第1章 3.1 不等式的性质 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦不等式的性质及应用这一核心知识点，系统梳理从不等式基本性质（加法、乘法）到比较大小（作差法），再到取值范围确定及实际应用（糖水不等式）的递进学习支架。 资料特色在于题型多样，通过反例分析（如第1题用特殊值验证选项）培养数学思维的严谨性，结合生活情境（糖水不等式证明）发展数学眼光，解答题强化逻辑推理与数学语言表达。课中辅助教师突破难点，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

1．已知a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．a2>b2 B．|a|>|b| C．a＋c>b＋c D．ac>bc 解析：选C.取a＝－2，b＝－3，则a2<b2，|a|<|b|，A，B错误； 因为a>b，c∈R，由不等式的性质可得 a＋c>b＋c，C正确； 当c<0时，因为a>b，则ac<bc，D错误．故选C. 2．设实数a＝－，b＝－1，c＝－，则(　　) A．b>a>c B．c>b>a C．a>b>c D．c>a>b 解析：选A.a＝－＝，b＝－1＝，c＝－＝，因为＋1<＋<＋，所以>>，即b>a>c. 3．设a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab>bc B．ac>bc C．ab>ac D．a|b|>c|b| 解析：选C.因为a>b>c且a＋b＋c＝0， 所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零． 由b>c，a>0知，ab>ac恒成立． 4．下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d B．若a>b，c>d，则ac>bd C．若a>b，则ac2>bc2 D．若a<b<0，c<0，则> 解析：选A.对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等号方向不变，A正确； 对于B，当a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1时，ac＝bd，故B错误； 对于C，当c＝0时，ac2＝bc2，故C错误； 对于D，－＝， 因为b－a>0，c<0，ab>0， 所以－<0，<，故D错误．故选A. 5．若α，β满足－90°<α<β<90°，则α－β的取值范围是(　　) A．－180°<α－β<180° B．－180°<α－β<0° C．－90°<α－β<90° D．－90°<α－β<0° 解析：选B.从题中－90°<α<β<90°可分离出三个不等式：－90°<α<90°①，－90°<β<90°②，α<β③.根据不等式的性质，②式同乘－1得－90°<－β<90°④，根据同向不等式的可加性，可得－180°<α－β<180°.由③式得α－β<0°，所以－180°<α－β<0°.　 6．(多选)(2026·淮北月考)若正实数x，y满足x>y，则下列结论正确的有(　　) A．xy<y2 B．x2>y2 C．<(m>0) D．< 解析：选BCD.对于A，由于x，y均为正实数，且x>y，两边同时乘y得xy>y2，故A错误；对于B，由于x，y为正实数，且x>y，所以x2>y2，故B正确；对于C，由于x，y为正实数，且x>y，m>0，所以y(x＋m)－x(y＋m)＝m(y－x)<0，则y(x＋m)<x(y＋m)，所以<成立，故C正确；对于D，由于x，y为正实数，且x>y，所以x>x－y>0，取倒数得0<<，故D正确． 7．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M________N．(填“＝”“>”或“<”) 解析：因为M＝a1a2，N＝a1＋a2－1， 所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 因为0<a1<1，0<a2<1， 所以a1－1<0，a2－1<0， 所以M－N＝(a1－1)(a2－1)>0，即M>N. 答案：> 8．(2026·南阳月考)不等式a>b和>同时成立的条件是____________． 解析：因为－＝，所以a>b和>同时成立的条件是a>0>b. 答案：a>0>b 9．已知3<a＋b<4，0<b<1，则a的取值范围为________． 解析：因为3<a＋b<4，0<b<1，所以－1<－b<0， 所以2<(a＋b)＋(－b)<4，即2<a<4. 答案：2<a<4 10．(13分)(1)比较4x2－x＋1与3x2＋x－1的大小；(6分) (2)已知c>a>b>0，求证：>.(7分) 解：(1)由(4x2－x＋1)－(3x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 可得4x2－x＋1>3x2＋x－1. (2)证明：－＝＝， 因为c>a>b>0， 所以a－b>0，c－a>0，c－b>0， 所以>0，所以>. 11．若a是实数，P＝＋a，Q＝＋，则P，Q的大小关系是(　　) A．Q>P B．P＝Q C．P>Q D．由a的取值确定 解析：选A.显然P，Q都是正数， 又P2＝(＋a)2＝2a2＋10＋2a， Q2＝(＋)2＝2a2＋10＋2＝2a2＋10＋2， 若a<0，则2>0>2a，Q2>P2，所以Q>P； 若a≥0，则2a＝2<2，Q2>P2，所以Q>P. 综上所述，Q>P.故选A. 12．(多选)下列命题正确的有(　　) A．若a>b，且>，则ab<0 B．若c＜a＜b＜0，则＞ C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>>0，则a－>b－ 解析：选ACD.对于A，因为>，所以－＝>0.因为a>b，所以b－a<0，若使>0，则ab<0，故A正确； 对于B，因为c＜a＜b＜0，所以－c＞－a＞－b＞0，所以b－c＞b－a＞0，所以＜，故B错误； 对于C，－＝＝， 因为a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0，故－＝>0， 所以>，C正确； 对于D，－＝(a－b)＋＝(a－b)， 因为a>b>>0，所以a－b>0，b－＝>0，所以ab－1>0，即ab>1，1>，1－>0， 所以－＝(a－b)·>0，故a－>b－，D正确．故选ACD. 13．给出下列三个论断：①a>b>c；②ab>bc；③b>0且c<0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________． 解析：若选择①③作为条件，②作为结论：若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc，故选择①③作为条件，②作为结论的命题正确； 若选择①②作为条件，③作为结论：若a>b>c，ab>bc，则(a－c)b>0，故b>0，但c也可能大于0或等于0，故选择①②作为条件，③作为结论的命题不正确； 若选择②③作为条件，①作为结论：若ab>bc，b>0且c<0，则(a－c)b>0，故a>c，但a与b大小关系不确定，故选择②③作为条件，①作为结论的命题不正确． 答案：若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc 14．(15分)(1)已知实数x，y满足－1≤x≤2，0≤y≤1，求x－2y的取值范围；(7分) (2)已知－1<a＋b<3，2<a－b<4，求2a＋3b的取值范围．(8分) 解：(1)因为－1≤x≤2，－2≤－2y≤0， 所以－3≤x－2y≤2， 所以x－2y的取值范围是[－3，2]. (2)设2a＋3b＝m(a＋b)＋n(a－b)， 则解得m＝，n＝－， 所以2a＋3b＝(a＋b)－(a－b). 因为－1<a＋b<3，2<a－b<4， 所以－<(a＋b)<， －2<－(a－b)<－1， 所以－<(a＋b)－(a－b)<， 即－<2a＋3b<， 所以2a＋3b的取值范围为(－，). 15．(15分)(1)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(a>0，b>0，且a>b)，若再添加c克糖(c>0)后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：>，趣称之为“糖水不等式”．请证明这个不等式．(6分) (2)若a，b，c为△ABC的三边长，证明：＋＋<2.(9分) 证明：(1)因为a>b>0，c>0， 所以－＝>0， 所以>. (2)a，b，c为△ABC的三边长，则有a＋b>c>0，a＋c>b>0，b＋c>a>0， 由(1)知：<，<，<， 将以上不等式左右两边分别相加得：＋＋<＋＋＝2， 所以＋＋<2. 学科网（北京）股份有限公司 $