第1章 1.1 集合的概念与表示(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦集合的概念与表示，涵盖元素特性、表示方法、空集及区间等核心内容。通过实际问题导入，联系初中数的分类知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解集合的本质。 其亮点在于结合易错题分析和创新题型，如含参数方程的集合元素问题、高斯函数与平面区域面积，培养学生数学眼光和推理意识。注重元素互异性等易错点强调，学生能提升抽象能力，教师可高效突破教学难点。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　集合 1.1　集合的概念与表示 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　集合的概念与元素的特性 1.[2026江西宜春段考]下列说法正确的是 ( ) A.接近0的实数能组成一个集合 B.某校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C.不大于3的自然数组成的集合中的元素为1,2,3 D.1,0,5, , , , 组成的集合中有5个元素     D     解析　    A,B中的对象没有确定的标准,不能组成集合;不大于3的自然数包括0,1,2,3,C错误; = , =  ,由集合中元素的互异性知该集合有5个元素,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026福建厦门第十中学阶段检测]下列说法中正确的是 ( ) A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7} B.由2,3组成的集合可表示为{2,3}或{3,2} C.方程x2-4x+4=0的所有解组成的集合是{2,2} D.集合{y|y=x2}与{(x,y)|y=x2}是同一个集合     A     解析　　对于A,10以内的质数有2,3,5,7,组成的集合是{2,3,5,7},故A正确; 对于B,由集合中元素的无序性知{2,3}和{3,2}都可表示由2,3组成的集合,故B正确; 对于C,由集合中元素的互异性知C错误; 对于D,集合{y|y=x2}中的元素为实数,集合{(x,y)|y=x2}中的元素为点,集合中元素的属性不同,不是同一 个集合,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[易错题][2026湖南师大附中月考]如果集合M={x|(m-1)x2-4x+2=0}中只有一个元素,则实数m的所有可 能取值的和为 ( ) A.5　    B.4　    C.3　    D.1     B     解析　　当m-1=0,即m=1时(易错点),方程为-4x+2=0,解得x= ,有唯一的解,符合题意; 当m-1≠0,即m≠1时,由题意得该方程的判别式Δ=16-8(m-1)=0,解得m=3. 故m=1或m=3,所以实数m的所有可能取值的和为4. 易错警示　在研究含参数的方程ax2+bx+c=0的解的个数时,不要遗漏a=0这一种情况. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　元素与集合的关系 4.[2026山东临沂第二中学月考]①2∈R,②π∈Z,③0∈N,④|- |∈Q中正确的个数是( ) A.1　    B.2　    C.3　    D.4     B     解析　    2为实数,①正确;π为无理数,②错误;0为自然数,③正确;|- |= ,为无理数,④错误.故正确的个 数为2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.设集合A={x|m<2x+1},若-1∉A且1∈A,则实数m的取值范围是 ( ) A.{m|-1<m<3}　    B.{m|-1≤m<3} C.{m|-1<m≤3}　    D.{m|-1≤m≤3}     B     解析　　由题意得  解得-1≤m<3. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西九江外国语学校月考]给出下面四个论断:①{0}是空集;②若a∈N,则-a∉N;③集合{x|x2-2x+ 1=0}中有两个元素;④集合B= x∈Q  ∈N 是有限集.其中正确的个数为( ) A.0　    B.1　    C.2　    D.3     A     解析　　对于①,空集不包含任何元素,{0}中包含元素0,故①错误; 对于②,当a=0时,满足a∈N,此时-a∈N,故②错误; 对于③,{x|x2-2x+1=0}={x|(x-1)2=0}={1},集合中只有1个元素,故③错误; 对于④,令 =n(n为正整数),则x= ,由于n可以取任意正整数,故x有无穷多个值,所以集合B是无限集,故 ④错误. 故正确的个数为0. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[易错题][2026江西赣州第一中学质量检测]已知集合A={1,a+9,a2+a},若6∈A,则a=_________.     2     解析　由6∈A可得a+9=6或a2+a=6. 若a+9=6,则a=-3,此时a2+a=6,不满足集合中元素的互异性(易错点),故舍去; 若a2+a=6,则a=2或a=-3(舍),当a=2时,A={1,11,6},符合题意. 综上,a=2. 易错警示　对于集合中的含参问题,求得参数的值后,要注意检验集合中元素的互异性. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　集合的表示 8.方程组 的解集是 ( ) A.(5,4)　    B.(5,-4)　    C.{(-5,4)}　    D.{(5,-4)}     D     解析　　解方程组得x=5,y=-4,故方程组的解集为{(5,-4)}. 易错警示　方程组的解是有序实数对,故其解集是由有序实数对构成的集合,其中的元素应写成(a,b)的 形式. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025重庆实验外国语学校月考]集合A=  ∈Z x∈N =________________(用列举法表示).     {-2,1,2}     解析　当x=0时, = =-2;当x=2时, = =2;当x=3时, = =1.所以A={-2,1,2}. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[教材习题改编]选择适当的方法表示下列集合: (1)绝对值不大于2的所有整数组成的集合A; (2)所有正奇数组成的集合B; (3)二次函数y=x2-2x+3的图象上所有的点组成的集合C. 解析    (1)集合A可用列举法表示为A={-2,-1,0,1,2}. (2)集合B可用描述法表示为B={x|x=2k+1,k∈N}. (3)集合C可用描述法表示为C={(x,y)|y=x2-2x+3}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　空集及区间表示 11.[2026广东肇庆两校联考]下列叙述正确的是( ) A.{x|x>1}=[1,+∞)　    B.{x|-3<x≤2}=(-3,2) C.(-∞,3]={x|x<3}　     D.[2,4]={x|2≤x≤4}     D     第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025陕西西安工大附中月考]若A={x|ax2+ax+2=0}为空集,则实数a的取值范围是 ( ) A.{a|0<a<8}　     B.{a|0≤a<8} C.{a|a<0或a>8}　    D.{a|a≤0或a>8}     B     解析　　当a=0时,满足A=⌀;当a≠0时,若A为空集,则Δ=a2-8a<0,得0<a<8.综上,a的取值范围为{a|0≤a< 8}. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　集合 1.1　集合的概念与表示 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　集合中元素特性的应用 1.[多选题][2026湖北荆州中学月考]下列说法中正确的是 ( ) A.若集合A由方程x-1=0和x2+x-2=0的所有实数根组成,则-2∈A B.若集合B由“good”中的字母组成,则B中有4个元素 C.若集合中有三个元素a,b,c,且a,b,c是△ABC的三条边的长,则△ABC不可能是等边三角形 D.若集合C由不等式5x-3>2的所有整数解组成,则3∉C     AC     解析　　对于A,由x-1=0,得x=1,由x2+x-2=0,得x=-2或x=1,因此A={-2,1},故-2∈A,A正确; 对于B,易得B={g,o,d},故B中有3个元素,B错误; 对于C,由集合中元素的互异性知a,b,c互不相等,则△ABC不可能是等边三角形,C正确; 对于D,解不等式5x-3>2,得x>1,则C={x∈Z|x>1},故3∈C,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B且x1x2∈A☉B,则A☉B 中所有元素之积为 ( ) A.-8　    B.-16　    C.8　    D.16     C     解析　　由题意得A={-2,1},B={-1,2}, 又-2×(-1)=2,-2×2=-4,1×(-1)=-1,1×2=2,∴A☉B={-4,-1,2},因此-4×(-1)×2=8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　元素与集合的关系 3.[2026江西赣州大余部分高中期中]已知集合M={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},P={x|x=4k+1,k∈Z}, 若m∈P,n∈Q,则 ( ) A.m+n∈M　     B.m+n∈Q C.m+n∈P　     D.m+n不属于M,Q,P中的任意一个     A     解析　　∵m∈P,n∈Q, ∴m=4k1+1,k1∈Z,n=2k2+1,k2∈Z, ∴m+n=4k1+1+2k2+1=2(2k1+k2+1),又2k1+k2+1∈Z,∴m+n∈M. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026河南重点高中联考]已知集合M={x|x=a2-b2,a∈Z,b∈Z},则下列说法正确的是( ) A.所有的奇数都是M中的元素 B.所有的偶数都是M中的元素 C.如果x∈M,y∈M,那么xy∈M D.如果x∈M,y∈M,那么x+y∈M          AC 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　奇数可用2k+1,k∈Z表示,又2k+1=(k+1)2-k2,其中k+1∈Z,k∈Z, 满足集合M中元素的条件:x=a2-b2(a∈Z,b∈Z),所以所有奇数都是M中的元素,故A正确; 假设2∈M,则2=a2-b2=(a+b)(a-b)(a∈Z,b∈Z), 所以 或 或  或  解得 或 或 或 不满足a∈Z,b∈Z,故2∉M,故B错误; 因为x∈M,y∈M,所以设x=a2-b2,y=c2-d2(a,b,c,d∈Z), 则xy=(a2-b2)(c2-d2)=a2c2-a2d2-b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)-(a2d2+2abcd+b2c2)=(ac+bd)2-(ad+bc)2, 第1讲　描述运动的基本概念 又ac+bd∈Z,ad+bc∈Z,所以xy∈M,故C正确; 取x=y=1,由A知x,y∈M,此时x+y=2,由B知2∉M,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026山东百师联考]设集合M= 2,3,a2-3a,a+ +7 ,N={a-1,3},已知4∈M且4∉N,则a的取值集合为 ____________. {- 2}     解析　因为4∈M,所以a2-3a=4或a+ +7=4. 若a2-3a=4,解得a=4或a=-1, 当a=4时,a+ +7= ,此时M= 2,3,4,  ,N={3,3}(易错点),不满足集合中元素的互异性,舍去; 当a=-1时,a+ +7=4,此时M={2,3,4,4}(易错点),不满足集合中元素的互异性,舍去. 若a+ +7=4,解得a=-1或a=-2, 由上面分析知a=-1不满足题意; 当a=-2时,a2-3a=10,此时M={2,3,10,4},N={-3,3},满足题意. 综上,a的取值集合为{-2}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　集合中的综合问题 6.[2026山东青岛海尔学校期中]用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=|C(A)-C(B)|.已知集合A= {x|x2-1=0},B={x|3x(x2+ax+2)=0},若A*B=1,则实数a的取值不可能是 ( ) A.2 　    B.0　    C.1　    D.2      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    A={x|x2-1=0}={-1,1},则C(A)=2. 由3x(x2+ax+2)=0得x=0或x2+ax+2=0,则0∈B. 当Δ=a2-8>0时,a<-2 或a>2 ,此时C(B)=3; 当Δ=a2-8=0时,a=±2 ,此时C(B)=2; 当Δ=a2-8<0时,-2 <a<2 ,此时C(B)=1. 由A*B=|C(A)-C(B)|=|2-C(B)|=1,可得C(B)=1或C(B)=3, 所以a<-2 或a>2 或-2 <a<2 ,即a≠±2 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西景德镇乐平中学月考]已知m∈R,集合A={x|m<x<3m-1}中的元素恰有2个为整数,则实数m的 取值范围为_____________________.      m  <m≤ 或m=2      解析　因为集合A中的元素恰有2个为整数,所以1<3m-1-m≤3,解得1<m≤2. 当1<m<2时,集合A中的2个整数为2,3,所以3<3m-1≤4,解得 <m≤ ; 当m=2时,集合A={x|2<x<5},此时集合A中的2个整数为3,4,满足题意. 综上,实数m的取值范围为 m  <m≤ 或m=2 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025河南南阳月考]设实数集S满足下面两个条件:①1∉S;②若a∈S,则 ∈S. (1)求证:若a∈S,则1- ∈S; (2)若2∈S,则S中必含有其他的两个数,试求出这两个数. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:若a=0,则 =1∈S,与1∉S矛盾,故a≠0. 由题知若a∈S,则 ∈S,其中a≠1, 所以 ∈S,即 = =1- ∈S,故得证. (2)若2∈S,则 =-1∈S; 由-1∈S,得 = ∈S; 由 ∈S,得 =2∈S, …… 因此当2∈S时,集合S中必含有-1, 这两个元素. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　定义“高斯函数”,考查集合的表示 9.[2026上海徐汇中学期中]定义函数y=[x](x∈R)为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[1.1]=1, [-1.1]=-2,则点集P={(x,y)|[x]2+[y]2=1}所表示的平面区域的面积是 ( ) A.4　　　    B.2　　　    C.6　　　    D.1     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由[x]2+[y]2=1可得[x]=0,[y]=±1或[x]=±1,[y]=0, 即 或 或  或  即 或 或  或  上述不等式组表示的平面区域如图所示: 第1讲　描述运动的基本概念   该平面区域由4个边长为1的正方形组成, 所以点集P={(x,y)|[x]2+[y]2=1}所表示的平面区域的面积是4. 第1讲　描述运动的基本概念 $