图1所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t＞1，此时当x＝t时，函数取得最小值且ymin＝(t－1)2＋1； 如图2所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]内时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数取得最小值且ymin＝1； 如图3所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1＜1，即t＜0.当x＝t＋1时，函数取得最小值且ymin＝t2＋1. 综上可知，ymin＝ (1)通过“配方法”，得到二次函数的顶点式，然后确定函数图象的开口方向和对称轴，利用数形结合研究函数的性质． (2)求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m，n]上的最值的步骤： ①配方，找对称轴； ②判断对称轴与区间的关系； ③求最值．若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得． [跟踪训练3] (1)(多选)在平面直角坐标系中，对于一元二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中正确的是(　　) A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2 C．当x≤2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2 时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 解析：选ABD.一元二次函数y＝(x－2)2＋1，图象开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2，故A，B正确；当x≤2时，y的值随x值的增大而减小，故C不正确；它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故D正确． (2)已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0，1]，求函数的最大值． 解：函数y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，该函数图象的对称轴为直线x＝a，开口向下． 若a<0，当x＝0时，函数取得最大值且ymax＝1－a； 若0≤a≤1，当x＝a时，函数取得最大值且ymax＝a2－a＋1； 若a>1，当x＝1时，函数取得最大值且ymax＝a. 综上，ymax＝ 1．(教材P34T1改编)关于一元二次函数y＝－2x2＋1，下列说法中正确的是(　　) A．它的图象开口方向向上 B．当x<－1时，y随x的增大而增大 C．它的顶点坐标是(－2，1) D．当x＝0时，y有最大值2 解析：选B.一元二次函数y＝－2x2＋1，图象开口向下，故A错误；当x<0时，y随x的增大而增大，故B正确；它的顶点坐标为(0，1)，故C错误；当x＝0时，y有最大值1，故D错误． 2．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为(　　) A．－3 B．3 C．－2 D．2 解析：选D.因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点的横坐标－＝＝0，故m＝2. 3．(教材P34T2(1)改编)函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左平移______个单位长度，再向上平移________个单位长度而得到． 解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，y＝x2＋x＝－，将y＝x2＋x的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到y＝x2＋2x＋3的图象． 答案：　 4．求函数y＝x2－3x－7在区间[－1，3]上的最值． 解：y＝x2－3x－7＝－， 函数图象的对称轴为直线x＝，开口向上，区间[－1，3]的端点在对称轴的异侧， 且>， 所以当x＝时，ymin＝－； 当x＝－1时，ymax＝－3. 1．已学习：一元二次函数的解析式，一元二次函数的图象及变换． 2．须贯通：一元二次函数的图象和性质，含参的一元二次函数的最值问题体现分类讨论思想． 3．应注意：(1)易忽视一元二次函数的开口方向； (2)二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $