第1章 1.1 第1课时 集合的概念 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦集合的核心知识点，系统梳理集合的定义、元素的确定性与互异性、常见数集（如Q、N、Z、R）及集合与元素的关系，搭建从基础概念到方程解集等应用的学习支架，为后续函数等知识学习奠定基础。 该资料通过“唐宋散文八大家”等实例辨析元素确定性，培养数学眼光，借助含参数集合元素互异性推理、方程解分类讨论发展数学思维，解析规范助力数学语言表达。课中辅助概念理解，课后可通过不同题型巩固，帮助学生查漏补缺。

1．下列各选项中能构成集合的是(　　) A．学生中的跑步能手 B．科技创新人才 C．地球周围的行星 D．唐宋散文八大家 解析：选D.对于A，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，故A错误；对于B，科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，故B错误；对于C，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误；对于D，唐宋散文八大家分别为唐代韩愈、柳宗元和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的对象是确定的，可构成集合，故D正确．故选D. 2．下列关系正确的是(　　) A．π2∈Q B．0∉N C．－4∉Z D．－2 025∈R 解析：选D.对于A，由π是无理数，得π2也是无理数，则π2∉Q，A错误； 对于B，自然数集N包含元素0，即0∈N，B错误； 对于C，Z表示整数集，即－4∈Z，C错误； 对于D，－2 025是实数，即－2 025∈R，D正确． 3．由a2，3－2a，1可组成含3个元素的集合，则实数a的取值可以是(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－3 解析：选C.由集合中元素的互异性可得解得a≠1且a≠－3且a≠－1.故选C. 4．(2026·九江月考)下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 解析：选A.由于A中集合P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中集合P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合． 5．若关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 解析：选C.当a＝0时，2x＋1＝0，解集中只有一个元素，故a＝0符合题意； 当a≠0时，Δ＝4－4a＝0，解得a＝1， 故a＝1符合题意． 综上，实数a的值为0或1.故选C. 6．(多选)由不超过5的实数组成集合A，若a＝＋，则下列结论正确的是(　　) A．a∈A B．a2∈A C．∈A D．a＋1∈A 解析：选ACD.对于A，由a＝＋<＋＝4<5，所以a∈A，故A正确； 对于B，由a2＝(＋)2＝5＋2>5，所以a2∉A，故B错误； 对于C，由＝＝＝－<5，所以∈A，故C正确； 对于D，由a＋1＝＋＋1<＋＋1＝5，所以a＋1∈A，故D正确．故选ACD. 7．已知满足1≤x≤5且x∈N的元素构成集合B，则1________B，1.5________B．(填“∈”或“∉”) 解析：由题意，集合B中的元素有1，2，3，4，5，所以1∈B，1.5∉B. 答案：∈　∉ 8．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，6－a∈A，则实数a的值为________． 解析：若a＝2∈A，则6－a＝4∈A符合题意；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A符合题意；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A不符合题意． 故实数a的值为2或4. 答案：2或4 9．已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，则实数a＝________． 解析：由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，当－3＝a－2，即a＝－1时，a－2＝2a2＋5a，不满足集合中元素的互异性，舍去；当－3＝2a2＋5a，即a＝－1(舍去)或a＝－时，经验证a＝－，满足条件，所以a＝－. 答案：－ 10．(13分)(2026·驻马店开学考)设A是方程x2－ax－10＝0的解组成的集合． (1)0是否是集合A中的元素？(5分) (2)若－5∈A，试写出集合A中的所有元素．(8分) 解：(1)将x＝0代入方程，得02－a×0－10＝－10≠0，所以0不是集合A中的元素． (2)若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－10＝0，解得a＝－3. 所以原方程为x2＋3x－10＝0， 即(x－2)(x＋5)＝0， 得x＝2或x＝－5. 故集合A中含有两个元素2，－5. 11．(2026·焦作月考)集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 解析：选C.集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B. 12．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A．4∈M B．2∈M C．0∉M D．－4∉M 解析：选A.根据题意，分4种情况讨论； ①当x，y，z全部为负数时，xyz为负数，则＋＋＋＝－4； ②当x，y，z中有一个为负数时，xyz为负数，则＋＋＋＝0； ③当x，y，z中有两个为负数时，xyz为正数，则＋＋＋＝0； ④当x，y，z全部为正数时，xyz为正数，则＋＋＋＝4； 综上，集合M中的元素有4，0，－4三个，对照选项可得A正确，B，C，D错误．故选A. 13．若集合A的元素x满足ax－4＞0且－3∉A，2∈A，则a的取值范围为____________． 解析：因为－3∉A，2∈A， 所以解得a＞2. 答案：a＞2 14．(13分)已知集合A中有三个元素，分别为2，x，x2. (1)求实数x应该满足哪些条件？(6分) (2)若1∈A，求x的值．(7分) 解：(1)根据集合中元素的互异性可知 解得x≠2且x≠1且x≠0且x≠±. (2)由于1∈A，结合(1)的结论可知x≠1， 所以x2＝1，解得x＝－1(x＝1舍去). 经验证，满足题意．所以x＝－1. 15．(15分)已知集合A满足以下条件：①1∈A；②若a∈A，则∈A. (1)求证：集合A至少有3个元素；(7分) (2)若集合M中的元素都不在集合A中，写出属于集合M的两个元素，并说明理由．(8分) 解：(1)证明：由1∈A，得＝(－2－)∈A，则＝(－2)∈A， 则＝1∈A，…， 周而复始，故由题意易得集合A至少有3个元素． (2)当a＝时，无意义，故∉A； 令＝，解得a＝－， 即当a＝－时，＝∉A， 故－∉A. 故属于集合M的两个元素是，－. 学科网（北京）股份有限公司 $