河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习质量检测卷（2）

**基本信息** 聚焦立体几何、三角函数与解三角形核心内容，通过旋转体判断（第1题）、直三棱柱长度计算（第6题）等问题，考查空间观念与运算推理能力，适配新高二暑假自主学习质量检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|旋转体（1）、三角函数性质（4）|基础巩固，突出空间观念与数学眼光| |多选题|3/18|向量投影（9）、圆台体积（10）|能力提升，考查推理意识与批判性思维| |填空题|3/15|解三角形最值（13）、动直径向量（14）|创新应用，体现模型观念与数据意识| |解答题|5/77|二面角与线面角（17）、中线范围（19）|综合探究，注重逻辑推理与数学语言表达|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习质量检测卷（2） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知直角梯形，，，绕着它的腰所在直线旋转一周，形成的面所围的几何体为（   ） A．球体 B．圆锥 C．圆台 D．圆柱 2．在中，，记，．则（    ） A． B． C． D． 3．已知两条直线，，三个平面，，，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则且 C．若，，，，则 D．若，，，则 4．已知函数，则是（    ） A．偶函数，且最小正周期为 B．偶函数，且最小正周期为 C．奇函数，且最小正周期为 D．奇函数，且最小正周期为 5．在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 6．如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 7．已知函数，为了得到函数的图象，只需将的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，则原图形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知向量，，下列选项正确的是（） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 10．如图，已知圆台的下底面直径，母线，且，是下底面圆周上一动点，则（     ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．三棱锥体积的最大值为 D．的最大值为6 11．函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数在上的值域为 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．若函数的图象与的图象重合，且，则______． 13．在中，角，，所对的边分别为，，，若边上的高为，当取得最大值时，____________． 14．如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，在四棱锥中，为正方形，平面；，   (1)求四棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积． 16．(本小题15分）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图象向左平移个单位得到函数的图象．若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 17．(本小题15分）如图，在三棱锥中， ，，，．设二面角的大小为． (1)当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； (2)当时，求点到平面的距离． 18．(本小题17分）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 19．(本小题17分）在中，内角所对的边分别是，且，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D B B B D BCD BCD 题号 11 答案 AD 1．C 【详解】如图，绕着它的腰所在直线旋转一周，形成的面所围的几何体为圆台. 2．B 【详解】∵，∴，即 ==. 3．D 【详解】A：说明两平面交线为，，此时和是同一平面内的两条直线，它们的位置关系可以是平行，也可以是相交，因此不必然成立，A错误， B：若且，直线有可能在平面内（或平面内），此时不满足（或），B错误， C：面面平行的判定定理要求平面内有两条相交直线都平行于，而不一定是相交直线，若，则两个平面也可能相交，C错误， D：面面平行的性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，所得的交线互相平行，命题成立，D正确. 4．D 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数； 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为. 5．B 【详解】因为的面积为，所以， 又∵，，则. 6．B 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知，又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以的坐标为，从而． 7．B 【详解】由题意可得， 所以向左平移个单位长度得. 8．D 【详解】由四边形为矩形，，得， 则矩形的面积，又斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍， 所以原图形的面积． 9．BCD 【详解】由已知，， 对于选项A：，，向量不垂直，A错误； 对于选项B：在上的投影向量公式为，又， ，因此投影向量为，B正确； 对于选项C：，，C正确； 对于选项D：与方向相同的单位向量为，又， 因此与向量方向相同的单位向量为，D正确. 10．BCD 【详解】圆台中，作出圆过点的直径，则四边形是等腰梯形，作于， 在中，由，得， 则， 对于A，圆台的表面积，故A错误； 对于B，圆台的体积，故B正确； 对于C，由P是下底面圆周上一动点，得点P到直线距离的最大值为2， 则的面积最大值为， 三棱锥体积的最大值为，故C正确； 对于D，连接，当与点都不重合时， 设，，则， 在中，由余弦定理得， 于是，所以， 求导得， 显然，则， 所以函数在上单调递增，， 当与重合时，， 当与重合时，，因此的最大值为6，D正确. 11．AD 【详解】选项A，设，则，即，， 图象最高点的纵坐标为，且在线段的中垂线上， 因此的横坐标为，即. 由，且，可知为等边三角形，边长. ，解得. 因此，，，，即. 由得，故A正确. 选项B，将代入，得， 由，解得，则. 由，可得函数的递增区间为. 当时，递增区间为，而属于相邻的递减区间， 因此并非全为递增区间，故B错误. 选项C，当时，，此时， 因此的值域为（时取到最大值），故C错误. 选项D，由，得，即. ，故D正确. 12． 【详解】由题意可知：，且， 则，，且，所以，. 13．/ 【详解】设BC边上的高为，则， 则三角形的面积，得， 在中，由正弦定理得：， 由余弦定理得， 则 ，因为，所以， 则，即时，取得最大值，此时. 14．2 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，，. 因为为圆心为的单位圆的一条动直径， 设，则， 所以，， 所以 ， 其中. 因为，所以， 所以当时，取得最大值， 最大值为. 15．【详解】（1）因为 平面，平面，平面， 所以 ， . 又因为底面为正方形，所以，，. 在 中，，，所以. 在 中，，，所以. 因为 平面，平面，所以 . 又，，平面， 所以平面. 因为平面，所以 ，即为直角三角形. 在 中，. 所以. 同理可证平面，从而 ，即为直角三角形. 在 中，. 所以. 底面正方形的面积 . 故四棱锥的表面积 . （2）因为 平面， 所以为四棱锥的高，且. 底面为正方形， 面积 . 所以四棱锥的体积. 16．【详解】（1）由函数的图像可知，函数的最大值为2， 因为，所以．观察图像，函数在处取得最大值，在处经过平衡位置且单调递增所以，解得.因为且，所以, 此时将点代入函数解析式，得， 所以，解得. 因为，令，得． 所以函数的解析式为． （2）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍， 得到函数的图像. 再将其图像向左平移个单位，得到函数的图像， 则 因为，所以． 由余弦函数的性质可知，当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减． 又因为，，且， 所以当，即时，取得最小值，最小值为． 若对任意的，都有恒成立，则，即． 所以实数的取值范围是． 17．(1)（ⅰ）方法一：由可知，平面平面， 已知，平面平面，平面， 故平面，又平面，因此； 方法二： 以为坐标原点，所在直线为轴，轴，过作垂直于平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系． 由已知条件可知,由二面角定义及可知，, 因为则, 所以，即； （ⅱ）取的中点，由，可知， 因为，所以平面平面， 又因为平面平面，平面， 所以平面． 连接，所以是直线与平面所成角， 由（ⅰ）可知是直角三角形，解得， 因为，所以; （2）方法1：取的中点，连接，由已知条件可知，故， 所以，所以点到平面的距离为， 三棱锥的体积：， 又因为三棱锥的体积， 所以，解得； 方法2：取的中点，连接， 所以且，则，, 所以点到平面的距离为， 因为到平面的距离是点到平面的距离的2倍， 所以到平面的距离； 方法3：取的中点，连接， 由已知条件可知，故，所以, 由，可得， 则， 设平面的法向量为， 由，得， 得法向量， 所以点到平面的距离. 18．【详解】（1）在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则，即. 令，得，，所以.由，得， 由，得，所以， 因为平面，所以，所以，解得. （2）因为，所以， 设平面的一个法向量，则，即. 令，得，，所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. （3）由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即， 解得. 19．【详解】（1）如图：    由，因为， 所以，由，得，又，则． （2）由余弦定理，，因为， 所以，又，所以，由，得，整理得． （3）    因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $