安徽省十教育2027届高三第一次教学质量测评数学试卷

省十教育2027届高三第一次教学质量测评 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据2，3，6，4，7的中位数是 A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，则与夹角的余弦值为 A． B． C． D． 4．已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比 A． B． C． D． 5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为 （参考数据：，） A． B． C． D． 6．已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为 A． B． C． D． 7．在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，且，则下列等式成立的是 A． B． C． D． 8．甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，复数满足，则 A． B． C．复数的虚部为1 D．复数在复平面内的对应点在第一或第三象限 10．已知函数，则 A．函数的值域为 B．函数的单调递增区间为， C．曲线关于直线对称，其中 D．函数有两个零点 11．已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则 A． B． C．当时， D．存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________． 13．若函数，且曲线在点处的切线方程为，其中，，则_________；在区间上的最大值与最小值之和为_________． 14．已知在抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，则的最大值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表： 良好 一般 合计 服用 85 服用 20 合计 （1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？ （2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆，直线与交于，两点，斜率为的直线过原点，与的交点为，． （1）求的离心率； （2）若， （i）求证：直线平分线段； （ii）已知四边形的面积为，求直线的方程． 19．（本小题满分17分） 已知函数的导函数为． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若是在区间上的一个零点，设，函数，求证； （3）设，是函数的两个极值点，且． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三第一次教学质量测评•数学 参考答案、提示及评分细则 1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D 9．BCD 10．AC 11．ACD 12．2 13．1（2分） （3分） 14． 15．解：（1） 良好 一般 合计 服用 85 15 100 服用 80 20 100 合计 165 35 200 3分 零假设为：治疗效果良好与服用，药物无关联， 根据上表可知，， 所以根据小概率值的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联． 7分 （2）因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以， 9分 在200人中服用药物的人数为100，所以， 11分 因为在200人中有100人服用药物，且治疗效果良好的有85人，所以． （或，）． 13分 16．（1）证明：因为平面中，，，所以， 1分 又，所以四边形是以与为底边的梯形，所以与相交， 2分 因为，，，平面，所以平面． 3分 （2）证明：取的中点，连接，． 因为是的中点，所以且． 4分 因为且，所以且． 5分 所以四边形是平行四边形，所以． 6分 又因为平面，平面，所以平面． 7分 （3）解：由平面，，知，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系．设，则，，，，，， 所以，，，． 9分 设平面的一个法向量，则， 即，取，得， 11分 设平面的一个法向量，则， 即，取，得， 13分 设平面与平面的夹角为，则． 15分 17．解：（1）由题意知，当时，， 当时，，满足上式， 所以， 2分 因为，，成等比数列，所以，所以，所以． 4分 因为数列满足，，所以，， 5分 当时，，所以， 所以时，， 7分 适合上式，所以的通项公式为． 8分 （2）由（1）知， 9分 令，，则， 所以， 12分 所以， 13分 又， 14分 所以． 15分 18．（1）解：设的长轴长为，短轴长为，焦距为，由知，， 因为，所以，， 2分 所以的离心率． 3分 （2）（i）证明：设，，的中点为， 由与联立，整理得， 4分 则此方程两根为，，且， 所以，， 6分 所以直线的斜率， 因为，所以， 又直线过原点，所以与直线是同一条直线，所以直线平分线段． 8分 （ii）解：由（i）知，， 所以， 所以． 10分 的方程为，由，得的方程为， 由与联立， 解得，两点坐标为，． 12分 设点，到直线的距离为，，记，，则，的坐标为，，， 14分 所以四边形的面积， 15分 解得，又，所以， 直线的方程为或． 17分 19．（1）解：， 1分 因为在上单调递增，所以在上恒成立，所以，， 2分 因为，所以，当且仅当时，取等号，所以，，即的取值范围是． 3分 （2）证明：由， 得，． 4分 令函数， 记，则，所以在上单调递增， 则． 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 5分 因此，当时， ， 可得，即． 6分 令函数， 则． 因为在上单调递增， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 因此，当时，， 可得，即，所以． 8分 （3）解：（i）因为，所以， 因为，是函数的两个极值点，所以，是的两个根，即，是方程的两个正数根， 所以，，所以，所以的取值范围是． 11分 （ii），，． ， 令，则， 又， 由得，所以， 结合解得， 13分 ，， 所以， 15分 令，则， 所以在上单调递减， 因为，， 所以的取值范围是． 17分 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $