第1章 2.1 第1课时 必要条件与充分条件 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，系统梳理集合关系、函数图像性质、方程根分布等前后知识脉络，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料通过选择、填空、解答等多样题型及具体实例，如直线过原点的条件分析，培养学生抽象能力、推理能力与模型意识。课中助力教师分层教学，课后辅助学生巩固知识，查漏补缺。

1．“x>－2”的一个必要条件是(　　) A．x>－3 B．x>3 C．x>2 D．x<2 解析：选A.x>－2可以推出x>－3，其他选项均不可由x>－2推出．故选A. 2．“直线y＝kx＋b－3过原点”的充分条件是(　　) A．b＝3 B．b<3 C．b>3 D．b∈R 解析：选A.当b＝3，即b－3＝0时，直线y＝kx过原点．故选A. 3．“x＝y”的一个必要条件是(　　) A．x2＝y2 B．＝1 C．＝ D．＝ 解析：选A.以“x＝y”作为条件可推出x2＝y2；当x＝y＝0时，B不成立；当x＝y<2时，C不成立；当x＝y＝1时，D不成立． 4．已知a，b∈R，则下列选项中，是“a＋b<0”的一个充分条件，但不是必要条件是(　　) A．a>0且b>0 B．a<0且b<0 C．a>0且b<0 D．a<0且b>0 解析：选B.对于A，因为a>0且b>0不能推出a＋b<0，所以“a>0且b>0”不是“a＋b<0”的充分条件，故A错误；对于C，因为a>0且b<0不能推出a＋b<0，所以“a>0且b<0”不是“a＋b<0”的充分条件，故C错误；对于D，因为a<0且b>0不能推出a＋b<0，所以“a<0且b>0”不是“a＋b<0”的充分条件，故D错误；对于B，由a<0且b<0可得a＋b<0，充分性成立，若a＋b<0不能推出a<0且b<0，例如当a＝－2，b＝1时，满足a＋b<0，而a<0且b>0，必要性不成立，所以“a<0且b<0”是“a＋b<0”的一个充分条件，但不是必要条件，B符合题意．故选B. 5．(多选)对任意实数a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．“a＝b”是“a＋1＝b＋1”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“a＝b”是“a＋1＝b＋1”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析：选ABC.对于A，由a＋1＝b＋1可以推得a＝b，故“a＝b”是“a＋1＝b＋1”的必要条件，故A正确； 对于B，已知a＝b，等式两边同乘以c，可得ac＝bc，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件，故B正确； 对于C，由a＝b可以推得a＋1＝b＋1，故“a＝b”是“a＋1＝b＋1”的充分条件，故C正确； 对于D，不妨设a＝1，b＝2，c＝0，满足ac＝bc，但不满足a＝b，故D错误．故选ABC. 6．(多选)(2026·济源月考)下列说法中正确的是　(　　) A．“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件 B．“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0” C．“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数” D．“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件 解析：选ABC.由A∩B＝B，得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程|x|＝1，得x＝±1，则“|x|＝1”是“x＝1”的必要条件，不是充分条件，D错误． 7．已知α：四边形ABCD是正方形，β：四边形ABCD的四个角都是直角，则α是β的________条件．(填“充分”或“必要”) 解析：因为四边形ABCD是正方形，由正方形的定义知，四边形ABCD的四个角都是直角，所以由α可以推出β，即α是β的充分条件，又四边形ABCD的四个角都是直角时，四边形ABCD为矩形，所以由β推不出α，即α不是β的必要条件，所以α是β的充分条件． 答案：充分 8．若“x≥2”的必要条件是“x>a”，则a的取值范围是________． 解析：设A＝{x|x≥2}，B＝{x|x>a}，因为“x≥2”的必要条件是“x>a”，所以A⊆B，所以a<2，所以a的取值范围是{a|a<2}． 答案：{a|a<2} 9．已知集合A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，B≠∅，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是__________． 解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A， 由B≠∅，可知或 解得a<－4或1<a≤3. 实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(1，3]. 答案：(－∞，－4)∪(1，3] 10．(13分)指出下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件． (1)已知集合A≠B，p：a∈A∩B，q：a∈A∪B；(6分) (2)p：x>1或x<－1，q：x<－1.(7分) 解：(1)由a∈A∩B，可以推出a∈A∪B，即p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由x<－1能推出x>1或x<－1，即q⇒p，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件． 11．设甲、乙、丙三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 D．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件 解析：选A.因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A. 12．写出一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的一个充分条件是________________． 解析：要使y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限，则k<0且b≥0，而要写出一个充分条件，故可取k＝－1，b＝1. 答案：k＝－1，b＝1(答案不唯一) 13．已知p：4x－m<0，q：1≤3－x≤4，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围为________． 解析：由4x－m<0，得x<； 由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2. 因为p是q的必要条件，所以{x|－1≤x≤2}⊆，即>2，解得m>8. 所以实数m的取值范围为(8，＋∞). 答案：(8，＋∞) 14．(15分)已知集合A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)若m＝1，求A∩B和A∪B；(7分) (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)因为m＝1， 所以B＝{x|－1≤x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1≤x≤1}，A∪B＝{x|－2≤x≤3}． (2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B， 又因为A＝{x|－2≤x≤1}， B＝{x|m－2≤x≤m＋2}， 所以解得－1≤m≤0， 所以实数m的取值范围为－1≤m≤0. 15．(15分)已知命题p：“关于x的方程x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数m的取值范围；(6分) (2)命题q：3－a<m<3＋a(a>0)，是否存在实数a使得p是q的必要条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)因为命题p为真命题，x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝x2－(3m－2)x＋(2m－3)·(m＋1)＝[x－(2m－3)][x－(m＋1)]＝0，所以x1＝2m－3>1且x2＝m＋1>1，解得m>2. (2)令A＝{m|m>2}，B＝{m|3－a<m<3＋a，a>0}， 因为p是q的必要条件， 所以B⊆A， 由题知解得0<a≤1. 综上所述，存在实数a使得p是q的必要条件，实数a的取值范围为{a|0<a≤1}． 学科网（北京）股份有限公司 $