第1章 3.1 不等式的性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学不等式的性质这一核心知识点，通过商场促销方案的现实问题导入，先系统梳理比较大小的作差法、作商法等方法，再引出不等式的六大性质，最后应用性质解决证明不等式和求代数式取值范围问题，构建完整学习支架。 该资料以现实情境激发兴趣，如用“糖水变甜”现象抽象不等式关系，培养数学眼光。通过作差法比较大小、性质推理证明等环节，发展数学思维，规范符号表达体现数学语言。课中实例助教师高效授课，课后跟踪训练与习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§3　不等式 3．1　不等式的性质 新课导入 学习目标 　　某商场换季促销，降价的方案有两种：一是商品8折后再6折销售，二是商品7折后再7折销售．作为消费者，你希望商场采用哪一种方案呢？ 若将降价的方案改为：一是商品a折后再b折销售，二是商品折后再折销售．你希望商场采用哪一种方案呢？ 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．掌握不等式的性质． 3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较． 4．能够灵活选择方法证明一些简单的不等式． 知识点一　比较大小 思考　我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示：设a，b是两个不相等的实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B， 那么当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. [知识梳理] 文字语言 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b，反过来也成立 a＞b⇔a－b＞0 如果a－b等于0，那么a＝b，反过来也成立 a＝b⇔a－b＝0 如果a－b是负数，那么a＜b，反过来也成立 a＜b⇔a－b＜0 [例1] (对接教材例1)(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小； (2)已知a＞0，b＞0，试比较＋与＋的大小． 【解】　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2) ＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b). 因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. (2)方法一(作差法)： －(＋) ＝＋＝＋ ＝＝. 因为a＞0，b＞0，所以＋＞0，＞0，(－)2≥0， 所以≥0， 所以＋≥＋. 方法二(作商法)： ＝ ＝＝ ＝＝1＋， 因为a＞0，b＞0，所以1＋≥1，＋＞0，＋＞0， 所以＋≥＋. 方法三(平方法)： 因为＝＋＋2， (＋)2＝a＋b＋2，所以－(＋)2＝. 因为a＞0，b＞0，所以≥0， ＋＞0，＋＞0， 故＋≥＋. 比较法的步骤和应用范围 类别 作差法 作商法 步骤 ①作差；②变形；③判断差与0的大小关系；④下结论 ①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论 应用 范围 两数(式)的大小关系不明显，作差后可化为积、商且易于判断与0的大小关系的形式 两数(式)的大小关系不明显，作商后易于判断与1的大小关系 [跟踪训练1] (1)已知x<1，则x3－1与2x2－2x的大小关系是________________． 解析：因为(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)， 又因为＋>0，x－1<0， 所以(x－1)<0， 所以x3－1<2x2－2x. 答案：x3－1<2x2－2x (2)已知a≥1，M＝－，N＝－，则M与N的大小关系是________． 解析：因为a≥1，所以M＝－>0，N＝－>0. 所以＝ ＝ ＝. 因为＋>＋>0， 所以<1，所以M<N. 答案：M<N 知识点二　不等式的性质 思考　我们都知道：a克糖水中含b克糖(a>b>0)，再加m(m>0)克糖，全部溶解后，糖水会变得更甜．你能用一个不等式来表示这个现象吗？ 提示：浓度越大，糖水越甜，即<. [知识梳理] 性质 内容 性质1 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c 性质2 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c 性质3 (1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc； (2)如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc 性质4 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d 性质5 (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd． 特殊地，当a＞b＞0时，an＞bn，其中n∈N＋，n≥2 性质6 当a＞b＞0时，＞，其中n∈N＋，n≥2 [例2] (多选)如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是(　　) A．a＋d<b＋c　　　　　　 B．ac>bd C．ac2>bc2 D．< 【解析】　对于A，取a＝－3，b＝－2，c＝－6，d＝－5，满足由a<b<0，c<d<0，但a＋d＝b＋c，故A不一定成立；对于B，由a<b<0，c<d<0，得－a>－b>0，－c>－d>0，根据不等式的性质有ac>bd，故B一定成立；对于C，因为a<b，c2>0，根据不等式的性质有ac2<bc2，故C不成立；对于D，因为c<d，a<0，根据不等式性质有>，故D一定成立． 【答案】　BD 不等式的性质应用通常有两种方法：一是直接利用不等式的性质，进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式；二是采用取特殊值的方法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中经常采用这种办法． [跟踪训练2] (1)(多选)对于实数a，b，c，下列命题中为假命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则> C．若a<b，c<0，则< D．若a>b，>，则a>0，b<0 解析：选ABC.方法一：因为c2≥0，所以c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 当a>b>0时，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； 当a<b，c<0时，有ac>bc，当ab<0时，<，即>，故C为假命题； 解得ab<0. 因为a>b，所以a>0且b<0，故D为真命题．故选ABC. 方法二(特殊值排除法)： 取c＝0，则ac2＝bc2，故A为假命题； 取a＝2，b＝1，则＝，＝1， 有<，故B为假命题； 取a＝－2，b＝1，c＝－1则＝，＝－1，有>，故C为假命题． 解得ab<0. 因为a>b，所以a>0且b<0，故D为真命题．故选ABC. (2)已知a<b<0，c>0，请用恰当的不等号或等号填空：(a－2)c____________(b－2)c. 解析：因为a<b<0，c>0，则a－2<b－2，由不等式的基本性质可得(a－2)c<(b－2)c. 答案：< 应用点一　证明不等式 [例3] (对接教材例3)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 【证明】　方法一(性质法)： 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又因为a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0. 所以(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘以， 得＜. 又e＜0，所以＞. 方法二(作商法)： ＝. 因为c<d<0，所以－c>－d>0. 因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 所以0<<1，所以0<<1. 又e<0，所以<0， 所以>. 方法三(作差法)： －＝ ＝ ＝. 因为a>b>0，c<d<0， 所以a＋b>0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0， 所以(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0. 因为e<0，所以e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0. 又(a－c)2(b－d)2>0， 所以－>0， 即>. 证明不等式的方法通常有：(1)利用不等式的性质进行证明；(2)借助作差法、作商法比较不等号两边式子的大小，具体步骤与作差或作商比较实数大小的步骤相同，只是要注意书写方式． [跟踪训练3] 已知a>b>0，c<d<0.求证： < . 证明：因为c<d<0， 所以－c>－d>0.所以0<－<－. 又因为a>b>0，所以－>－>0. 所以 > ， 即－ >－ ， 两边同乘以－1，得 < . [例4] 已知－1<x<4，2<y<3. (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 【解】　(1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2，故x－y的取值范围为(－4，2).　 (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18，故3x＋2y的取值范围为(1，18). 母题探究1　若将本例条件改为－1<x<y<3，求x－y的取值范围． 解：因为－1<x<3，－1<y<3，所以－3＜－y<1， 所以－4<x－y<4. 又因为x<y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4，0). 母题探究2　若将本例条件改为－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围． 解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则所以 即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)， 又因为－1<x＋y<4，2<x－y<3， 所以－<(x＋y)<10， 1<(x－y)<， 所以－<(x＋y)＋(x－y)<， 即－<3x＋2y<， 所以3x＋2y的取值范围为. 利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 　 [跟踪训练4] (1)已知12<a<60，15<b<36，则a－b的取值范围是____________，的取值范围是____________． 解析：因为15<b<36，所以－36<－b<－15，所以12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45. 又<<，所以<<， 即<<4. 答案：(－24，45)　(，4) (2)已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是________． 解析：设2a－b＝x(a＋b)＋y(b－a)， 则解得 所以2a－b＝(a＋b)－(b－a)， 因为0<a＋b<2，－1<b－a<1， 所以0<(a＋b)<1，－<－(b－a)<， 结合不等式的性质可得， －<(a＋b)－(b－a)<， 即－<2a－b<. 答案： 1．(教材P26T3改编)已知M＝(a＋2)(a－3)，N＝2a(a－1)，a∈R，则M，N的大小关系是(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N 解析：选C.因为M－N＝(a＋2)(a－3)－2a(a－1)＝－a2＋a－6＝－－<0，所以M<N.故选C. 2．(教材P26T6改编)设实数a，b，c满足a>b>0，c<0，则下列不等式成立的是(　　) A．> B．ac2>bc2 C．c－a>c－b D．< 解析：选B.对于A，若a>b>0，则<，故A错误； 对于B，若a>b>0，又c2>0，则ac2>bc2，故B正确； 对于C，若a>b>0，则－a<－b，c－a<c－b，故C错误； 对于D，若a>b>0，则<，又c<0，则>，故D错误．故选B. 3．(2026·焦作月考)若－1<u<5，－4<v<2，则－u＋3v的取值范围为____________． 解析：由－1<u<5得，－5<－u<1，① 由－4<v<2得，－12<3v<6.② ①②相加得－17<－u＋3v<7. 答案：(－17，7) 4．已知bc－ad≥0，bd>0，求证：≤. 证明：因为bd>0，要证≤，只需证明d(a＋b)≤b(c＋d)， 展开得ad＋bd≤bc＋bd，即ad≤bc， 则bc－ad≥0， 因为bc－ad≥0成立， 所以≤成立． 1．已学习：不等式的性质． 2．须贯通：利用不等式的性质比较大小，证明不等式，求范围． 3．应注意：(1)注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性； (2)特殊情况易忽视． 学科网（北京）股份有限公司 $