第1章 1.3 第1课时 交集与并集-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦集合的交集与并集运算，承接集合基本概念，通过运动会报名情境导入，以具体集合实例引导观察公共元素抽象出交集，再借三组集合实例引出并集，构建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于以生活情境培养数学眼光，通过问题链与实例分析发展数学思维，结合Venn图、数轴强化数学语言表达。课中辅助教师直观教学，课后练习题与跟踪训练助力学生巩固知识，弥补盲点。

1．3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 新课导入 学习目标 学校举行秋季运动会，高一(1)班的同学们积极踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米……，班主任统计发现，第一组的同学每人至少报了一个项目，那如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？这节我们就学习集合间的运算问题． 1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集． 2．能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 知识点一　交集 观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，D＝{2}，E＝{3}，回答下面的问题． 思考1　集合A与集合B有公共元素吗？公共元素组成的集合是什么？ 提示：有公共元素，组成的集合是{2，3}． 思考2　集合C，D，E中的元素与集合A，B有什么关系？ 提示：既属于A，又属于B. 思考3　集合C与集合D，E有什么区别？ 提示：集合C中的元素是由既属于A，又属于B的所有元素组成的，集合D，E中的元素是由既属于A，又属于B的其中一个元素组成的． [知识梳理] 文字语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 运算性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A， A∩∅＝∅∩A＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A [例1] (1)英文单词mango所有字母组成的集合记为A，英文单词banana所有字母组成的集合记为B，则A∩B的元素个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．6 (2)设集合M＝{x|0<x<4}，N＝{x|≤x≤5}，则M∩N＝________． 【解析】　(1)因为A＝{m，a，n，g，o}，B＝{b，a，n}，所以A∩B＝{n，a}，即共有2个元素． (2)因为M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，画出数轴如图所示． 所以M∩N＝. 【答案】　(1)B　(2) 求两个集合的交集的方法 (1)在求两个集合的交集时，对于元素个数有限的集合，可逐个挑出两个集合中都有的元素，同时应注意集合中元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，在进行交集运算时，可考虑借助数轴进行求解，两个集合的交集对应两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共区域，但要注意端点值能否取到． [跟踪训练1] (1)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N＝(　　) A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1) C．{3，－1} D．{(3，－1)} 解析：选D.由 解得所以M∩N＝{(3，－1)}． (2)已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有(　　) A．2个 B．3个 C．1个 D．无穷多个 解析：选A.因为M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}，所以M∩N＝{1，3}，共有2个元素． 知识点二　并集 请同学们观察下列三组集合： ①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}； ②A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是奇数}，C＝{x|x是整数}； ③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}． 思考1　集合C中的元素与集合A，B中元素的关系是什么？ 提示：集合C中的元素是由所有属于A或属于B的元素组成． 思考2　①中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？③中呢？ 提示：①中等于，③中不等于． [知识梳理] 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 运算性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A⊆B⇔A∪B＝B [例2] (1)已知集合A＝{x∈N|x≤2}，B＝{1，2，4}，则A∪B＝(　　) A．{1，2，4} B．{0，1，2，4} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4} (2)(2026·商丘期末)设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝(　　) A．{x|1<x≤2} B．{x|2≤x<4} C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x<4} 【解析】　(1)集合A＝{x∈N|x≤2}＝{0，1，2}，B＝{1，2，4}，则A∪B＝{0，1，2，4}． (2)在数轴上表示出集合A，B，如图，可得A∪B＝{x|0≤x＜4}． 【答案】　(1)B　(2)D (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解，注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围． [跟踪训练2] (1)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－3或x>5} B．{x|－5<x<5} C.{x|－3<x<5} D．{x|x<－5或x>－3} 解析：选D.因为M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，所以M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选D. (2)(多选)设集合A＝{x|(x－a)(x－3)＝0}，B＝{3，5}，则A∪B的子集个数可能为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选BC.当a≠3时，A＝{3，a}，则： 若a≠5，则A∪B＝{3，5，a}，子集有8个， 若a＝5，则A∪B＝{3，5}，子集有4个； 当a＝3时，A＝{3}，此时A∪B＝{3，5}，子集有4个． 综上，A∪B的子集个数可能为4或8. 故选BC. 应用点　交集、并集的运算性质及应用 [例3] 已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a，且a>0}． (1)若A∪B＝B，求实数a的取值范围； (2)若A∩B＝{x|3<x<4}，求实数a的值． 【解】　(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，画出数轴如图． 观察数轴可知所以≤a≤2. 经检验，端点值符合题意，故实数a的取值范围为. (2)画出数轴如图，A∩B＝{x|3<x<4}． 观察图形可知解得a＝3. 母题探究　在本例(2)中，将条件“A∩B＝{x|3<x<4}”变为“A∩B＝∅”，则实数a的取值范围为________． 解析：由于A∩B＝∅，结合数轴(图略)得a≥4，或3a≤2.又因为a>0，所以a≥4，或0<a≤.故实数a的取值范围是{a|a≥4，或0<a≤}． 答案：{a|a≥4，或0<a≤} (1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解. (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． 常用结论　(1)(A∩B)⊆A⊆(A∪B)，(A∩B)⊆B⊆(A∪B). (2)若A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立，即若A∪B＝B，则A⊆B. (3)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A∩B＝A，则A⊆B. (4)若A∩B＝A∪B，则A＝B. [跟踪训练3] (1)设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝(　　) A．{0，2} B．{0，5} C．{0，2，2，5} D．{0，2，5} 解析：选D.因为A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}.故选D. (2)设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________． 解析：由M∩N＝N得N⊆M， 当N＝∅，即2t＋1≤2－t，t≤时，M∩N＝N成立； 当N≠∅时，由图可得解得<t≤2. 综上可知，实数t的取值范围是(－∞，2]. 答案：(－∞，2] 1．(教材P10T3改编)已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝(　　) A．{x|x>0} B．{x|1≤x<2} C．{x|x≥1} D．{x|0<x<2} 解析：选B.因为集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}．故选B. 2．(多选)已知集合M，N，则下列结论正确的是(　　) A．若M⊆N，则M∩N＝N B．若M⊆N，则M∪N＝N C．N⊆(M∩N) D．M⊆(M∪N) 解析：选BD.因为M⊆N，Venn图如图所示， 故M∩N＝M，M∪N＝N，即A错误，B正确； 由交集和并集的概念可知(M∩N)⊆N，M⊆(M∪N)，即C错误，D正确． 3．已知集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∪B＝________． 解析：因为A＝{x|x2－x－2＝0}＝{x|(x＋1)(x－2)＝0}＝{－1，2}，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{x|(x－3)(x＋1)＝0}＝{－1，3}，所以A∪B＝{－1，2，3}． 答案：{－1，2，3} 4．(2026·焦作月考)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A∩B＝A，则实数m的取值范围为__________． 解析：因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以m≥3，则实数m的取值范围为{m|m≥3}． 答案：{m|m≥3} 1．已学习：交集、并集的概念及运算，交集、并集的性质． 2．须贯通：由交集、并集的关系求参数值或范围，考虑∅的情形，体现了分类讨论思想． 3．应注意：(1)由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论； (2)求解参数后，易忽视代入原集合进行检验这一步骤． 学科网（北京）股份有限公司 $