第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦基本不等式应用这一核心知识点，系统梳理从基础形式（a+b≥2√ab）到配凑、换元、常数代换等方法的运用脉络，搭建从代数最值求解到实际问题建模的学习支架。 资料通过分层设计选择、填空、解答题，结合仓储中心建造、海报设计等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过严谨推理（如配凑使和定积最大）发展数学思维，用不等式模型表达数量关系提升数学语言能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固应用、查漏补缺。

1．若y＝x＋＋1(x>1)，则y的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 解析：选C.x＋＋1＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立． 2．已知x>1，y>0，x＋y＝2，则(x－1)y的最大值是　(　　) A． B． C． D．1 解析：选A.因为x>1，y>0，x＋y＝2，则x－1>0，(x－1)＋y＝1， 可得(x－1)y≤＝，当且仅当x－1＝y，即x＝，y＝时，等号成立，所以(x－1)y的最大值是. 3．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C(单位：万元)与仓储中心到机场的距离s(单位：km)之间满足的关系为C＝＋2s＋2 000，则当C最小时，s＝(　　) A．2 080 B．20 C．20 D．400 解析：选B.依题意，s>0，则C＝＋2s＋2 000≥2＋2 000＝2 080， 当且仅当＝2s，即s＝20时，等号成立，所以当C最小时，s＝20. 4．已知负实数x，y满足x＋y＝－2，则－x的最大值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．4 解析：选B.根据题意有x＝－y－2，故－x＝＋y＋2＝－[＋(－y)]＋2≤－2＋2＝0， 当且仅当－y＝，即y＝－1，x＝－1时，等号成立． 5．(2026·衡阳月考)对于任意的0<x<4，m>恒成立，则(　　) A．m> B．m> C．m> D．m> 解析：选D.对于任意的0<x<4，m>恒成立，则m>()max，而＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以m>. 6．(多选)已知正数x，y满足2x＋y＝1，则下列不等式中正确的是(　　) A．8xy≤1 B．＋≥12 C．4x2＋y2≥ D．x(y＋1)≤ 解析：选AC.对于A，因为2x＋y＝1≥2，则xy≤，当且仅当2x＝y， 即x＝，y＝时，等号成立，故A正确； 对于B，＋＝(＋)(2x＋y)＝6＋＋≥6＋2＝6＋4， 当且仅当＝，即x＝，y＝2－时，等号成立，故B错误； 对于C，由A可知xy≤，所以4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy≥1－4×＝， 当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立，故C正确； 对于D，因为x(y＋1)＝·2x(y＋1)≤·[]2＝，当且仅当2x＝y＋1，即x＝，y＝0时，等号成立，这与x，y均为正数矛盾，故x(y＋1)<，故D错误． 7．已知x>1，则2x＋取最小值时，实数x的值是____________． 解析：因为2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时，等号成立． 答案：2 8．已知实数x，y，z满足(x＋y)z＝2，则xyz2的最大值为____________． 解析：由(x＋y)z＝2，得xz＋yz＝2，所以xyz2＝xz·yz≤()2＝1， 当且仅当xz＝yz＝1时，等号成立，故xyz2的最大值为1. 答案：1 9．已知x>0，y>0，且满足x＋y－xy＝0，则x＋y的最小值为____________． 解析：因为x＋y－xy＝0， 所以＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即x＝y＝2时，等号成立，所以x＋y的最小值为4. 答案：4 10．(13分)(1)已知正实数a，b满足a＋b＝4，求＋的最小值；(6分) (2)设x>－1，求y＝的最小值．(7分) 解：(1)因为正实数a，b满足a＋b＝4， 所以＋＝(a＋b) ＝≥ (5＋2)＝， 当且仅当＝且a＋b＝4， 即a＝，b＝时，等号成立， 所以＋的最小值为. (2)由题意，设t＝x＋1>0，则x＝t－1， 则y＝＝＝＝t＋＋3≥2＋3， 当且仅当t＝，即t＝，即x＝－1时，等号成立，所以y＝的最小值为2＋3. 11．(多选)(2026·桂林月考)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝3，则下列选项正确的是(　　) A．x2＋y2的最大值是6 B．x＋y的最小值是2 C．x＋y的最大值是2 D．xy的最大值是3 解析：选ACD.对于A，因为x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，且x2＋y2－xy＝3，所以x2＋y2－3＝xy≤，即x2＋y2≤6，当且仅当x＝y＝±时等号成立，故A正确； 对于B，C，x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝3，则(x＋y)2－3＝3xy≤3×，则(x＋y)2≤12，当且仅当x＝y＝±时取等号，即－2≤x＋y≤2，所以当x＝y＝时，x＋y取得最大值2，当x＝y＝－时，x＋y取得最小值－2，故B错误，C正确； 对于D，x2＋y2－xy＝3≥2xy－xy，则xy≤3，当且仅当x＝y＝±时等号成立，故D正确． 12．已知正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为____________． 解析：因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＋＝a＋＋b＋＝＋＋1， 又＋＝(a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即a＝b＝2－时，等号成立， 即＋＝＋＋1≥4＋2，所以＋的最小值为4＋2. 答案：4＋2 13．(15分)已知x>2，y>0，xy＝y＋4. (1)求x＋y的最小值和(x－1)2＋y2的最小值；(7分) (2)求x＋的最小值．(8分) 解：(1)因为x>2，y>0，xy＝y＋4， 所以x＝1＋，所以 解得0<y<4， 所以x＋y＝1＋＋y≥1＋2＝5，当且仅当＝y，即y＝2，x＝3时，等号成立， 所以x＋y的最小值为5； 又(x－1)2＋y2＝＋y2≥2＝8，当且仅当＝y2，即y＝2，x＝3时，等号成立， 所以(x－1)2＋y2的最小值为8. (2)因为x＝1＋，x>2且0<y<4，所以4－y>0， 所以x＋＝1＋＋ ＝1＋＋ ＝1＋1＋＋＋1 ≥3＋2＝5， 当且仅当＝，即y＝2，x＝3时，等号成立，所以x＋的最小值为5. 14．(15分)某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长a cm，宽b cm的矩形，面积为60 cm2.版面设计如图所示：海报上下左右边距均为2 cm，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为1 cm.三个栏目的文字宣传区域面积和为S. (1)用a，b表示文字宣传区域面积和S；(6分) (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和S最大？最大面积是多少？(9分) 解：(1)依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为a－6，b－4的矩形，所以S＝(a－6)(b－4). (2)依题意，ab＝60，由(1)知， S＝ab－(4a＋6b)＋24＝84－(4a＋6b)≤84－2＝84－24， 当且仅当4a＝6b，即a＝3， b＝2时，等号成立， 所以纸张的长和宽分别为3cm，2cm时，文字宣传区域面积和S最大，最大面积为(84－24)cm2. 15．若max{x1，x2，x3}表示三个数中的最大值，则对任意的正实数x，y，max的最小值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：选B.设N＝max{x，2y，＋}，则x≤N，2y≤N，＋≤N， 因为x>0，y>0，则得2xy(＋)≤N3.又因为2xy·(＋)≥2xy·＝8，所以N3≥8， 当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，则N≥2，故max{x，2y，＋}的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $