第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中全称量词命题与存在量词命题的否定这一核心知识点，系统梳理从基础命题否定规则（如全称命题否定为特称命题并否定结论）到结合参数取值范围（如由命题真假求参数范围）的完整脉络，构建由易到难的学习支架，涵盖选择、填空、解答等多种题型。 资料亮点在于通过分层设计的例题与习题，培养学生的数学思维（如逻辑推理判断命题真假）和数学语言表达能力（如符号化表述命题否定）。例如第10题要求判断命题类型并写出否定，强化推理意识；第14题结合方程根与参数范围，让学生用数学语言表达数量关系。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

1．命题“∀x≤0，x2≤1”的否定为(　　) A．∀x>0，x2>1 B．∀x≥0，x2≤1 C．∃x≤0，x2>1 D．∃x≥0，x2≤1 解析：选C.根据全称量词命题的否定可得：∀x≤0，x2≤1的否定为∃x≤0，x2>1. 2．命题“至少有一个实数x，使得x3＋1＝0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x3＋1＝0 B．∀x∈R，x3＋1＝0 C．∃x∈R，x3＋1≠0 D．∀x∈R，x3＋1≠0 解析：选D.“至少有一个实数x，使得x3＋1＝0”是存在量词命题， 其否定为∀x∈R，x3＋1≠0. 3．已知命题p：∃x>3，x≤m，若¬p为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．m>3 B．m<3 C．m≤3 D．m≥3 解析：选C.因为¬p：∀x>3，x>m为真命题，所以m≤3. 4．已知命题p：∀x∈R，x2＋1>1，命题q：∃x>0，x3＝x则(　　) A．p和q都是真命题 B．p和¬q都是真命题 C．¬p和q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析：选C.对于命题p：取x＝0，则x2＋1＝1，所以p为假命题，¬p为真命题； 对于命题q：取x＝1，则x3＝1＝x，所以q为真命题，¬q为假命题， 结合选项可知A，B，D错误，C正确． 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<1} B．{a|a≤1} C．{a|a>1} D．{a|a≥1} 解析：选D.因为p为假命题，所以¬p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即∀x>0，x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.所以实数a的取值范围是{a|a≥1}．故选D. 6．(多选)下列结论正确的是(　　) A．“∃n∈N，n2－n＋1＝0”的否定是“∀n∈N，n2－n＋1≠0” B．∀a∈R，方程x2＋ax－2＝0有实数根 C．∃n∈N，n2＋1是4的倍数 D．“∀x∈R，都有x2＋x＋1<0”的否定是“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0” 解析：选AB.对于A，“∃n∈N，n2－n＋1＝0”的否定是“∀n∈N，n2－n＋1≠0”，A正确； 对于B，Δ＝a2－4×(－2)＝a2＋8>0，方程x2＋ax－2＝0恒有实数根，B正确； 对于C，当n是偶数时，n2＋1是奇数不是4的倍数；当n是奇数时，设n＝2k＋1，k∈Z，　 n2＋1＝(2k＋1)2＋1＝4k2＋4k＋2＝4(k2＋k)＋2，则n2＋1不是4的倍数，C错误； 对于D，“∀x∈R，都有x2＋x＋1<0”的否定是“∃x∈R，使得x2＋x＋1≥0”，D错误． 7．命题“存在实数x，y，z，使x≠y或y≠z”的否定是__________________________________________. 解析：命题“存在实数x，y，z，使x≠y或y≠z”的否定为对任意的实数x，y，z，有x＝y＝z. 答案：对任意的实数x，y，z，有x＝y＝z 8．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n>x2”的否定为____________________________. 解析：由题意，原命题的否定是：∃x∈R，∀n∈N＋，使得n≤x2. 答案：∃x∈R，∀n∈N＋，使得n≤x2 9．(2026·柳州月考)已知命题p：∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0.若命题¬p为真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：因为p：∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，则¬p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a<0. 因为命题¬p为真命题，所以a>(x2)max， 当1≤x≤2时，1≤x2≤4，当x＝2时，(x2)max＝4，所以a>4. 答案：a>4 10．(13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数x，都有x2≥|x|；(4分) (2)存在实数x，使得x2＋x－2≤0；(4分) (3)方程x2－3x＋1＝0的每一个根都是正数．(5分) 解：(1)全称量词命题． 原命题的否定：存在一个实数x，使得x2<|x|.原命题的否定是真命题． (2)存在量词命题． 原命题的否定：对任意的实数x，都有x2＋x－2>0.原命题的否定是假命题． (3)全称量词命题． 原命题的否定：方程x2－3x＋1＝0至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题． 11．(多选)(2026·长沙月考)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x2>x，则(　　) A．¬q：∀x≤0，x2≤x B．¬p是真命题 C．p和¬q都是假命题 D．q是真命题 解析：选BCD.命题q：∃x>0，x2>x，则¬q：∀x>0，x2≤x，故A错误；当x＝0时，|x＋1|＝1，故命题p为假命题，则¬p是真命题，故B正确；¬q：∀x>0，x2≤x，当x＝2时，x2>x，故¬q是假命题，q为真命题，故C，D正确． 12．已知a是常数，命题p：存在实数x，使得|x|－a<0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围为____________． 解析：命题p：存在实数x，使得|x|－a<0，为假命题，所以它的否定：对任意实数x，|x|－a≥0，为真命题，所以a≤|x|对任意实数x都成立，即a≤(|x|)min，所以实数a的取值范围是a≤0. 答案：(－∞，0] 13．(15分)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若命题p：∃x∈B，x∉A是假命题，求m的取值范围；(7分) (2)若命题q：∃x∈A，x∈B是真命题，求m的取值范围．(8分) 解：(1)由题得命题¬p：∀x∈B，x∈A是真命题，所以B⊆A且B≠∅， 所以解得2≤m≤3. (2)因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1， 所以m≥2， 由q为真命题，则A∩B≠∅， 又因为m＋1≥3， 所以3≤m＋1≤5，所以2≤m≤4. 14．(15分)已知p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有实数根，q：关于x的方程x－2a＋5＝0的解在{x|－3≤x≤9}内． (1)若¬q是真命题，求a的取值范围；(7分) (2)若p和q中恰有一个是真命题，求a的取值范围．(8分) 解：(1)由x－2a＋5＝0， 解得x＝－5＋2a， 所以－3≤－5＋2a≤9，解得1≤a≤7， 因为命题¬q是真命题，则命题q是假命题， 所以实数a的取值范围是a<1或a>7. (2)由(1)知，若命题q是真命题， 则1≤a≤7， 若p为真命题，即关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有实数根， 因此Δ＝4a2－4(a2＋a－2)＝－4a＋8≥0，解得a≤2，则p为假命题时，a>2. 当p真q假时，则 解得a<1； 当p假q真时，则 解得2<a≤7. 综上，p和q中恰有一个是真命题时，a的取值范围为a<1或2<a≤7. 15．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题，则实数a的取值范围为__________． 解析： 因为命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题， 所以命题“∀m∈R，A∩B＝∅”为真命题； 因为集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}， 所以，当A＝∅，即a<0时，A∩B＝∅成立； 当A≠∅时，m2＋3>0， 则解得0≤a<3， 综上所述，实数a的取值范围为{a|a<3}． 答案：{a|a<3} 学科网（北京）股份有限公司 $