微练（十六）抽象函数-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦抽象函数核心性质，通过赋值法、模型构造等系统方法，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|单选1-4题|赋值法求函数值、定义域代换、奇偶性定义判断|从函数定义到奇偶性、对称性，构建性质应用链| |综合推导|单选5-8题|周期性迭代、单调性与不等式构造、对称性质转化|结合对称性与周期性推导函数特征，形成性质综合应用逻辑| |创新拓展|多选9-10题、填空11-14题|函数模型假设、抽象函数与数列结合、新定义问题转化|从单一性质到多性质融合，提升复杂问题推理能力|

微练(十六)　抽象函数 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)=(　　) A.2 B.3 C.6 D.9 2.已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,2],则函数y=的定义域为(　　) A.[-1,2] B.(-1,2] C.[-1,5] D.(-1,5] 3.已知f(x)为偶函数,则下列函数一定是偶函数的是(　　) A.y=f(x)sin x B.y=f(x)tan x C.y=f(x)-cos x D.y=f(x)+x 4.已知f(x-1)为偶函数,且f(x)在[-1,+∞)上单调递增,若f(a-1)≤f(1),则实数a的取值范围是(　　) A.[-1,1] B.[-2,2] C.[-3,3] D.[-4,4] 5.(2026·常州质检)函数f(x)的定义域为R,且f(1+x)=-f(1-x),f(2+x)=f(2-x),则f(x)是(　　) A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 6.函数f(x)的定义域为R,对任意的x∈[1,+∞),t∈(0,+∞),都有f(x+t)<f(x)成立,且函数f(x+1)为偶函数,则(　　) A.f(-2)<f(-1)<f(2) B.f(-2)<f(2)<f(-1) C.f(2)<f(-1)<f(-2) D.f(-1)<f(2)<f(-2) 7.已知偶函数f(x)满足:f2(x)+f2(x+2)=4,且f(x)f>0,若f(2)<0,则f(2 025)=(　　) A.1 B. C.- D.-1 8.定义在R上的奇函数f(x)满足:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,>1,若f(2)=2,则不等式f(x)>x的解集为(　　) A.(0,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(2,+∞) 二、多项选择题 9.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)-2xy=f(x)+f(y),f(1)=0,则(　　) A.f(2)=2 B.f=- C.f(x+1)是偶函数 D.f(x)-x2是奇函数 10.已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),且f(2+x)=g(x)+1,则(　　) A.f(x)的图象关于点(2,1)对称 B.f(x)是周期函数 C.g(x)在R上单调递增 D.f(4k-2)=2 026 三、填空题 11.若幂函数f(x)同时具有以下三个性质:①f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);②f(x)是奇函数;③当x<0时,f(x)<0.则f(x)的一个解析式是　　　　.  12.(2026·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x都有f(x+3)=f(x+2)f(x+1),f(x)=f(2-x)成立,若f(2)=1,则f(k)=　　　　.  13.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,则不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集为　　　　.  14.(2026·阜阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)+f(4-x)=4,f(x+2)-f(-x)=0,且f(1)=a,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(51)=　　　　.  微练(十六)　抽象函数 1.C　解析　解法一(常规解法):f(-3)=f(-1)+f(-2)+4=3f(-1)+6,f(0)=f(0)+f(0)+0,f(0)=0,又f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)-2=f(-1),所以f(-3)=6. 解法二(模型解法):由f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,设函数f(x)=x2+bx,又由f(1)=2,得b=1,所以f(x)=x2+x,f(-3)=6. 2.D　解析　对于函数y=f(2x+1),-1≤x≤2,则-1≤2x+1≤5,所以,函数f(x)的定义域[-1,5],对于函数y=,有解得-1<x≤5.因此,函数y=的定义域为(-1,5].故选D. 3.C　解析　因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),设函数f(x)的定义域为D,所以函数y=f(x)sin x,y=f(x)-cos x,y=f(x)+x的定义域为D,定义域关于原点对称,设g(x)=f(x)sin x,则g(-x)=f(-x)sin(-x)=-f(x)sin x=-g(x),所以函数y=f(x)sin x为奇函数,A错误;设h(x)=f(x)-cos x,则h(-x)=f(-x)-cos(-x)=f(x)-cos x=h(x),所以函数y=f(x)-cos x为偶函数,C正确;设φ(x)=f(x)+x,则φ(-x)=f(-x)-x,故φ(1)=f(1)+1,φ(-1)=f(-1)-1=f(1)-1,故φ(1)≠φ(-1),y=f(x)+x不是偶函数,D错误;设μ(x)=f(x)tan x,函数μ(x)的定义域为D∩,定义域关于原点对称,μ(-x)=f(-x)tan(-x)=-f(x)tan x=-μ(x),y=f(x)tan x是奇函数,B错误;故选C. 4.B　解析　因为f(x-1)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,又f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(a-1)≤f(1),所以|a-1+1|≤1+1,解得-2≤a≤2. 5.A　解析　解法一:因为f(1+x)=-f(1-x),所以f(x)的图象关于(1,0)中心对称;因为f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)是以4为周期的周期函数,则f(x+2)=f(x-2).又f(2+x)=f(2-x),所以f(x-2)=f(2-x),所以f(x)的图象关于y轴对称,f(x)是偶函数. 解法二:因为f(1+x)=-f(1-x),所以f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x).因为f(2+x)=f(2-x),所以f(2-x)=-f(-x),即f(2+x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,则f(x+2)=f(x-2).因为f(2+x)=f(2-x),所以f(x-2)=f(2-x),所以f(x)=f(-x),f(x)是偶函数.故选A. 6.A　解析　因为函数f(x+1)为偶函数,所以函数f(x)图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0),对任意的x∈[1,+∞),t∈(0,+∞),都有f(x+t)<f(x)成立,所以<0,故f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,故f(-2)<f(-1)<f(0)=f(2).故选A. 7.C　解析　由f2(x)+f2(x+2)=4,用x+2代换x,可得f2(x+2)+f2(x+4)=4,联立方程组可得f2(x+4)=f2(x),即f(x+4)=±f(x),又由函数f(x)为偶函数,且f(x)f>0,可得f(x)与f同号,所以f(x+4)=f(x),可得函数f(x)是周期为4的函数,因为f(2)<0,f(1)与f(2)同号,则f(1)<0,令x=-1,可得f2(-1)+f2(1)=2f2(1)=4,所以f(1)=-,则f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=-.故选C. 8.D　解析　因为∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,>1,所以-1==>0,设g(x)=f(x)-x,则>0,∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,根据单调性的定义可得,g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)在R上为奇函数,所以g(-x)=f(-x)-(-x)=-f(x)+x=-[f(x)-x]=-g(x),所以g(x)在R上为奇函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,因为f(2)=2,所以g(2)=f(2)-2=0,则g(-2)=-g(2)=0,所以g(x)=f(x)-x>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞),所以f(x)>x的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选D. 9.ABD　解析　对于A,令x=y=1,可得f(1+1)-2=f(1)+f(1),即f(2)=2f(1)+2,因为f(1)=0,所以f(2)=2,所以A正确;对于B,令x=y=,可得f-=f+f,即2f=f(1)-,因为f(1)=0,所以f=-,所以B正确;对于C,令y=1,则f(x+1)-2x=f(x)+f(1)且f(1)=0,所以f(x+1)=f(x)+2x,令g(x)=f(x+1),则g(-x)=f(-x+1),由f(x+1)=f(x)+2x,可得f(-x+1)=f(-x)-2x,则g(x)+g(-x)=f(x+1)+f(-x+1)=f(x)+2x+f(-x)-2x=f(x)+f(-x),令x=0,y=0,可得f(0)-0=f(0)+f(0),解得f(0)=0,令y=-x,可得f(0)-2x(-x)=f(x)+f(-x),所以f(x)+f(-x)=2x2,因为2x2不恒为0,所以g(x)不是偶函数,即f(x+1)不是偶函数,所以C错误;对于D,设h(x)=f(x)-x2,则h(-x)=f(-x)-x2,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=2x2,所以h(x)+h(-x)=f(x)-x2+f(-x)-x2=f(x)+f(-x)-2x2=2x2-2x2=0,即h(-x)=-h(x),所以h(x)为奇函数,即f(x)-x2是奇函数,所以D正确.故选ABD. 10.AB　解析　对于A,由f(2+x)=g(x)+1,得f(2-x)=g(-x)+1=-g(x)+1,两式相加可得f(2+x)+f(2-x)=2,因此f(x)的图象关于点(2,1)对称,故A正确;对于B,由A选项可知f(x)+f(4-x)=2,又f(x)为偶函数,所以f(x)+f(x-4)=2,将x替换为x+4,可得f(x+4)+f(x)=2,f(x)+f(x-4)=2与f(x+4)+f(x)=2两式相减得f(x+4)=f(x-4),所以f(x)=f(x+8),即f(x)是以8为周期的周期函数,故B正确;对于C,易知g(0)=0,又f(2+x)=g(x)+1,故f(2)=g(0)+1,得f(2)=1,又f(2)=f(-6)=f(6),所以f(6)=1,g(4)=f(6)-1=0,故g(x)在R上不单调递增,故C错误;对于D,由C分析可知f(2)=f(6)=1,结合BC知:f(2)=f(6)=f(10)=…=f(8 098)=1.则f(4k-2)=f(2)+f(6)+f(10)+…+f(8 098)=2 025f(2)=2 025,故D错误.故选AB. 11.y=x-1(答案不唯一)　解析　满足题设三个性质的函数,如y=x-1,答案不唯一. 12.n　解析　由f(x)=f(2-x)可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,因为f(2)=1,所以f(0)=1,在f(x+3)=f(x+2)f(x+1)中,令x=-1,代入可得f(1)=1,再令x=0,代入可得f(3)=1,再令x=1,代入可得f(4)=1,…,故令x=n-3,n∈Z,代入可得f(n)=1,故f(k)==n. 13.　解析　令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),得f(0)=0,令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),即f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数.令x=x1-x2,y=x2,且x1>x2,则f(x1)=f(x1-x2)+f(x2),因为x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上为减函数,所以不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0⇔f(5-x2)<-f(3x-x2)⇔f(5-x2)<f(x2-3x)⇔5-x2>x2-3x,即2x2-3x-5<0,解得-1<x<. 14.102　解析　由函数f(x)满足f(x)+f(4-x)=4,可得函数f(x)的图象关于点(2,2)成中心对称,又由函数f(x)满足f(x+2)-f(-x)=0,即f(x+2)=f(-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数f(x)的图象既关于直线x=1成轴对称,又关于点(2,2)成中心对称,所以f(2)=2,且函数f(x)的周期T=4,又因为f(1)=a,所以f(3)=4-a,f(4)=f(-2)=f(-2+4)=f(2)=2,…,可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(51)=8×12+f(1)+f(2)+f(3)=96+a+2+4-a=102. 学科网（北京）股份有限公司 $