第1章 1.2 集合的基本关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等概念及Venn图应用。课堂导入从开学季新生班级实例切入，引导学生观察集合间包含关系，衔接集合基本概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过IMO选手集合等实例探究、表格对比概念差异、多方法（列举、特征、数形结合）判断关系，培养数学抽象与逻辑推理能力。例题含参数求解等高考题型，小结强调空集讨论等易错点，助力学生深化理解，教师可高效开展概念教学与能力训练。

1．2　集合的基本关系 　　本年开学季，某校新招的高一18个班的新生组成集合A，其中高一(1)班的50位新生组成集合B，那么，集合A与集合B有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系． 1.理解集合之间的包含和相等的含义． 2．能识别给定集合的子集、真子集． 3．了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 第67届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)于2026年在中国上海举行，设全部参赛选手组成集合A，中国参赛选手组成集合B. 思考1　集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗？ 提示：不是． 思考2　集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素吗？ 提示：都是． 知识点一　子集、集合相等、真子集 返回导航 [知识梳理] 1．Venn图的定义 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的______________表示集合，称为Venn图． 内部 返回导航 2．子集、集合相等、真子集 类别 子集 集合相等 真子集 概念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的______________元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集，记作______________ (或______________)，读作“A______________B”(或“B______________A”) 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的________，且集合B也是集合A的______________，那么称集合A与集合B相等，记作______________ 对于两个集合A与B，如果________， 且____________， 那么称集合A是集合B的真子集，记作______________，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 任何一个 A⊆B B⊇A 包含于 包含 子集 子集 A＝B A⊆B A≠B AB(或BA) 返回导航 类别 子集 集合相等 真子集 图示       结论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即______________； (2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A； (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C 若A＝B且B＝C，则A＝C 若AB且BC，则AC A⊆A 返回导航 (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； 【解】集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； 【解】集合B＝(－∞，5)，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. [例1] 指出下列各组集合之间的关系： 返回导航 (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； 【解】等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，但也可能三边相等，故AB. (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 【解】方法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 方法二：由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以NM. 返回导航 感悟提升 判断集合间关系的常用方法 返回导航 BCD 返回导航 解析：对于A，由题意知，B＝{x|x≥1}，将A，B表示在数轴上，如图所示．由数轴可以看出，集合A中元素全部在集合B中，且B中至少存在一个元素不属于集合A，所以AB.故A错误； 对于B，在{a，0，1}中，a≠0且a≠1，而{a，0，1}＝{a2，a，0}，则有a2＝1，解得a＝－1，所以实数a的值为－1.故B正确； 返回导航 返回导航 D 知识点二　有限集的子集、真子集及其个数 [例2] (1)满足{1，2}A⊆{1，2，3，4，5}的集合A的个数为(　　) A．8 B．3 C．4 D．7 【解】方法一：因为集合A满足{1，2}A⊆{1，2，3，4，5}， 所以集合A必含有元素1和2，且至少含有3，4和5中的一个， 所以满足条件的集合A为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个． 方法二：由题意可知，集合A的个数即集合{3，4，5}的非空子集的个数，为23－1＝7. 返回导航 (2)(对接教材例4)设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【解】由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得x＝－4或x＝－1或x＝4，故集合A＝{－4，－1，4}． 由0个元素构成的子集为：∅， 由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}， 由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}， 由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}， 因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}． 真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 返回导航 感悟提升 (1)含有n个元素的集合有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集． (2)求集合子集、真子集的步骤： 返回导航 [跟踪训练2] (1)(2026·焦作月考)已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：满足条件的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有5个． D 返回导航 (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，则集合A的子集的个数为________． 解析：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．所以集合A的子集的个数为23＝8. 8 返回导航 应用点　由集合间的关系求参数 [例3] (1)已知集合A＝{9，3m}，B＝{m2，9}，且A⊆B，则实数m＝(　　) A．0 B．3 C．±3 D．3或0 【解析】因为A⊆B，且A，B的元素个数相等，所以A＝B，所以3m＝m2，解得m＝3或m＝0， 当m＝3时，3m＝9，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当m＝0时，A＝B＝{0，9}，满足条件． A 返回导航 (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m(m>1)}，且B⊆A，则实数m的取值范围是____________． 【解析】由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4. 又m>1，所以实数m的取值范围是{m|1<m≤4}． {m|1＜m≤4} 返回导航 母题探究　本例(2)若将“B＝{x|1<x<m(m>1)}”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围为____________． 解析：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A；　 若m>1，则由例题解析可知1＜m≤4. 综上可知，实数m的取值范围是{m|m≤4}． {m|m≤4} 返回导航 感悟提升 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的定义，建立方程(组)求解，此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处能否取到． 注意　(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 返回导航 [跟踪训练3] (1)已知集合A＝{0，－1}，B＝{0，1，2－a}，若A，B关系如图所示，则a＝(　　)   A．1 B．－1 C．－3 D．3 解析：由题图可知A⊆B，则－1＝2－a，所以a＝3. D 返回导航 (2)(2026·阜阳月考)已知集合A＝{x|－a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，A⊆B，则实数a的取值范围为____________． (－∞，2] 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 26 C 1．对于集合A，B，“A⊆B不成立”的含义是(　　) A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B中的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 解析：A⊆B，即集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，因为“A⊆B不成立”，所以A中至少有一个元素不属于B. 返回导航 ACD 返回导航 解析：对于A，{x|x是12的正因数}＝{1，2，3，4，6，12}，{2，3，6}{x|x是12的正因数}，故A正确； 对于B，{x|x＝4n－2，n∈Z}＝{x|x＝2(2n－1)，n∈Z}＝{x|x是2的奇数倍}，{x|x＝2n，n∈Z}＝{x|x是2的整数倍}，所以{x|x＝4n－2，n∈Z}{x|x＝2n，n∈Z}，故B错误； 对于C，用数轴表示集合A，B，如图所示．由图知，BA.故C正确； 对于D，A＝{x|x是4与10的公倍数，x∈N＋}＝{x|x＝20n，n∈N＋}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}，所以B＝A.故D正确． 返回导航 3．(教材P7T3(2)改编)已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)(x－5)2＝0}，则集合A的所有子集的元素之和为________． 解析：集合A＝{x|(x－1)(x－3)(x－5)2＝0}＝{1，3，5}，集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．注意到A中的每个元素都出现了4次，故所求元素之和为(1＋3＋5)×4＝36. 36 返回导航 4．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，则实数m的值为____________． 解析：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为BA且B＝{x|mx＋1＝0}， 所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅. 返回导航 课堂小结 1．已学习：子集、真子集、集合相等的概念，集合间关系的判断，求子集、真子集的个数问题． 2．须贯通：由集合间的关系求参数的值或范围． 3．应注意：(1)忽略对集合是否为空集的讨论； (2)求参数范围时，端点值能否取到容易出现错误． 返回导航 $