第1章 2.1 第2课时 充要条件 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，系统梳理从基础概念（如第二象限点的充要条件）到集合、不等式、函数等情境下的条件判断，再到综合证明与集合运算应用的脉络，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料通过多样题型（选择、填空、解答）和实例（如集合相等、不等式范围），培养学生推理能力（如用集合关系判断条件）和模型观念（条件问题转化为集合模型）。课中助力教师分层教学，课后学生可通过不同难度题目巩固，弥补知识盲点。

1．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0　　　　　 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 解析：选B.因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0. 2．已知集合A＝{x}，B＝{x2}，则“x＝1”是“A＝B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由A＝B可得x＝x2，解得x＝0或x＝1，所以“x＝1”是“A＝B”的充分不必要条件． 3．使－1<x<4成立的一个充分不必要条件是(　　) A．－1<x≤4 B．－1<x<0 C．－1<x<5 D．－2<x<1 解析：选B.设集合A＝{x|－1<x<4}，则使－1<x<4成立的充分不必要条件是集合A的真子集． 对照选项知只有B符合题意． 4．已知a>b，则“b>c”是“a＋b>c”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.取a＝－1，b＝－2，c＝－3，此时b>c，a＋b＝c，则充分性不成立；取a＝3，b＝c＝1，此时a＋b>c，b＝c，则必要性不成立． 故“b>c”是“a＋b>c”的既不充分也不必要条件． 5．已知p：－2≤x≤5，q：2－2m≤x≤2＋m(m>0)，若p的充分不必要条件是q，则实数m的取值范围为(　　) A．m≥3 B．0<m≤3 C．m≥2 D．0<m≤2 解析：选D.设集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|2－2m≤x≤2＋m，m>0}， 由题意知BA， 则且等号不同时成立，解得0<m≤2. 6．(多选)下列是“不等式<x＋1<4成立”的必要不充分条件是(　　) A．－<x<3 B．－<x<4 C．－3<x< D．－1<x<3 解析：选BD.由<x＋1<4可得－<x<3， 设集合A＝，其必要不充分条件对应的集合为B，则有AB，对照选项可知B，D符合题意． 7．设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是_____________． 解析：因为a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a2＝b2＝0，即a＝b＝0；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，所以“a2＋b2＝0”的充要条件是“a＝b＝0”． 答案：a＝b＝0 8．已知使不等式m－2<x<m＋1成立的充分不必要条件是0<x<1，则m的取值范围是_________________________________． 解析：由题知{x|0<x<1}{x|m－2<x<m＋1}，所以且等号不同时成立，解得0≤m≤2，所以m的取值范围是{m|0≤m≤2}． 答案：{m|0≤m≤2} 9．命题p：一次函数y＝(k－1)x＋2k＋1的图象经过一、二、四象限的充要条件是____________． 解析：因为一次函数y＝(k－1)x＋2k＋1的图象经过一、二、四象限， 则解得－<k<1，即一次函数y＝(k－1)x＋2k＋1的图象经过一、二、四象限的充要条件是－<k<1. 答案：－<k<1 10．(13分)指出下列各题中，p是q的什么条件： (1)p：a＝2，q：a2＝4；(3分) (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3分) (3)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两个角相等；(3分) (4)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．(4分) 解：(1)由a2＝4，得a＝±2，所以p⇒q，q⇒/ p，即p是q的充分不必要条件． (2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件． (3)由等腰三角形的定义可知，p，q可互相推出，因此p为q的充要条件． (4)A∩B为空集，则A与B无公共元素，但不一定是空集，若A与B之一为空集，则A∩B为空集，因此p为q的必要不充分条件． 11．(多选)(2026·南阳月考)设全集为R，则下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∩B＝A B．(∁RA)∩B＝R C．∁RA⊆∁RB D．A∪(∁RB)＝R 解析：选CD.对于A，因为A∩B＝A，所以A⊆B，不满足题意；对于B，若(∁RA)∩B＝R，则∁RA＝R且B＝R，只有A＝∅且B＝R时成立，不满足题意；对于C，若∁RA⊆∁RB，则B⊆A，同时若B⊆A，则∁RA⊆∁RB，满足题意；对于D，若A∪(∁RB)＝R，则B⊆A，同时若B⊆A，则A∪(∁RB)＝R，满足题意． 12．设U＝R，A＝{x|mx2＋4x＋2＝0}．若∁UA＝U，则m的取值范围为______________；集合A中有两个元素的充要条件是____________． 解析：当∁UA＝U时，A＝∅，即mx2＋4x＋2＝0无解，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m<0，解得m>2.综上可知，m的取值范围为{m|m>2}．集合A中有两个元素，即mx2＋4x＋2＝0有两个不等的实数根，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m>0，解得m<2.因此集合A中有两个元素的充要条件是m<2且m≠0. 答案：{m|m>2}　m<2且m≠0 13．(13分)已知集合A＝{x|－3<2x＋1<7}，B＝{x|x<－4或x>2}，C＝{x|3a－2<x<a＋1}． (1)求A∩(∁RB)；(5分) (2)若“p：x∈∁R(A∪B)”是“q：x∈C”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)因为A＝{x|－3<2x＋1<7}＝{x|－2<x<3}，又∁RB＝{x|－4≤x≤2}， 所以A∩(∁RB)＝{x|－2<x≤2}． (2)因为A∪B＝{x|x<－4或x>－2}， 所以∁R(A∪B)＝{x|－4≤x≤－2}， 因为p是q的充分不必要条件， 则∁R(A∪B)C， 又C＝{x|3a－2<x<a＋1}， 所以解得－3<a<－. 14．(15分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明：①必要性：因为a＋b＝1， 所以a＋b－1＝0. 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，必要性成立． ②充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0， 又ab≠0，所以a≠0且b≠0. 因为a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2>0. 所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1，充分性成立． 综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 15．(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S).设A，B都为有限集合，则下列结论中正确的是(　　) A．A∩B＝∅的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B) B．A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B) C．A⊆B的必要不充分条件是card(A)≤card(B)－1 D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B) 解析：选AB.易知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).A∩B＝∅，也就是集合A与集合B没有公共元素，故A正确；A⊆B，也就是集合A中的元素都是集合B中的元素，因此card(A)≤card(B)，故B正确；当A＝B时，满足A⊆B，此时card(A)＝card(B)，所以card(A)≤card(B)－1不成立，故C错误；A＝B，也就是两个集合中的元素完全相同，元素个数也相等，则有card(A)＝card(B)，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，如A＝{1，2，3}，B＝{1，2，4}，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $