第1章 1.2 集合的基本关系 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦集合的核心知识点，系统梳理集合间的关系（子集、真子集）、相等集合的判定、元素与集合的关系等内容。从基础的数集关系判断（如N⊆Q），到集合表示法的应用（描述法与列举法），再到含参数的集合关系问题，形成由浅入深的学习支架，帮助学生逐步构建集合知识体系。 该资料亮点在于通过多样化题目培养数学核心素养，如利用Venn图表示集合关系提升几何直观，通过含参数问题（如B⊆A求a值）强化逻辑推理能力。课中助力教师分层教学，课后学生可借助详细解析查漏补缺，深化对集合概念的理解与应用。

1．下列关系中正确的是(　　) A．Q⊆Z B．N⊆Q C．0∈∅ D．{∅}⊆R 解析：选B.对于A，Z⊆Q，A错误； 对于B，N⊆Q，B正确； 对于C，∅中不含任何元素，C错误； 对于D，∅不是R的元素，因此{∅}不是R的子集，D错误． 2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析：选B.由x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示． 3．(2026·泰安月考)下列每组集合是相等集合的是　(　　) A．A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x∈Z||x|≤2} B．A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{x|y＝x} C．A＝{x|y＝x}，B＝ D．A＝{x|x>0}，B＝{y|y>0} 解析：选D.对于A，A＝{x∈N||x|≤2}＝{0，1，2}，B＝{x∈Z||x|≤2}＝{－2，－1，0，1，2}，故A≠B，所以A错误；对于B，A＝{(x，y)|y＝x}为点集，B＝{x|y＝x}为数集，故A≠B，所以B错误；对于C，A＝{x|y＝x}＝R，B＝＝{x|x≠0}，故A≠B，所以C错误；对于D，数集A＝{x|x>0}和数集B＝{y|y>0}所含元素相同，故A＝B，所以D正确． 4．已知M＝，则集合M的真子集的个数是(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 解析：选C.依题意， M＝＝{1，2，4，8}， 所以集合M有4个元素，真子集的个数为24－1＝15. 5．已知集合A＝{a，0，1}，B＝{1，a2＋a}，且B⊆A，则a＝(　　) A．0 B．0或－1 C．－1 D．1 解析：选C.由B⊆A，可得a2＋a＝a或a2＋a＝0， 当a2＋a＝a时，可得a＝0，集合A中元素重复，故舍去， 当a2＋a＝0时， 解得a＝0(舍去)或a＝－1， 当a＝－1时，A＝{－1，0，1}，B＝{1，0}，符合题意，故a＝－1. 6．(多选)已知集合M＝{2，4}，集合M⊆N{1，2，3，4，5}，则集合N可以是(　　) A．{2，4} B．{2，3，4} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5} 解析：选ABC.因为M⊆N{1，2，3，4，5}，M＝{2，4}，所以2∈N，4∈N，N≠{1，2，3，4，5}，所以N可以是{2，4}，{2，3，4}和{1，2，3，4}． 7．(2026·驻马店月考)设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________________． 解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA. 答案：BA 8．若是集合{1}的真子集，则a的值为________． 解析：由题意知集合 为空集，则a－2＝0，即a＝2. 答案：2 9．已知集合A＝{x|－1＜x＜10}，非空集合B＝{x|a＋1＜x＜2a－2}，且B⊆A，则a的取值范围为________． 解析：因为B⊆A，B≠∅， 所以解得3＜a≤6. 答案：3＜a≤6 10．(13分)指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}；(4分) (2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}；(4分) (3)A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x－1<8}．(5分)　 解：(1)因为B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}，所以BA. (2)A，B两个集合都表示长方形构成的集合，故A＝B. (3)A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x－1<8}，则集合B＝{x|x<9}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. 11．(多选)若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，集合B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－ 解析：选ACD.集合A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，　 当B＝∅时，B⊆A，此时集合B无解，即a＝0； 当B≠∅，B＝{－3}时，即－3a－2＝0，解得a＝－， 当B＝{2}时，即2a－2＝0，解得a＝1.所以实数a的取值可能为－，0，1. 12．已知集合A＝{a，b，c，d}的所有非空真子集的元素之和为2 030，则a＋b＋c＋d＝________． 解析：集合A＝{a，b，c，d}的所有非空真子集有{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}， 所以有7a＋7b＋7c＋7d＝7(a＋b＋c＋d)＝2 030， 解得a＋b＋c＋d＝290. 答案：290 13．(13分)(2026·桂林月考)已知集合A＝{1，2，3}． (1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M; (4分) (2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合．(9分) 解：(1)因为M⊆A，3∈M，所以集合M可能为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}． (2)当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A; 当a≠0时，B＝， 若B⊆A，则＝1或＝2或＝3， 解得a＝3或a＝或a＝1.综上所述，实数a的取值集合为. 14．(15分)(2026·淮北月考)已知集合A＝{x|0<x－a≤5}，B＝. (1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(5分) (2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(5分) (3)集合A与B能否相等？若能，求出实数a的值；若不能，请说明理由．(5分) 解：(1)由题意，得A＝{x|a<x≤a＋5}． 易知A≠∅. 因为A⊆B，所以解得0≤a≤1， 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}． (2)当B＝∅，即－≥6，即a≤－12时，满足B⊆A; 当B≠∅，即a>－12时，若B⊆A，则无解． 综上，实数a的取值范围是{a|a≤－12}． (3)集合A与B不可能相等．理由如下： 方法一：若A＝B，则有无解， 故集合A与B不可能相等． 方法二：若A＝B，则A⊆B且B⊆A.由(1)(2)，得不存在实数a使得A⊆B与B⊆A同时成立，故集合A与集合B不可能相等． 15．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|x2＝a}，若A与B构成“全食”，则a的取值范围是____________．　 解析：由题可得，要使A与B构成“全食”，则B⊆A， 由集合A＝，B＝{x|x2＝a}可知， 当a＜0时，则B＝∅，此时B⊆A； 当a＝0时，则B＝{0}，此时不满足B⊆A； 当a＞0时，则B＝{－，}， 要使B⊆A，则B＝{－1，1}，即＝1，解得a＝1， 综上所述，要使A与B构成“全食”，则a的取值范围是{a|a＜0或a＝1}． 答案：{a|a＜0或a＝1} 学科网（北京）股份有限公司 $