第1章 1.1 第2课时 集合的表示-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦集合的表示方法这一核心知识点，承接上节课集合的概念，系统梳理列举法、描述法的具体应用，以及有限集、无限集、空集的概念，延伸至区间表示数集的方法，构建从概念到表示的完整知识链。 该资料通过“思考”问题引导学生观察集合元素特点，培养数学眼光，结合例题与跟踪训练，帮助学生规范表达集合（数学语言），发展逻辑推理能力（数学思维）。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过分层练习巩固，有效查漏补缺。

第2课时　集合的表示 新课导入 学习目标 　　上节课我们学习了集合的概念，有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等，我们可以用自然语言描述一个集合，同时也可以用数学符号表示这个集合，那么集合的表示都有哪些方法？本节课我们一起来探究． 1.掌握两种表示集合的方法(列举法与描述法). 2．在具体情境中，了解有限集、无限集、空集的概念. 3．了解区间的概念，能正确使用区间表示数集． 知识点一　列举法表示集合 观察下列两个集合： (1)中华人民共和国国旗上所有颜色组成的集合M； (2)十二生肖组成的集合N. 思考1　上述两个集合的元素能一一列举出来吗？为什么？ 提示：能，因为两个集合里的元素都是有限个． 思考2　上述集合M与N除了用自然语言描述外，还有更简单明了的表示方式吗？如何表示？ 提示：有，两个集合可以这样表示，如M＝{红色，黄色}；N＝{鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪}． [知识梳理] 列举法是把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}． [例1] 用列举法表示下列集合： (1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母组成的集合； (3)函数y＝2x－1的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【解】　(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解为x＝1或x＝2，因此可以用列举法表示为{1，2}． (2)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素， 因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}． (3)函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为. 列举法表示集合应注意的问题 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素． (2)花括号“{}”表示“所有”“整体”，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的． (3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}． [跟踪训练1] 用列举法表示下列集合： (1)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (2)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合； (3)由所有正整数构成的集合． 解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的实数解组成的集合为{0，2}． (2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． (3)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}． 知识点二　描述法表示集合 思考1　“大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？ 提示：不能．集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举． 思考2　设x为“大于－2且小于2的实数”构成的集合的元素，x有何特征？ 提示：x∈R且－2<x<2. [知识梳理] 1．描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围| x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征． 2．有限集、无限集和空集 (1)有限集：含有有限个元素的集合叫作有限集； (2)无限集：含有无限个元素的集合叫作无限集； (3)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作∅. [例2] (对接教材例2)用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－x的图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； (3)不等式x－2<3的解组成的集合； (4)所有正偶数组成的集合． 【解】　(1){(x，y)|y＝－x}． (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}． (3)不等式x－2<3的解是x<5，则不等式x－2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}． (4)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，所以所有正偶数组成的集合可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． 利用描述法表示集合的关注点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}不能写成{x＜1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． [跟踪训练2] 用描述法表示下列集合： (1)使y＝有意义的实数x的集合； (2)函数y＝x2＋1的图象上所有点的集合． 解：(1)要使y＝有意义，则x－6≠0，即x≠6， 故满足题意的实数x的集合是{x∈R|x≠6}． (2)满足题意的点的集合是{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}． [知识梳理] 1．区间的概念及记法 设a，b是两个实数，且a<b，我们规定： 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右 开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右 闭区间 (a，b] 2.无穷大 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3．特殊区间的表示 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) [例3] (1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] (2)已知区间(4p－1，2p＋1)，则p的取值范围为________． 【解析】　(1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞). (2)由题意知，区间(4p－1，2p＋1)满足4p－1<2p＋1，解得p<1， 即p的取值范围为(－∞，1). 【答案】　(1)B　(2)(－∞，1) 区间表示集合的关注点 (1)表示一定范围内的所有实数所组成的集合，也就是数轴上某一“段”所有点所对应的实数． (2)区间左端点值小于右端点值，区间两端点之间用“，”隔开．含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． [跟踪训练3] 下列集合用区间及数轴表示出来： ①{x|x<2}； ②{x|x≥3}； ③{x|－1≤x<5}； ④{x|2<x≤3}． 解：①{x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下： ②{x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下： ③{x|－1≤x<5}用区间表示为[－1，5)，用数轴表示如下： ④{x|2<x≤3}用区间表示为(2，3]，用数轴表示如下： 1．集合{x|－3≤x≤3且x∈N}用列举法可表示为(　　) A．{－3，－2，－1，0，1，2，3} B．{－2，－1，0，1，2} C.{0，1，2，3} D．{1，2，3} 解析：选C.易知{x|－3≤x≤3且x∈N}＝{0，1，2，3}．故选C. 2．(2026·南阳月考)下列说法中正确的是(　　) A．方程x2＝1的实数解构成的集合为 B．方程(x－1)(x－a)＝0的实数解构成的集合为{a，1} C．将小于10的自然数分别按从小到大和按从大到小的顺序排列，得到的是同一个集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合只有3个元素 解析：选C.对于A，由x2＝1，解得x＝－1或x＝1，对应集合为{－1，1}，而不是，A错误；对于B，当a＝1时，解集为{1}，故方程(x－1)(x－a)＝0的实数解构成的集合不能写成集合{a，1}，B错误；对于C，集合中的元素满足无序性，C正确；对于D，集合中的元素具有互异性，故由1，0，5，1，2，5组成的集合为{0，1，2，5}，有4个元素，D错误． 3．(教材P5 T4(1)改编)不等式组的所有解组成的集合用区间表示为________． 解析：不等式组的所有解组成的集合为{x|－4<x≤3}，表示成区间为(－4，3]. 答案：(－4，3] 4．(教材P5T3改编)用合适的方法表示下列集合： (1)方程x2－x－2＝0的解集； (2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合； (3)被3除余2的整数组成的集合； (4)直线y＝x－1与y＝－x＋1的交点组成的集合． 解：(1)方程x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1，所以解集可以用列举法表示为{2，－1}．　 (2)大于－1且小于7的所有整数为0，1，2，3，4，5，6，所以用列举法表示为{0，1，2，3，4，5，6}． (3)设被3除余2的整数组成的集合为A.因为被3除余2的整数可表示为3k＋2，k∈Z，所以用描述法可以表示为A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}． (4)设直线y＝x－1与y＝－x＋1的交点组成的集合为C.由题意得解得故两直线的交点为(1，0)，所以用列举法可以表示为C＝{(1，0)}． 1．已学习：用列举法和描述法表示集合，区间的概念． 2．须贯通：表示集合的要求： (1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则． (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合． 3．应注意：点集与数集的区别，列举法与描述法混乱使用． 学科网（北京）股份有限公司 $