第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦全称量词命题与存在量词命题的否定这一核心知识点，系统梳理从命题结构到否定形式的转化原理，通过知识表格对比、步骤总结、例题解析及跟踪训练搭建学习支架，衔接前期量词命题概念，形成完整知识脉络。 该资料以生活中“否定”实例导入培养数学眼光，通过表格对比和逻辑推理训练数学思维，结合参数问题应用提升数学语言表达能力。课中例题与跟踪训练助力教师高效授课，课后母题探究与练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 新课导入 学习目标 　　“否定”是我们生活中经常使用的一个词，某文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要，一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思． 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 知识点一　全称量词命题的否定 [知识梳理] 命题p 命题p的否定 结论 全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 [例1] 写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被2整除的整数都是偶数； (2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； (3)∀x∈R，5x－12＝0. 【解】　(1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数． (2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上． (3)该命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0. 对全称量词命题否定的步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． [跟踪训练1] (1)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，使x3－x2＋1≤0 C．存在x∈R，使x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 解析：选C.对于全称量词命题的否定，要将命题中“任意”变为“存在”，再否定结论，则“对任意的x∈R，使x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使x3－x2＋1>0”．故选C. (2)命题“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解”的否定是___________________________，该否定为________(填“真”或“假”)命题． 解析：命题“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解”的否定是“∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两个解”．当a＝b＝0时，方程有无数解，则该否定是真命题． 答案：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两个解　真 知识点二　存在量词命题的否定 [知识梳理] 命题p 命题p的否定 结论 存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不 具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [例2] (对接教材例7)写出下列存在量词命题的否定，并判断否定的真假． (1)p：某些矩形是正方形； (2)p：∃x∈R，使x2＋1<0； (3)p：∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 【解】　(1)p的否定：“每一个矩形都不是正方形”，为假命题； (2)p的否定：∀x∈R，x2＋1≥0，为真命题； (3)p的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3，为假命题． 对存在量词命题进行否定的方法及关注点 (1)方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定． (2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如：“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等． [跟踪训练2] (1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　) A．对任意实数x, 都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x, 都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 解析：选C.因为存在量词命题的否定是全称量词命题，在否定结论的同时需要改变量词．所以命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C. (2)命题“∃a∈[0，1]，a4＋a2>1”的否定是(　　) A．∃a∉[0，1]，a4＋a2>1 B．∃a∈[0，1]，a4＋a2≤1 C．∀a∈[0，1]，a4＋a2>1 D．∀a∈[0，1]，a4＋a2≤1 解析：选D.存在量词“∃”改成“∀”，再否定结论，可得命题“∃a∈[0，1]，a4＋a2>1”的否定是“∀a∈[0，1]，a4＋a2≤1”．故选D. 应用点　根据命题的否定求参数 [例3] 已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋5＋m>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【解】　因为命题p的否定为假命题，所以命题p：∀x∈R，x2－2x＋5＋m>0为真命题，x2－2x＋5＋m>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}． 母题探究1　本例条件中“∀x∈R，x2－2x＋5＋m>0”变为“∃x∈R，使m－x2＋2x－5>0”，其余条件不变，则实数m的取值范围为____________．　 解析：因为命题p的否定为假命题，所以命题p：∃x∈R，使m－x2＋2x－5>0为真命题，m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即∃x∈R，使m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}． 答案：{m|m>4} 母题探究2　本例条件变为“命题p：∀x∈R，m－x2＋2x－5<0为真命题”，则实数m的取值范围为____________． 解析：因为命题p为真命题，所以m－x2＋2x－5<0可化为m<x2－2x＋5，即m<(x－1)2＋4恒成立，所以m<4，故实数m的取值范围为{m|m<4}． 答案：{m|m<4} 根据含量词命题的真假求参数的策略 (1)命题和它的否定的真假性相反． (2)在解决实际问题时，通常采用“正难则反”间接的方法求参数的取值范围，且范围相同． (3)对求参数范围的问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题． [跟踪训练3] (1)若命题“∃x∈R，使得ax＋2＝0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a>0}　　　　　 B．{a|a>2} C．{0} D．{a|a＝0或a>2} 解析：选C.命题“∃x∈R，使得ax＋2＝0”的否定是“∀x∈R，使得ax＋2≠0”，因此a＝0. (2)若命题“∀x∈R，x2－x＋a≥0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：因为命题“∀x∈R，x2－x＋a≥0”是假命题，所以命题的否定：“∃x∈R，使x2－x＋a<0”为真命题， 所以Δ＝1－4a>0，解得a<. 故实数a的取值范围是. 答案： 1．若命题p：∀n∈N，n∈Z，则p的否定为(　　) A．∀n∈N，n∉Z B．∀n∉N，n∉Z C．∃n∈N，n∉Z D．∃n∈N，n∈Z 解析：选C.由全称量词命题的否定是存在量词命题，故原命题的否定为“∃n∈N，n∉Z”．故选C. 2．(多选)若命题p：无理数的平方是无理数，则(　　) A．p是全称量词命题 B．p是存在量词命题 C．p为真命题 D．¬p：有些无理数的平方不是无理数 解析：选AD.由题意得p是全称量词命题，¬p：有些无理数的平方不是无理数，A，D正确，B错误； 是无理数，但的平方不是无理数，p为假命题，C错误． 3．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为_________________，此命题的否定是________命题．(填“真”或“假”) 解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题． 答案：∃x，y∈R，x＋y>1　假 4．若命题“∃x∈R，4x2－2x＋m＝0”为假命题，则实数m的取值范围为____________． 解析：因为“∃x∈R，4x2－2x＋m＝0”为假命题，所以“∀x∈R，4x2－2x＋m≠0”为真命题，即方程4x2－2x＋m≠0没有实数根，所以4－16m<0，故m>. 答案：m> 1．已学习：全称量词命题、存在量词命题的否定． 2．须贯通：命题真假的判断、全称量词命题与存在量词命题的综合应用． 3．应注意：(1)否定范围不改变； (2)否定不唯一； (3)命题与其否定的真假性相反． 学科网（北京）股份有限公司 $