河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（14）--立体中的角与距离

**基本信息** 河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷，聚焦立体几何角与距离，通过多样化题型系统考查空间观念与推理运算能力，适配暑假自主学习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二面角范围、正四棱台体积、线面角正弦值|基础概念辨析，如第1题考查二面角取值范围| |多选题|3/18|正方体中角与距离、旋转体线线角|多角度辨析，如第11题结合旋转体考查线线角关系| |填空题|3/15|二面角正切值、庑殿顶模型距离|融入文化情境，如第14题以传统建筑模型考距离| |解答题|5/77|翻折问题、四棱锥二面角、动点线面角|综合应用，如第16题通过翻折考查面面垂直、线面角及点面距离，体现空间几何直观与推理能力|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（14） 范围：立体几何中的角与距离 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．二面角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A．2 B． C． D．1 5．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（    ） A．是直线与平面所成角 B．是二面角的一个平面角 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点A到平面的距离 7．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 8．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 10．已知正方体的棱长为1，则（     ） A．直线与所成角的正弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 11．已知a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，下列结论正确的是（    ） A．当直线与a成角时，与b成角 B．当直线与a成角时，与b成角 C．直线与a成时，与a所成角也为 D．直线与a所成角的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，点是的中点，二面角平面角的大小为，则的长为__________. 13．如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为______．   14．某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，已知正方体的棱长为，求：   (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 16．(本小题15分）如图1，在直角梯形ABFE中，，，，，，点C、D分别在线段BF、AE上，且.将四边形ABCD沿CD折起，使得二面角的大小为（如图2）. (1)证明：平面平面CDEF； (2)求直线AC与平面CDEF所成的角的正弦值； (3)记平面BCF与平面AEF的交线为l，直线l与平面ABCD的交点为G，求点G到平面CDEF的距离. 17．(本小题15分）如图，在长方体中，，，点E在棱上移动. (1)证明：平面； (2)当为的中点时，求点到平面的距离； (3)当二面角的正切值为时，求的值. 18．(本小题17分）如图，已知四棱锥，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，，E，F分别是BC，PC的中点． （1）证明：平面PAD； （2）求直线BC和平面PAD的距离； （3）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值． 19．(本小题17分）如图，已知菱形的边长为，，平面外一点在平面内的射影是与的交点，是等边三角形．   (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D A B B A BCD BC 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】根据二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 当两个半平面完全重合时，二面角的大小为；当两个半平面共面且朝向相反时，二面角的大小为；其余情形下二面角的大小介于和之间，因此二面角的取值范围是． 2．D 【详解】如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为，连接，则平面， 取的中点，连接，易知，且， 过作交于，则平面，又平面，则，故可得平面，则，则为侧面与底面所成的二面角的平面角，则，又，则，， 由，得到，即，又， 所以四棱台的体积为. 3．B 【详解】过作于，根据正三棱柱的结构特征知底面，且为等边三角形. 所以直线与平面所成角是，而， 显然，要使最大，只需最大，即最小，在中，故，此时最大，所以，此时.故选：B 4．D 【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面，到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得: ,解得: 5．A 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 6．B 【详解】对于AD，由于平面，所以是直线与平面所成角，线段的长是点到平面的距离，故AD正确， 对于B，平面，平面,所以,又， 平面，所以平面， 平面,故,又，平面,平面, 故是二面角的一个平面角，故B错误， 对于C，由于，所以线段的长是点A到直线的距离，C正确,故选：B 7．B 【详解】连接，交于点，连接，则为的中点. 因为平面，平面，所以. 所以，所以.所以， 所以的面积为. 因为平面，，所以. 设到平面的距离为，由，得. 8．A 【详解】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，， 如图，设和的中心分别为，连接，，， 则平面，，， 作平面交平面于点，则即为直线与平面所成的角， 由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形， 所以，又，所以， 则棱台的体积为. 9．BCD 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错； 由，且平面，平面，则，故，B对； 由平面，平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成角为，且，故，C对； 由平面，则与平面所成角为，D对. 故选：BCD 10．BC 【详解】 由正方体的结构特征及性质易得，且，故， 显然直线与所成角的正弦值不为，A错； 由正方体的结构特征及性质易得，即为等边三角形， 所以点到直线的距离为，C对； 同上易得为正四面体，且棱长为， 所以点到平面的距离为，D错； 直线与平面所成角的正弦值为，B对. 故选：BC 11．ACD 【详解】由题意，直线两两垂直，故可画出正方体如图. 设正方体棱长为1，则，斜边以直线为旋转轴， 则点保持不变，点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，直线的单位方向向量为，则， 直线的单位方向向量为，则. 设点在运动过程中对应的点，其中为与的夹角，， 则，则，设与所成的角为， 则，故得，故D正确； 设与所成的角为，则， 当与所称的夹角为时，，则， 则，于是，，因，故， 即与所称的夹角为，故A正确，B错误； 对于D，直线与a成时，点可与点重合，此时，因直线平面， 平面，则，即与a所成角也为，故C正确. 故选：ACD. 12．1 【详解】 取的中点，连接，因为为正三角形，所以， 又侧面是正方形，点是的中点， 所以，即为二面角的平面角，且大小为， 所以，由余弦定理可得，解得.故答案为：1. 13．2 【详解】如图，在平面PAD内，过点P作，垂足为E， 因为平面平面ABC，又平面平面，平面PAD， 所以平面ABC，又因为平面ABC， 所以，因为，即，又，PD，平面PAD， 所以平面PAD，又因为平面PAD，所以， 又因为，所以为二面角的平面角， 因为三棱锥的体积，解得， 由勾股定理可得， 所以二面角的正切值为．故答案为：．    14． 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 15．【详解】（1）由正方体性质可得，平面，平面， 所以，垂足为，所以点到直线的距离为，又 所以点到直线的距离为；    （2）由正方体性质可得平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又，所以点到平面的距离为， （3）由正方体性质可得，平面平面， 又平面，所以平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面，垂足为，所以点到平面的距离为，又， 故到平面的距离为， （4）由正方体性质可得平面平面， 所以平面到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，垂足为，所以点到平面的距离为，又， 所以平面到平面距离为. 16．(1)证明: 在图1中，，，，∴四边形ABCD为矩形，∴图2中， ，且平面ADE，平面ADE， ∵平面CDEF，∴平面平面CDEF. （2）过点A作，垂足为M，连接CM，由（1）得平面平面CDEF， ∵平面平面，平面ADE， 平面CDEF，则为AC与平面CDEF所成角，又∵， 是二面角的平面角，即，在中，， 又∵，，∴在中，， ∴直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为 （3）延长FE、CD交于点H，连接AH，并延长HA，CB交于点G， 则FG为平面BCF与平面AEF的交线，即G为l与平面ABCD的交点， 且，∴D为CH的中点，， ，∴A为HG的中点， ∴点G到平面CDEF的距离为点A到平面CDEF距离的2倍， ∴点G到平面CDEF的距离为. 17．(1)在长方体中，有平面， 又平面，， 又， 四边形为正方形，， 又，，平面， 平面. （2）设点到平面的距离为，在中，，， 故，而， 又，，，即点到平面的距离为. （3）过作于，连， 由平面，得，且， 可得平面，则，为二面角的平面角， 设，，则， 由，得， ，解得， 此时，得，即当二面角的正切值为时，. 18．（1）证明：由四边形ABCD为菱形，， 可得为正三角形． 因为E为BC的中点，所以． 又，因此． 因为平面ABCD，平面ABCD，所以． 而平面PAD，平面PAD且， 所以平面PAD； （2）由（1）知平面PAD．所以EA即为直线BC和平面PAD的距离， 在中，； （3）H为PD上任意一点，连接AH，EH．由（1）知平面PAD， 则为EH与平面PAD所成的角．在中，， 所以当AH最短时，最大，即当时，最大． 此时，因此又， 所以，所以．因为平面ABCD，平面PAC， 所以平面平面ABCD．过E作于O，则平面PAC， 过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角， 在中，，． 又F是PC的中点，在中，， 又，在中，． 即所求二面角的余弦值为． 19．(1)∵在菱形中，，∴，且在平面内的射影是点， ∴平面，∵平面，∴， ∵，平面，∴平面. （2）由题意可得：与都是边长为的等边三角形， 所以，，， ∴，    过点作，垂足为，因为，所以为的中点， ∴，∴， 设点到平面的距离为，则由，则 ∴，解得. ∴点到平面的距离为； （3）设直线与平面所成的角为， ∵，平面，平面，∴平面， ∴点到平面的距离，即为点到平面的距离， 过点作平面交平面于点，则.    此时，要使最大，则需使最小，此时， 由题意可知：，∴与全等， ∴，∴， ∴，∴， 即直线与平面所成角的正弦的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $