第1章 1.2 集合的基本关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集、集合相等的含义，Venn图的应用及有限集子集个数计算，承接集合基本概念，为后续集合运算搭建学习支架。 资料以开学季班级组成、IMO竞赛选手等现实情境导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过数集、点集等关系判断及参数问题探究，发展数学思维中的推理能力，结合Venn图、数轴直观表达，强化数学语言运用。课中例题与跟踪训练助力教师教学，课后练习题与总结帮助学生查漏补缺。

1．2　集合的基本关系 新课导入 学习目标 　　本年开学季，某校新招的高一18个班的新生组成集合A，其中高一(1)班的50位新生组成集合B，那么，集合A与集合B有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系． 1.理解集合之间的包含和相等的含义． 2．能识别给定集合的子集、真子集． 3．了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系． 第67届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)于2026年在中国上海举行，设全部参赛选手组成集合A，中国参赛选手组成集合B. 思考1　集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗？ 提示：不是． 思考2　集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素吗？ 提示：都是． [知识梳理] 1．Venn图的定义 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图． 2．子集、集合相等、真子集 类别 子集 集合相等 真子集 概念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B 对于两个集合A与B，如果A⊆B， 且A≠B， 那么称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A； (2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A； (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C 若A＝B且B＝C，则A＝C 若AB且BC，则AC [例1] 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 【解】　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝(－∞，5)，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，但也可能三边相等，故AB. (4)方法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 方法二：由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以NM. 判断集合间关系的常用方法 [跟踪训练1] (多选)下列命题中正确的是(　　) A．若集合A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x＋3≥4}，则A与B的关系是BA B．若{a，0，1}＝{a2，a，0}，则实数a的值为－1 C．若集合M＝，N＝{x| x＝k＋，k∈Z}，则N⊆M D．若A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}，则A＝B 解析：选BCD.对于A，由题意知，B＝{x|x≥1}，将A，B表示在数轴上，如图所示．由数轴可以看出，集合A中元素全部在集合B中，且B中至少存在一个元素不属于集合A，所以AB.故A错误； 对于B，在{a，0，1}中，a≠0且a≠1，而{a，0，1}＝{a2，a，0}，则有a2＝1，解得a＝－1，所以实数a的值为－1.故B正确； 对于C，在M中，x＝＋＝ N中， x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，所以N⊆M. 故C正确； 对于D，A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在集合B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，所以B＝{0，1}，所以A＝B.故D正确． 知识点二　有限集的子集、真子集及其个数 [例2] (1)满足{1，2}A⊆{1，2，3，4，5}的集合A的个数为(　　) A．8 B．3 C．4 D．7 (2)(对接教材例4)设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【解】　(1)选D.方法一：因为集合A满足{1，2}A⊆{1，2，3，4，5}， 所以集合A必含有元素1和2，且至少含有3，4和5中的一个， 所以满足条件的集合A为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个． 方法二：由题意可知，集合A的个数即集合{3，4，5}的非空子集的个数，为23－1＝7. (2)由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得x＝－4或x＝－1或x＝4，故集合A＝{－4，－1，4}． 由0个元素构成的子集为：∅， 由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}， 由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}， 由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}， 因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}． 真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． (1)含有n个元素的集合有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集． (2)求集合子集、真子集的步骤： [跟踪训练2] (1)(2026·焦作月考)已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：选D.满足条件的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有5个． (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，则集合A的子集的个数为________． 解析：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．所以集合A的子集的个数为23＝8. 答案：8 应用点　由集合间的关系求参数 [例3] (1)已知集合A＝{9，3m}，B＝{m2，9}，且A⊆B，则实数m＝(　　) A．0 B．3 C．±3 D．3或0 (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m(m>1)}，且B⊆A，则实数m的取值范围是____________． 【解析】　(1)因为A⊆B，且A，B的元素个数相等，所以A＝B，所以3m＝m2，解得m＝3或m＝0， 当m＝3时，3m＝9，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当m＝0时，A＝B＝{0，9}，满足条件． (2)由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4. 又m>1，所以实数m的取值范围是{m|1<m≤4}． 【答案】　(1)A　(2){m|1＜m≤4} 母题探究　本例(2)若将“B＝{x|1<x<m(m>1)}”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围为____________． 解析：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A；　 若m>1，则由例题解析可知1＜m≤4. 综上可知，实数m的取值范围是{m|m≤4}． 答案：{m|m≤4} 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的定义，建立方程(组)求解，此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处能否取到． 注意　(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． [跟踪训练3] (1)已知集合A＝{0，－1}，B＝{0，1，2－a}，若A，B关系如图所示，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 解析：选D.由题图可知A⊆B，则－1＝2－a，所以a＝3. (2)(2026·阜阳月考)已知集合A＝{x|－a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，A⊆B，则实数a的取值范围为____________． 解析：因为A⊆B，所以可分为A＝∅和A≠∅两种情况， 当A＝∅时，－a>a，解得a<0； 当A≠∅时，应满足解得0≤a≤2. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤2}． 答案：(－∞，2] 1．对于集合A，B，“A⊆B不成立”的含义是(　　) A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B中的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 解析：选C.A⊆B，即集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，因为“A⊆B不成立”，所以A中至少有一个元素不属于B. 2．(多选)(教材P7T2改编)下列各关系式中，正确的是(　　) A．{2，3，6}{x|x是12的正因数} B．{x|x＝4n－2，n∈Z}＝{x|x＝2n，n∈Z} C．若集合A＝{x|x>5或x<4}，B＝{x|－<x<}，则BA D．若A＝{x|x是4与10的公倍数，x∈N＋}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}，则B＝A 解析：选ACD.对于A，{x|x是12的正因数}＝{1，2，3，4，6，12}，{2，3，6}{x|x是12的正因数}，故A正确； 对于B，{x|x＝4n－2，n∈Z}＝{x|x＝2(2n－1)，n∈Z}＝{x|x是2的奇数倍}，{x|x＝2n，n∈Z}＝{x|x是2的整数倍}，所以{x|x＝4n－2，n∈Z}{x|x＝2n，n∈Z}，故B错误； 对于C，用数轴表示集合A，B，如图所示．由图知，BA.故C正确； 对于D，A＝{x|x是4与10的公倍数，x∈N＋}＝{x|x＝20n，n∈N＋}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}，所以B＝A.故D正确． 3．(教材P7T3(2)改编)已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)(x－5)2＝0}，则集合A的所有子集的元素之和为________． 解析：集合A＝{x|(x－1)(x－3)(x－5)2＝0}＝{1，3，5}，集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．注意到A中的每个元素都出现了4次，故所求元素之和为(1＋3＋5)×4＝36. 答案：36 4．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，则实数m的值为____________． 解析：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为BA且B＝{x|mx＋1＝0}， 所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅. 当B＝{－3}时，由m×(－3)＋1＝0，得m＝. 当B＝{2}时，由m×2＋1＝0，得m＝－. 当B＝∅时，m＝0. 综上所述，m＝或m＝－或m＝0. 答案：或－或0 1．已学习：子集、真子集、集合相等的概念，集合间关系的判断，求子集、真子集的个数问题． 2．须贯通：由集合间的关系求参数的值或范围． 3．应注意：(1)忽略对集合是否为空集的讨论； (2)求参数范围时，端点值能否取到容易出现错误． 学科网（北京）股份有限公司 $