1.2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词”核心知识点，从罗素理发师悖论引入，通过定义（全称量词“所有”等、存在量词“有些”等）、符号（∀、∃）、命题形式（∀x∈M,p(x)、∃x∈M,p(x)）构建知识支架，衔接命题判断、真假分析及含参数问题应用。 该资料以悖论情境激发兴趣，通过“判断-真假-参数”题型分层教学，渗透数学抽象（符号化表述）和逻辑推理（反例验证）素养。课中助力教师引导学生理解概念，课后通过练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.2　全称量词与存在量词 课标 要求 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义（数学抽象、逻辑推理）. 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（数学抽象）. 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（数学抽象）. 第一课时　全称量词命题与存在量词命题 　　在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人.可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”. 【问题】　你能对上述问题进行逻辑分析吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有”“每一个”“任何”“一切”等 符号 ∀ 全称量词命题 在给定集合中，断言　所有　元素都具有同一种性质的命题 形式 “对M中任意的x，有p（x）成立”，可用符号简记为“　∀x∈M，p（x）　”.其中，M是给定的集合，p（x）是一个关于x的语句 提醒：有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在量词 “有些”“有一个”“存在”等 符号 ∃ 存在量词命题 在给定集合中，断言　某些　元素具有一种性质的命题 形式 “存在M中的一个x，使p（x）成立”，可用符号简记为“　∃x∈M，p（x）　”.其中，M是给定的集合，p（x）是一个关于x的语句 提醒：（1）有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题；（2）从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有些或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.（　√　） （2）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题.（　×　） （3）“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词.（　√　） 2.〔多选〕下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A.所有的正方形都是矩形 B.有些梯形是平行四边形 C.∃x∈R，3x＋2＞0 D.至少有一个整数m，使得m2＜1 解析：CD　A是全称量词命题，B、C、D为存在量词命题，显然B为假命题；C选项，取x＝0，则3×0＋2＞0，为真命题；D选项，取m＝0，则02＜1，为真命题. 3.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为　对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立　. 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为“对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立”. 题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断 （1）下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实数乘以0都等于0；③有一个角α，使sin α＝；④凸多边形的外角和等于360°；⑤所有正数都是实数. 其中是全称量词命题的为　②④⑤　，是存在量词命题的为　①③　（填序号）. 解析：①含有存在量词“有的”，故为存在量词命题；②含有全称量词“任何一个”，故为全称量词命题；③含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题；④可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题；⑤含有全称量词“所有”，故为全称量词命题. （2）用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： ①所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立； ②对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； ③一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立. 解：①∀x∈R，x2＋x＋1＞0. ②∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解. ③∃x，y∈Z，3x－2y＝10. 通性通法 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题中的存在量词一般不能省略. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： （1）矩形有一个外接圆； 解：可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题. （2）非负实数有两个平方根； 解：可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题. （3）有一对实数（x，y），使2x－y＋1＜0成立. 解：可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1＜0成立”，是存在量词命题. 题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 判断下列命题的真假： （1）存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0； 解：因为存在一个实数对（－1，－2），使得2×（－1）＋3×（－2）＋3＜0，所以存在量词命题“存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0”是真命题. （2）自然数的平方大于或等于零； 解：省略了全称量词，可以表示为∀n∈N，n2≥0.故是全称量词命题，真命题. （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除； 解：因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，所以存在量词命题“有些整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题. （4）∀x∈R，有｜x＋1｜＞1. 解：是全称量词命题，当x＝0时，不满足｜x＋1｜＞1，所以“∀x∈R，有｜x＋1｜＞1”为假命题. 通性通法 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧 （1）全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p（x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）； （2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p（x0）成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题. 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假： （1）∃x∈Q，x2＝3； 解：存在量词命题.由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数.因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题. （2）每一个三角形的内角和都是180°； 解：全称量词命题.由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题. （3）钝角三角形有的高在三角形外部； 解：存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题. （4）存在a，b∈R，使a2＋b2－2a－2b＋2＝0. 解：存在量词命题.a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2＝0，所以a＝b＝1，该命题是真命题. 题型三　由含量词命题的真假求参数的取值范围 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 解：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅， 所以解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}. 【母题探究】 （变条件）把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围. 解：p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2. 所以或 解得2≤m≤4. 即m的取值范围为{m｜2≤m≤4}. 通性通法 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 （1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式（如x2≥0），确定参数的取值范围； （2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决. 若“存在x∈{x｜3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是　（－∞，5]　. 解析：当m≤5时，“存在x∈{x｜3≤x≤5}，x≥m”是真命题. 1.下列语句不是全称量词命题的是（　　） A.每一个实数都有绝对值 B.自然数都是正整数 C.高二（一）班绝大多数同学是团员 D.每一个学生身高都在150 cm以上 解析：C　“高二（一）班绝大多数同学是团员”，即“高二（一）班有的同学不是团员”，是存在量词命题. 2.〔多选〕（2025·济宁月考）下列命题中是真命题的是（　　） A.∃x∈R，x3＝3 B.∃x∈R，3x＋1是整数 C.∀x∈R，｜x｜＞3 D.∀x∈Q，x2∈Z 解析：AB　A是真命题，由x3＝3得x＝，是无理数，所以选项A为真命题；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，｜x｜＜3；D是假命题，如x＝，x2∉Z. 3.已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a＞0.若p为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a＞－1} B.{a｜a＜－1} C.{a｜a≥－1} D.{a｜a≤－1} 解析：B　依题意知，不等式x2＋2x－a＞0对∀x∈R恒成立，所以在方程x2＋2x－a＝0中必有Δ＝4＋4a＜0，解得a＜－1.故选B. 4.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假： （1）存在一个实数x，使等式x2＋2x－3＝0成立； （2）每个二次函数的图象都与x轴相交. 解：（1）存在量词命题.因为x2＋2x－3＝0，所以x1＝－3，x2＝1，即存在－3或1，使等式x2＋2x－3＝0成立.所以该命题为真命题. （2）全称量词命题.如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题. 1.下列命题中存在量词命题的个数是（　　） ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有｜x｜≥0. A.0 B.1 C.2 D.3 解析：B　命题①含有存在量词，是存在量词命题；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.故选B. 2.下列命题是全称量词命题的是（　　） A.有一个偶数是素数 B.至少存在一个奇数能被15整除 C.有些三角形是直角三角形 D.每个四边形的内角和都是360° 解析：D　因为“每个”是全称量词，所以选D. 3.下列命题不是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的是（　　） A.有一个x∈R，使得x2＞3成立 B.对有些x∈R，x2＞3成立 C.任选一个x∈R，都有x2＞3成立 D.至少有一个x∈R，使得x2＞3成立 解析：C　C选项是全称量词命题，而题中的命题是存在量词命题，故选C. 4.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是（　　） A.{a｜a≥－3} B.{a｜a＞－3} C.{a｜a≤－3} D.{a｜a＜－3} 解析：D　因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a＜－3.故选D. 5.〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A.所有平行四边形的对角线都互相平分 B.若x，y是无理数，则xy一定是有理数 C.若m＜1，则关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根 D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比 解析：AD　易知A是真命题；当x＝，y＝时，xy＝，是无理数，所以B是假命题；由关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根，得解得0＜m＜1，所以C是假命题；两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比，所以D是真命题.故选A、D. 6.〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A.∀x∈R，｜x＋1｜＞0 B.∀x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0 C.∃x∈N，使≤x D.不存在x∈N＋，使x为29的约数 解析：BC　∀x∈R，｜x＋1｜＞0，因为当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故A错误；∀x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0，只要x＞－，2x＋3＞0成立，故B正确；∃x∈N，使≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误.故选B、C. 7.命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀”可表述为　∃x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0　. 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述. 8.若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是　{a｜a≤3}　. 解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 9.已知命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，则实数m的最大值是　5　. 解析：因为命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，所以m≤2x－1（x≥3）恒成立，所以m≤2×3－1，解得m≤5.故实数m的最大值是5. 10.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假： （1）有的集合中存在两个相同的元素； （2）∀a，b∈R，（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3； （3）存在一个x∈R，使＝0. 解：（1）是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题. （2）是全称量词命题，∀a，b∈R，（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题. （3）是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题. 11.已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a＜1} B.{a｜a＞3} C.{a｜a≤1} D.{a｜a≥3} 解析：C　由p是真命题，可知a≤x，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选C. 12.〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A.∃x∈R，x≤0 B.至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C.∃x∈{x｜x是无理数}，x＋2 026是无理数 D.∃a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0 解析：ABC　∃x∈R，x≤0，A为真命题；至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如1满足条件，B为真命题；∃x∈{x｜x是无理数}，x＋2 026是无理数，例如x＝π，C为真命题；因为a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，所以D为假命题.综上可得，A、B、C为真命题. 13.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对（a，b）为　（答案不唯一）　. 解析：答案不唯一，如，，都符合题意. 14.已知集合A＝{x｜a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x｜－2≤x≤4}. （1）若∀x∈A，则x∈B，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由. 解：（1）由∀x∈A，则x∈B，可知A⊆B， ①当A＝∅时，a－1＞2a＋3，解得a＜－4，符合题意； ②当A≠∅时，要使A⊆B，则解得－1≤a≤. 综上，实数a的取值范围为{a｜a＜－4，或－1≤a≤}. （2）存在实数a∈{a｜－≤a≤5}，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题，理由如下： 假设命题“∃x∈B，x∈A”是真命题，则A∩B≠∅. 当A∩B＝∅时， ①当A＝∅时，a－1＞2a＋3，解得a＜－4. ②当A≠∅时，要使A∩B＝∅，则或解得－4≤a＜－或a＞5， 综上，当a＜－或a＞5时，A∩B＝∅. 所以当－≤a≤5时，A∩B≠∅，此时满足∃x∈B，x∈A， 即存在实数a∈{a｜－≤a≤5}，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $