第1章 1.1 第1课时 集合的概念-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学集合的概念这一核心知识点，从生活分类实例导入，通过对比不确定对象与确定对象引出集合定义，系统梳理元素与集合的属于关系、元素的确定性互异性无序性及常用数集符号，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以图书馆书籍分类等生活实例导入，培养用数学眼光观察现实世界的抽象能力，通过判断对象是否构成集合的思考问题发展推理意识，结合元素互异性解决参数问题的例题体现数学思维严谨性。课中辅助教师互动教学，课后帮助学生回顾强化，有效查漏补缺。

§ 1　集　合 1．1　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 新课导入 学习目标 　　在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类．例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的；三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有更清晰的认识． 1.通过实例，了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．会利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题． 3．识记常用数集的表示符号． 知识点一　元素与集合的概念 研究下面的例子，回答问题： (1)2026级聪明的学生； (2)的近似值； (3)直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的所有点； (4)所有奇数． 思考1　以上各例的研究对象是什么？ 提示：分别研究学生、近似值、点、奇数． 思考2　哪个例子中的对象划分标准不确定？ 提示：(1)、(2)所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰． 思考3　(3)、(4)例子中的对象有什么共同特征？ 提示：两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对象的全体． [知识梳理] 1．集合 2．元素 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)集合中的元素可以是数、点、图形，也可以是人或物等．(　　) (2)英文单词book的所有字母组成的集合有4个元素．(　　) (3)10以内的质数组成的集合中元素有2，3，5，7.(　　) (4)某学校今年入学的全体高一学生可以组成一个集合．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(多选)下列所给对象能构成集合的是(　　) A．平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B．高中数学必修第一册课本上的所有难题 C．参加2026年足球世界杯的48支球队 D．接近211的所有正整数 解析：选AC.A，C能构成集合，二者有确定的判断标准．A中元素是“到原点的距离等于1的点”，C中元素是“参加2026年足球世界杯的48支球队”，B，D项的对象不能构成集合，因为“难题”与“接近”标准不明确． 一组对象能构成集合的两个条件 (1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． (2)任何两个对象都是不同的． 知识点二　元素与集合的关系 [知识梳理] 1．常见的数集及表示符号 数集 自然 数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ 2.集合与元素的关系 关系 概念 记法 读法 属于 元素a在集合A中 a∈A 元素a属于集合A 不属于 元素a不在集合A中 a∉A 元素a不属于集合A [例1] (1)已知集合A中的元素x满足x－1＞2，则下列选项正确的是(　　) A．5∈A，且－4∉A B．5∈A，且－4∈A C．5∉A，且－4∉A D．5∉A，且－4∈A (2)用符号“∈”或“∉”填空： ________N；5________Z；－2_______________Q； π________R. 【解析】　(1)由x－1＞2，解得x＞3，因为5＞3，－4＜3，故5∈A，且－4∉A. (2)因为N为自然数集，Z为整数集，Q为有理数集，R为实数集，所以∉N；5∈Z；－2∈Q；π∈R. 【答案】　(1)A　(2)∉　∈　∈　∈ 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素组成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特性即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件． [跟踪训练1] (1)(2026·南阳月考)设集合D由所有满足方程y＝x2的有序数对(x，y)构成，则－1________D，(－1，1)______D．(填“∈”或“∉”) 解析：因为集合D中的元素是所有满足方程y＝x2的有序数对(x，y)，所以－1∉D，(－1，1)∈D. 答案：∉　∈ (2)已知集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 解析：因为x∈N，∈N， 所以0≤x≤2且x∈N. 当x＝0时，＝＝2∈N； 当x＝1时，＝＝3∈N； 当x＝2时，＝＝6∈N. 所以A中的元素有0，1，2. 答案：0，1，2 知识点三　集合中元素的特性及应用 [知识梳理] 特性 意义 作用 确定性 集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一 判断涉及的总体是否构成集合 互异性 集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的 求集合中的参数 无序性 集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变 判断两个集合的关系 [例2] 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． 【解析】　若1∈A，则a＝1或a2＝1，当a＝1时，a2＝1，不符合集合中元素的互异性，所以a≠1； 当a2＝1时，a＝±1，因为a≠1，所以a＝－1，此时集合A中含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性． 综上所述，a＝－1. 【答案】　－1 母题探究　若本例条件变为“已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A”，求实数a的值． 解：由a∈A可知，a＝1或a＝a2. 当a＝1时，此时a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)，当a＝0时，经检验，符合题意．综上可知，a＝0. 根据集合中元素的特征求值的步骤 [跟踪训练2] 已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是　(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：选A.由集合中元素的互异性可知，a，b，c都不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选A. 1．(多选)下列每组对象中能组成集合的是(　　) A．中国各地最美的乡村 B．平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．倒数等于它本身的数 解析：选BCD.A中“最美”标准不明确，不符合确定性，B，C，D中的元素标准明确，均可构成集合． 2．(多选)(教材P5T2(2)改编)下列关系正确的是(　　) A．∈R B．|－3|∉N C．－∉Q D．N∈Q 解析：选AC.对于A，是实数， 即∈R，故A正确； 对于B，|－3|＝3∈N，故B错误； 对于C，－是无理数，所以－∉Q，故C正确； 对于D，N不是Q的元素，故D错误． 3．英文单词Chinese的所有字母组成的集合共有________个元素． 解析：英文单词Chinese中不同的字母有C，h，i，n，e，s，共6个，故所有字母组成的集合共有6个元素． 答案：6 4．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，求实数a的值． 解：因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，a＝0或a＝－1. 1．已学习：元素与集合的概念，元素与集合的关系，集合中元素的特性，常用数集的记法． 2．须贯通：研究集合与元素的关系，离不开元素的三个特性，求参数时常用到分类讨论思想． 3．应注意：(1)元素a与集合A的关系是确定的，要么a∈A，要么a∉A，二者必选其一； (2)正确使用常用数集符号，特别地，0∈N，0∉N＋. 学科网（北京）股份有限公司 $