第1章 3.2 第1课时 基本不等式 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦基本不等式核心知识点，系统梳理从基础比较（如a²+b²与2|ab|的大小关系）到条件应用（如ab≤1与≤1的充分必要条件判断），再到综合证明（如a+b+c=1时≥8的证明）的知识脉络，搭建阶梯式学习支架。 该资料特色在于题型多样（单选、多选、填空、解答），融入几何直观（如第11题用半圆图形无字证明不等式），解析强调推理过程（如作差法验证大小、等号成立条件分析）。通过具体实例培养数学思维（严谨逻辑推理）和数学眼光（几何与代数结合），课中辅助分层教学，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

1．若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| 解析：选A.因为a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立). 2．设b>a>0，则下列结论中正确的是(　　) A．< B．0<<1 C．＋的最小值为2 D．< 解析：选B.对于A，由b>a>0， 则0<<，故A错误； 对于B，由b>a>0，则0<<1，故B正确； 对于C，由b>a>0，则>1，0<<1，≠，所以＋>2＝2，故C错误； 对于D，由选项C分析可知，>1，0<<1，>，故D错误．故选B. 3．已知a>0，b>0，则“ab≤1”是“≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为a>0，b>0，若ab≤1，则由a＋b≥2得≤，所以≤＝≤1，充分性成立； 若≤1，例如a＝，b＝2，＝1，但ab＝>1，因此必要性不成立．故选A. 4．下列不等式中正确的是(　　) A．a2＋b2≥4ab B．a＋≥4 C．a2＋2＋≥4 D．a2＋≥4 解析：选D.对于A，a2＋b2－4ab＝(a－b)2－2ab不一定大于等于零，故A错误； 对于B，a＋，当a取负数时，显然a＋<0，所以a＋≥4错误，故B错误； 对于C，a2＋2＋≥2　＝2，当且仅当a2＋2＝1时，等号成立，由于取等条件不成立，所以a2＋2＋>2，当a＝0时，a2＋2＋＝<4，故C错误； 对于D，a2＋≥2＝4，当且仅当a＝±时取等号．故D正确．故选D. 5．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．当x>1时，x＋≥2 B．当x<0时，x＋≤－2 C．当0<x<1时，＋≥2 D．当x≥2时，＋≥2 解析：选BD.对于A，因为x>1，x＋≥2＝2，等号成立的条件是x＝，即x＝1，等号取不到，所以x＋>2，故A错误； 对于B，因为x<0，所以－x>0，所以－x＋≥2，所以x＋≤－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，故B正确； 对于C，因为0<x<1，由基本不等式可知＋≥2，等号成立的条件是x＝1，等号取不到，所以＋>2，故C错误； 对于D，因为x≥2，由基本不等式可得＋≥2，当且仅当x＝2时，等号成立，故D正确．故选BD. 6．(多选)已知a>0，b>0且a＋b＝1，则下列不等式成立的是(　　) A．ab≤ B．＋≤4 C．＋≤ D．a2＋b2≥ 解析：选ACD.对于A，a>0，b>0，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确； 对于B，＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立，故B错误； 对于C，＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以＋≤，故C正确； 对于D，a2＋b2＝2－2ab＝1－2ab≥1－2＝1－＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ACD. 7．已知a>b>c，则与的大小关系是________________． 解析：因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，所以＝≥， 当且仅当a－b＝b－c时，等号成立． 答案：≤ 8．当x＞0时，若2x＋(a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 解析：因为x＞0且a>0，所以2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立，所以＝3，解得a＝18. 答案：18 9．设a>0，b>0，给出下列不等式： ①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)·≥4；④a2＋9>6a. 其中恒成立的是________．(填序号) 解析：由于a2＋1－a＝＋>0，故①恒成立；由于＝ab＋＋＋≥2 ＋2＝4，当且仅当即a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立； 由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故③恒成立； 当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立． 综上，恒成立的是①②③. 答案：①②③ 10．(13分)已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 证明：因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 11．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥ (a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．≤ (a>0，b>0) D．≤ (a>0，b>0) 解析：选D.由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知OF≤FC，即≤ (a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．故选D. 12．(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－[＋]≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab 解析：选AC.对于A，因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；对于B，因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，所以＋a≥2＝4是错误的；对于C，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；对于D，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误． 13．(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　) A．a＋b＋c≤ B．(a＋b＋c)2≥3 C．＋＋≥2 D．a2＋b2＋c2≥1 解析：选BD.因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 上述三个不等式全部相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，所以a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，D选项成立； 所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，B选项成立； 所以a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥，A选项不成立； 若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2，C选项不成立．故选BD. 14．(13分)已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小． 解：由a2＋b2≥2ab可得≤ ，得≥(a＋b). 同理得 ≥(b＋c)， ≥(a＋c). 所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c). 故＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 15．(15分)已知a，b都是正数，求证：≤≤≤ . 证明：因为＋≥2＞0， 所以≤， 即≤， 当且仅当a＝b时，等号成立． 又因为＝≤ ＝， 所以≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立．又由基本不等式得≥，当且仅当a＝b时，等号成立， 故≤≤≤ (当且仅当a＝b时，等号成立). 学科网（北京）股份有限公司 $