第1章 4.1 一元二次函数 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦一元二次函数核心知识点，系统梳理解析式求解（顶点式、交点式）、图象变换（平移规律）、性质应用（对称轴、最值、单调性）及与一次函数的综合问题，构建从基础到综合的学习支架。 特色在于通过分层题目设计培养数学思维与几何直观，如结合顶点式求参数体现抽象能力，图象分析一次函数与二次函数关系发展推理意识，分类讨论参数最值问题强化逻辑思维。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

1．已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(2，1)，并且图象过点(0，0)，则a＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.设y＝a(x－2)2＋1，代入(0，0)可得4a＋1＝0，解得a＝－.故选B. 2．已知抛物线与x轴交于点(－1，0)，(1，0)，并且与y轴交于点(0，1)，则抛物线的解析式为(　　) A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1 解析：选A.设y＝a(x－1)(x＋1)， 代入(0，1)，得a(0－1)(0＋1)＝－a＝1， 所以a＝－1，所以y＝－x2＋1. 故选A. 3．y＝2x＋b和y＝2x2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象可以是(　　) 解析：选C.对于A，y＝2x＋b的图象必过第一、三象限，故A错误； 对于B，从图象可得y＝2x＋b中b>0， 二次函数的图象的对称轴方程为x＝－>0，解得b<0，故B错误； 对于C，从图象可得y＝2x＋b中b<0， 二次函数的图象的对称轴方程为x＝－>0，解得b<0，故C正确； 对于D，y＝2x2＋bx＋c的图象开口向上，故D错误．故选C. 4．已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若自变量x取值为x1，x2时，对应的函数值为y1，y2，且y1＝y2，则当x＝x1＋x2时，y的值为(　　) A．－ B．－ C．c D． 解析：选C.由已知y1＝y2，且一元二次函数的图象关于直线x＝－对称，得x1＋x2＝－.所以当x＝x1＋x2时，y＝a·－b·＋c＝c. 5．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(　　) 解析：选D.当m>0时，函数y＝mx＋m的函数值随x的增大而增大，且图象交y轴于正半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧；当m<0时，函数y＝mx＋m的函数值随x的增大而减小，且图象交y轴于负半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，满足上述条件的只有D选项． 6．(多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 解析：选ABD.函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－，设与x轴的交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝， 对于A，a<0，－<0，－<0，>0，则a<0，b<0，c<0，所以abc<0，符合题意； 对于B，a<0，－>0，－>0，<0，则a<0，b>0，c>0，所以abc<0，符合题意； 对于C，a>0，－<0，－<0，>0，则a>0，b>0，c>0，所以abc>0，不符合题意； 对于D，a>0，－>0，－>0，>0，则a>0，b<0，c>0，所以abc<0，符合题意．故选ABD. 7．函数y＝x2－6x－3的最小值是________． 解析：因为y＝x2－6x－3＝(x－3)2－12， 当x＝3时，y取得最小值，所以ymin＝－12. 答案：－12 8．已知一元二次函数y＝3x2的图象上有两点(2，y1)，(5，y2)，则y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”). 解析：因为在区间(0，＋∞)上，y＝3x2的函数值y随x的增大而增大，且2＜5，所以y1＜y2. 答案：＜ 9．已知函数y＝ax2－2ax＋3－b(a＞0)在区间[1，3]上有最大值5和最小值2，则a＋b＝________． 解析：配方，得y＝ax2－2ax＋3－b＝a(x－1)2－a＋3－b(a＞0)，此函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，所以在区间[1，3]上，函数值y随x增大而增大．故当x＝3时，该函数取得最大值，即ymax＝3a－b＋3＝5，当x＝1时，该函数取得最小值，即ymin＝－a－b＋3＝2，所以a＋b＝1. 答案：1 10．(13分)已知一元二次函数y＝－x2＋4x＋6. (1)指出它的图象可由函数y＝－x2的图象经过怎样的变换而得到；(6分) (2)指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．(7分) 解：(1)配方得y＝－(x2－8x)＋6＝－(x2－8x＋16－16)＋6＝－(x－4)2＋14. 所以函数y＝－x2＋4x＋6的图象可以由y＝－x2的图象向右平移4个单位长度，再向上平移14个单位长度而得到． (2)该图象的对称轴为直线x＝4，在区间(－∞，4]上，函数值y随x的增大而增大；在区间[4，＋∞)上，函数值y随x的增大而减小．函数值y在x＝4处有最大值，即ymax＝14，无最小值． 11．将抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝x2－2x－3，则b，c的值为(　　) A．b＝2，c＝2 B．b＝－2，c＝－1 C．b＝2，c＝0 D．b＝－3，c＝2 解析：选C.将一元二次函数y＝x2－2x－3的解析式表示为顶点式得y＝(x－1)2－4. 利用逆向变换，先将该函数向上平移3个单位长度，所得函数的解析式为y＝(x－1)2－1，再将所得函数的图象向左平移2个单位长度，得到函数的解析式为y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x， 因此，b＝2，c＝0.故选C. 12．已知0≤x≤3，下列有关函数y＝x(3－2x)的说法，错误的是(　　) A．最小值为－9 B．最小值为0 C．最大值为 D．当x∈R时，函数图象的对称轴为直线x＝ 解析：选B.当0≤x≤3时， 函数y＝－2＋， 当x＝3时，ymin＝－9，即函数y＝x(3－2x)的最小值为－9，A正确，B错误； 当x＝时，ymax＝，即函数y＝x(3－2x)的最大值为，C正确； 当x∈R时，二次函数y＝x(3－2x)图象的对称轴为直线x＝，D正确．故选B. 13．已知函数y＝x2－2x，当－1≤x≤t时，该函数的最大值为3，则t的最大值为________． 解析：令y＝3，则x2－2x＝3，解得x＝－1或x＝3. 由图可知，t的最大值为3. 答案：3 14．(13分)已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)且x＋x＝.若该函数的图象是由y＝－3(x－1)2的图象向上平移k个单位长度得到的，求实数k的值，并写出此函数的解析式． 解：由题意可知所求函数的解析式为 y＝－3(x－1)2＋k， 即y＝－3x2＋6x－3＋k. 由题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝. 又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝， 所以4－＝，解得k＝， 所以该函数的解析式为 y＝－3(x－1)2＋， 即y＝－3x2＋6x－. 15．(13分)已知函数y＝ax2－2x(a>0)，求该函数在[0，1]上的最小值． 解：因为a>0，所以y＝ax2－2x的图象开口向上且对称轴为直线x＝. 当0<<1，即a>1时， y＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内， 所以y＝ax2－2x在上随x的增大而减小，在上随x的增大而增大． 所以ymin＝－＝－； 当≥1，即0<a≤1时，y＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]的右侧， 所以y＝ax2－2x在[0，1]上随x的增大而减小． 所以ymin＝a－2. 综上，ymin＝ 学科网（北京）股份有限公司 $