专题1.4.2 一元二次不等式及其解法（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦一元二次不等式及其解法核心知识点，从概念辨析出发，通过“三个二次”关系建立数形结合基础，逐步过渡到不含参数解法、含参数分类讨论，再到由解集求参数和根的分布问题，构建递进式学习支架。 资料以“三个二次”关系为核心纽带，运用数形结合培养数学眼光，通过分类讨论逻辑发展数学思维，即学即练与题型变式强化数学语言应用，含思维导图辅助知识梳理，课中助力教师高效教学，课后方便学生巩固查漏。

专题1.4.2 一元二次不等式及其解法 教学目标 理解一元二次不等式的定义，能够辨析一元二次不等式； 掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，学会数形结合求解不等式； 熟练求解不含参数的一元二次不等式； 掌握含参一元二次不等式分类讨论思路（二次项系数、判别式、根的大小）； 已知不等式解集反向确定参数取值； 掌握一元二次方程根的分布问题，利用图象转化为不等式组求解。 教学重难点 1.重点 一元二次不等式的解法（不含参数）； “三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系； 由不等式解集求参数。 2.难点 含参数一元二次不等式的分层讨论（讨论顺序：二次项系数→判别式→两根大小）； 一元二次方程根的分布问题，数形结合列出等价不等式组； a<0时不等式先变形为二次项系数为正再求解； 空集、全体实数解集的识别与理解 知识点 1 一元二次不等式概念及辨析 定义：只含一个未知数，未知数最高次数是 2 的整式不等式，标准形式：、 、 、 辨析要点： 整式不等式；只含有一个未知数；最高次数为 2； a=0时退化为一元一次不等式，不再是一元二次不等式。 【即学即练】 下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 知识点 2 三个二次之间的关系（核心主干） 设 ：方程两根解集： 解集： ：方程有相等实根解集 解集： ：方程无实数根解集： 解集： 口诀：大于取两边，小于取中间 【即学即练】 一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 知识点 3 不含参数一元二次不等式通用解题步骤 ① 整理不等式，把二次项系数化为 ； ② 求解对应一元二次方程的根； ③ 根据 与图像，写出解集（区间 / 集合）。 【即学即练】 下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 知识点 4 含参数一元二次不等式讨论逻辑 讨论固定顺序： 第一层：二次项系数 a=0（一次不等式）、a>0、a<0； 第二层：判别式； 第三层：时，比较两根大小。 【即学即练】 设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 知识点 5 已知一元二次不等式解集求参数 核心结论： 若不等式解集为 可得： ①；②是方程两根； 利用韦达定理（根与系数关系）建立方程求参数。 【即学即练】 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 知识点 6 一元二次方程根的分布（数形结合） 给定区间[m,n]，讨论f(x)=0根在区间内、区间外、左右侧的条件； 解题四要素： 、 、 、 。 【即学即练】 已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 题型 01 一元二次不等式的概念及辨析 【典例1】下列不等式是否是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1】49．不等式一定表示一个一元二次不等式吗？ 【变式2】下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型 02 解不含参数的一元二次不等式 【典例1】已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 【变式1】已知，则“”是“”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 B． C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型 03 解含有参数的一元二次不等式 【典例1】对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1】若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是______. 【变式2】解关于的不等式：． 【变式3】已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 题型 04 由一元二次不等式的解集确定参数 【典例1】已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【变式1】已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【变式2】已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【变式3】已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【变式4】已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 题型 05 一元二次方程根的分布问题 【典例1】关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【变式1】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【变式2】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 题型 06 一元二次不等式恒成立、存在性问题 【典例1】若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【变式1】已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【变式2】命题“，”是假命题，求实数的取值范围_______________． 【变式3】若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 1．已知且，则“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 3．“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 6．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 7．若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 1．已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 2．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 3．（1）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集． 4．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 5．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 6．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 7．已知不等式的解集为，求不等式的解集． 8．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 9．若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4.2 一元二次不等式及其解法 教学目标 理解一元二次不等式的定义，能够辨析一元二次不等式； 掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，学会数形结合求解不等式； 熟练求解不含参数的一元二次不等式； 掌握含参一元二次不等式分类讨论思路（二次项系数、判别式、根的大小）； 已知不等式解集反向确定参数取值； 掌握一元二次方程根的分布问题，利用图象转化为不等式组求解。 教学重难点 1.重点 一元二次不等式的解法（不含参数）； “三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系； 由不等式解集求参数。 2.难点 含参数一元二次不等式的分层讨论（讨论顺序：二次项系数→判别式→两根大小）； 一元二次方程根的分布问题，数形结合列出等价不等式组； a<0时不等式先变形为二次项系数为正再求解； 空集、全体实数解集的识别与理解 知识点 1 一元二次不等式概念及辨析 定义：只含一个未知数，未知数最高次数是 2 的整式不等式，标准形式： 辨析要点： 整式不等式；只含有一个未知数；最高次数为 2； a=0时退化为一元一次不等式，不再是一元二次不等式。 【即学即练】 下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 知识点 2 三个二次之间的关系（核心主干） 设 ：方程两根解集：解集： ：方程有相等实根解集：解集： ：方程无实数根解集：；解集： 口诀：大于取两边，小于取中间 【即学即练】 一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案. 【详解】由的解集为空，结合对应二次函数性质有. 故选：B 知识点 3 不含参数一元二次不等式通用解题步骤 ① 整理不等式，把二次项系数化为正数； ② 求解对应一元二次方程的根； ③ 根据与图像，写出解集（区间 / 集合）。 【即学即练】 下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 知识点 4 含参数一元二次不等式讨论逻辑 讨论固定顺序： 第一层：二次项系数 a=0（一次不等式）、a>0、a<0； 第二层：判别式； 第三层：时，比较两根大小。 【即学即练】 设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意可知：关于的一元二次方程有实根， 则，解得或． 知识点 5 已知一元二次不等式解集求参数 核心结论： 若不等式解集为，可得： ①；②是方程两根； 利用韦达定理（根与系数关系）建立方程求参数。 【即学即练】 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 知识点 6 一元二次方程根的分布（数形结合） 给定区间[m,n]，讨论f(x)=0根在区间内、区间外、左右侧的条件； 解题四要素：开口方向、判别式、对称轴范围、区间端点函数值符号。 【即学即练】 已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 题型 01 一元二次不等式的概念及辨析 【典例1】下列不等式是否是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)是一元二次不等式. (2)时，为一元一次不等式.；不等于0时，是一元二次不等式 (3)是二元二次不等式. (4)是一元一次不等式. 【变式1】49．不等式一定表示一个一元二次不等式吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不一定．当时表示一个一元二次不等式．当时表示一个一元一次不等式． 【变式2】下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)不是 (6)不是 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据一元二次不等式的定义判断. 【详解】（1）符合一元二次不等式的定义，所以（1）是一元二次不等式. （2）符合一元二次不等式的定义，所以（2）是一元二次不等式. （3）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义. （4）不是，因为x的最高次数为3，不符合一元二次不等式的定义. （5）不是，因为当时，它为一元一次不等式；当时，它为二元二次不等式. （6）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义. 题型 02 解不含参数的一元二次不等式 【典例1】已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）解一元二次方程，求出的取值； （2）结合二次函数图象，求出的取值范围； （3）结合二次函数图象，求出的取值范围． 【详解】（1）已知， 当时，，即， 解得， 时，的取值为2，3． （2）函数开口向上， 当时，的取值范围为或．    （3）函数开口向上， 当时，的取值范围为．    【变式1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 【变式2】设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解为，结合充分条件，必要条件的判定方法，即可求解； 【详解】由，可得，解得或，即，所以充分性成立； 反之：若，可得，即，所以必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 【变式3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，利用平方法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 于是由，或， 所以不等式的解集为. 题型 03 解含有参数的一元二次不等式 【典例1】对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 【变式1】若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 【变式2】解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为 【变式3】已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 题型 04 由一元二次不等式的解集确定参数 【典例1】已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 【变式1】已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 【变式2】已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABC 【分析】根据一元二次不等式的解集，可判断的符号和关系，再逐项进行判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，抛物线开口向下，故函数有最大值，选项A正确； 不在解集内，，选项B正确； 已知，方程的两根分别为，故， 所以；，所以，故，选项C正确； 易知，不等式化为，可得， 即，解得，故选项D错误. 故选：ABC 【变式3】已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 【变式4】已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，且分别为方程的两根， 由根与系数的关系，得即. 将代入不等式， 化简得，即. 容易判断或时，均不符合题意，所以. 所以原不等式即为， 依题意应有且，所以. 故答案为： 题型 05 一元二次方程根的分布问题 【典例1】关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 【变式1】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 【变式2】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 题型 06 一元二次不等式恒成立、存在性问题 【典例1】若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 【变式1】已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 【变式2】命题“，”是假命题，求实数的取值范围_______________． 【答案】 【分析】利用二次函数性质结合判别式求解 【详解】由题意，命题“，”是假命题，可得二次函数与轴有交点， 又由二次函数性质，可得，即，解得或， 即实数的取值范围为 【变式3】若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则 ，解得， 综上可得. 1．已知且，则“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】只需举反例推翻充分性和必要性即可得出结论. 【详解】若且，则方程有解， 但此时不等式的无解，故充分性不成立， 对于必要性，当且时， 关于的不等式的解为全体实数， 但是关于的方程无实数解，故必要性也不成立. 所以“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的既非充分又非必要条件. 故选：D 2．已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 3．“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由真子集列不等式组求解可得. 【详解】易知．∵“”的一个充分不必要条件是“”， ∴，则或，解得． ∴实数a的取值范围为． 故选：D 4．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得. 由，得. 若是的必要不充分条件，则，解得. 5．已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，求出、的值，进而求出的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和2是方程的两个根， 所以，，所以，. 所以. 故选：C. 6．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 7．若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 8．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 1．已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1)3 (2)时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为． 【分析】（1）由二次函数的性质求解即可； （2）先因式分解，再对分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为，在上单调递增， 所以的最大值为 （2）由得， 若，则； 若，则； 若，则； 综上：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为． 2．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【答案】当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． ． 【分析】先求解不等式得的范围，再通过比较方程的两根大小，求得不等式的解集. 【详解】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 3．（1）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或． 【分析】（1）结合根与系数关系求解可得； （2）直接将必要条件转化为两个集合的包含关系，再分类讨论可得； （3）直接将不等式分解因式，再根据两根的大小分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）设二次函数的两个不相等的零点为，且， 所以，解得. 所以实数的取值范围为． （2）设，， 因为是的必要条件，所以， ①当时符合题意，此时，解得； ②当时，则且等号不能同时成立，解得． 综上所述，实数的取值范围为． （3）由不等式化为，， 即得． 因为，所以， ①当，即时，原不等式的解集为或； ②当时，原不等式化为，原不等式的解集为； ③当时，，原不等式的解集为或． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式解的解集为； 当时，不等式的解集为或. 4．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 5．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 6．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. ． 7．已知不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【详解】根据已知解集可知， 原不等式可化为， 方程的两个根为、， ，． ，，，． 因而不等式可化为． 由，可得 是方程的两个根． 又，． 故不等式的解集为． 8．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解． 综上，不论m取何值，方程都有实数根． (2)或 【分析】（1）先讨论m是否为0，再利用一元二次方程根的判别式判断即可. （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可． 【详解】（1）略 （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数， 所以或. 9．若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3，根据韦达定理求得实数a与b的值； （2）将实数a与b的值代入不等式，根据一元二次不等式的解法求得其解集. 【详解】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3， 根据韦达定理，得. 所以. （2）由（1）得，代入不等式， 得，即. 解得：，或. 所以不等式的解集为或. 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $