第1章 2.1 第2课时 充要条件-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦“充要条件”核心知识点，在学生已学充分、必要条件基础上，系统构建充要条件的概念、判断方法（定义法、集合法等）、证明思路及参数应用，形成完整的条件关系学习支架。 资料以“老张请客”故事导入激发兴趣，结合“双刀开关”实例直观理解条件关系，通过集合、三角形等情境的例题与证明，培养学生数学眼光观察现实、数学思维推理逻辑的核心素养，课中助力教师系统授课，课后便于学生复习查漏。

第2课时　充要条件 新课导入 学习目标 　　老张邀请朋友吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了，走了．老张愣了片刻，又道：“不该走的又走了．”李四大怒，拂袖而去．这个小故事就蕴含了我们这节将要讲的知识哦． 1.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 2．在具体的问题情境中，能够借助充要条件进行数学表达、论证和交流，从中体会充要条件在数学中的作用． 知识点一　充要条件的判断 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”开关． 思考　A开关闭合时，B灯一定亮吗？B灯亮时，A开关一定闭合吗？ 提示：A开关闭合时，B灯一定亮．B灯亮时，A开关不一定闭合． [知识梳理] 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． 2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． 3．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． [例1] (对接教材例3)指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种) (1)p：x2>0，q：x>0； (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 【解】　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件． (2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件． (3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件． (4)因为A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，所以p是q的充要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． [跟踪训练1] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“A>B”是“a>b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.在△ABC中，若A>B，根据大角对大边可得a>b，若a>b，则根据大边对大角可知A>B.所以“A>B”是“a>b”的充要条件． (2)(多选)设全集为U，A，B，C是非空子集，在下列选项中，是B⊆A的充要条件是(　　) A．A∪B＝B　　　　　 B．B∩(∁UA)＝∅ C．(B∩C)⊆(A∩C) D．B⊆(A∩B) 解析：选BD.对于A，由Venn图可知，当B⊆A时，A∪B＝A，故A错误； 对于B，由Venn图可知，B∩(∁UA)＝∅等价于B⊆A，故B正确； 对于C，若U＝R，当(B∩C)⊆(A∩C)时，取A＝{0}，B＝{1}，C＝{2}， 此时A∩C＝∅，B∩C＝∅，满足条件，但B⊆A不成立，故C错误； 对于D，由Venn图可知，B⊆(A∩B)等价于B⊆A，故D正确． 知识点二　充要条件的证明 [例2] 已知a，b，c是△ABC的三条边，求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac. 【证明】　①充分性：因为a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac， 所以a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，可化为(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0， 所以a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0， 即a＝b＝c， 所以△ABC是等边三角形． ②必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝a2＋b2＋c2－a2－b2－c2＝0， 所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac. 综上所述，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac. 充要条件的证明思路 (1)要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性． 在以下两种说法中，充分性和必要性分别是：①p是q的充要条件，p⇒q是充分性，q⇒p是必要性；②A成立的充要条件是B：B⇒A是充分性，A⇒B是必要性． (2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性． [跟踪训练2] 已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 证明：方法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<. 必要性：由<，得－<0， 即<0. 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以<的充要条件是xy>0. 方法二：<⇔－<0⇔<0. 由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.所以<⇔xy>0， 即<的充要条件是xy>0. 应用点　利用充分、必要、充要条件求参数 [例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解】　因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，又m>0， 所以或 解得m≤3， 又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3]. 母题探究　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 若p是q的充要条件，则方程组无解． 故不存在实数m，使p是q的充要条件． 根据充分、必要、充要条件求参数的步骤 (1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}； (2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系； (3)根据集合之间的关系列关于参数的不等式(组)； (4)解不等式(组)即可得参数的取值范围． [跟踪训练3] 二次函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝－1对称的充要条件是(　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 解析：选B.因为函数y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为直线x＝－，则－＝－1，即m＝2. 1．(教材P18T2改编)“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.显然a2＋b2＝0，则a＝0，b＝0，有ab＝0，即a2＋b2＝0⇒ab＝0；而ab＝0，取a＝0，b＝1，a2＋b2≠0，则ab＝0不能推出a2＋b2＝0，所以“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的必要不充分条件．故选B. 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．“x－3＝0”是“(x－2)(x－3)＝0”的充分不必要条件 B．“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的必要不充分条件 C．“a＝b”是“＝”充要条件 D．“a>b”是“ac>bc”充分不必要条件 解析：选AB.对于A，x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0不能推出x－3＝0，故A正确； 对于B，两个三角形相似不能推出两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故B正确； 对于C，a＝b不能推出＝，如a＝b＝－1，故C错误； 对于D，a>b不能推出ac>bc，且ac>bc不能推出a>b，故D错误． 3．(教材P18T1改编)命题A：“x∈M或x∈N”是命题B：“x∈M∩N”的________________条件．(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分也不必要”) 解析：当“x∈M或x∈N”成立时，“x∈M∩N”不一定成立， 所以命题A：“x∈M或x∈N”不是命题B：“x∈M∩N”的充分条件； 当“x∈M∩N”成立时，“x∈M或x∈N”一定成立， 所以命题A：“x∈M或x∈N”是命题B：“x∈M∩N”的必要条件． 综上，命题A：“x∈M或x∈N”是命题B：“x∈M∩N”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 4．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． 必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 1．已学习：充要条件概念的理解，充要条件的证明． 2．须贯通：根据必要条件与充分条件求参数值或范围． 3．应注意：(1)条件和结论辨别不清； (2)充分、必要条件问题转化为集合之间的关系时易颠倒． 学科网（北京）股份有限公司 $