精品解析：北京市第一○一中学温泉校区2025-2026学年高三下学期考前自测数学试题

北京一零一中温泉校区2025-2026学年度高三三模 高三数学 2026.05 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题得. 2. 如果复数为纯虚数，那么实数的值为. A. －2 B. 1 C. 2 D. 1或 －2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 考点：复数相关概念 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对A，根据幂函数性质知在上单调递增，故A正确； 对B，，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C，，根据指数函数性质知其在上单调递减，故C错误； 对D，因为可化为，函数在上单调递减，则在上单调递减. 4. 设，都是不等于的正数，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B. 考点：命题与逻辑. 5. 已知圆，直线过，若被圆所截得的弦长最小值为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析题意，利用圆基本定义与直线关系，又可知，M必在圆O的内部，故可知O到直线l的最大距离. 【详解】易知，直线l与y轴交点的坐标为，圆C的圆心坐标为,半径为2.记由题意可知点M必在圆O的内部，且直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2时，O到直线l的最大距离为，则. 故选：B 6. 过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 3条 D. 6条 【答案】B 【解析】 【分析】先考虑斜率不存在的情况弦长的值；再考虑斜率存在时，联立方程，根据斜率的取值情况判断有几种情况． 【详解】斜率不存在时：，与双曲线交于一点，不满足题意； 斜率必然存在，设直线方程，，； 联立方程：可得：； 则，即， 且恒成立； 即，； 则； 两边平方可得：，即； 解得或；则的取值为四个， 故满足题意的直线有４条． 7. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解. 【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得  即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误. 8. 已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥，当平面平面时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面角的做法，作出角，构造三角形，在三角形中解三角形计算夹角． 【详解】 取AC的中点O，连接BO，，取中点M，连接AM，CM； 因为为菱形且，故与均为等边三角形； 变换之后与为等边三角形； 因为O为AC中点，故，； 故二面角的平面角为； 其中； 在中，由余弦定理可知： ； 根据原图可知，故，； 因为，故，故； 因为平面平面，故； 则在中，； 则；故； 代入计算可得：； 二面角的余弦值为． 9. 在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法性质分析可得，可知点在平行四边形的中位线上，即可得结果. 【详解】因为，即， 设线段的中点分别为， 可得，即， 设线段的中点为，可得，即， 可知点在线段上，且， 可知点在平行四边形的中位线上，所以. 10. 对于，，则下列结论中正确的有几个．（ ） ①若，，则存在且唯一； ②若的周长为，则的最大值为； ③若的面积为，则的最大值为； ④若的面积为，则的取值范围是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可判断；对于②：可得，利用基本不等式分析判断；对于③④：可知边上的高为，建立平面直角坐标系，设，可得，，进而分析判断. 【详解】对于①：由余弦定理可得， 即，整理可得，解得， 所以不唯一，故①错误； 对于②：若的周长为，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故②正确； 对于③④：若的面积为，则边上的高为， 以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，设， 可得，， 则， 当趋近于时，趋近于， 可知无最大值，即无最大值，故③错误； 因为， 若，则； 若，则， 由对勾函数可知，即， 则，可得； 综上所述：，即，故④正确； 综上所述：正确的有2个. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中的系数为________． 【答案】5 【解析】 【详解】的展开式中含项为， 所以所求系数为5. 12. 若函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，进而可得，然后利用图像解不等式即可 【详解】函数的图像如图中的“实线”所示. 从而的图像如图中的“实线”所示，为解不等式，需观察图像，易解得与的交点为和. 故不等式的解集为，即. 故答案为： 13. 在中，若，是的平分线，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理得到，结合同角的三角函数关系及二倍角公式求出及，结合三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得，. 设，则，，解得，，. 由余弦定理得， 又，则. 所以，解得. 因为是的平分线，所以，， 所以， 又，所以. 又， 所以，即， 解得. 14. 已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】 【详解】 设，满足. 因为，， 所以，， 时，所以. 时 ，， 等号当且仅当时取到，所以. 15. 数列满足，则以下说法正确的是________． ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则，，有． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据递推关系依次判断即可. 【详解】对于①，若，则， 则，，，，， 代入，依次求解得，， ，，，故①正确； 对于②，若，则， 则，得， ，得， ，得， ，得， 则，故②正确. 对于③，若，， 当为偶数时，，得， ，得， ，得， ，得， 所以，所以，即， 由于，，，得， 所以，故③正确； 对于④，若，， 当为奇数时，，，两式相减得， 即，取，则，，即奇数项为或， 当为偶数时，，，两式相加得， 即， 取，则， ，，即偶数项单调递增且， 因此，当时，数列各项与3的距离的最小值为1，故可取，此时对任意 ，均有， 所以不存在m满足，故④错误； 综上所述，说法正确的是①②③. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 若选择条件①：则不存在；选择条件②③：，； 证明：因，当时，， 则当时，取最大值，故. 【解析】 【分析】（1）化简函数为，进而求得的值； （2）先化简得到，根据题意，分别选择①②，②③和①③，结合三角函数的图象与性质，列出方程求解，即可得到答案. 【小问1详解】 解：若，可得， 所以. 【小问2详解】 由 ， 若选择条件①： 由，可得，所以，因为，可得不存在； 故只能选择条件②③： 由，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以， 此时， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，可得； 所以，当时，， 时，取最大值， 所以，. 17. 某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立. （1）求甲得分不低于分的概率； （2）求乙得分的分布列及期望： （3）甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由. 【答案】（1）； （2） ，期望； （3） 甲胜出的可能性更大，理由如下： 甲获胜的情况有： ①甲分、乙分，②甲分、乙分，③甲分、乙分，④甲分、乙分， 所以甲获胜的概率为： ， 乙获胜的情况有： ①甲分、乙分，②甲分、乙分，③乙分，④乙分， 所以乙获胜的概率为， 因为， 所以甲获胜的可能性更大. 【解析】 【分析】（1）计算出及的概率，求和即可得； （2）写出的可能取值后计算对应的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望； （3）分别计算出甲获胜的概率与乙获胜的概率，比较大小即可得解. 【小问1详解】 设甲选择方式一参加比赛的得分为， ， ， 设甲得分不低于分为事件， 则； 【小问2详解】 设乙选择方式二参加比赛得分为，的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以； 【小问3详解】 略 18. 如图所示，在多面体中，为平面六边形，平面平面，平面⊥平面，，，与都是边长为2的等边三角形， ，，，， M，N，K分别为的中点． （1）求证：平面； （2）棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为与均为等边三角形，且M，K分别为中点， 所以， 又平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理平面，所以； 又平面，平面，所以平面， 而平面平面，所以， 又平面，所以平面 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的计算公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过E作于T，因为，，，，， 所以,,, 所以是等腰直角三角形， ，同理可得，所以， 又M，N，K 分别为中点，所以所以 由（1）知平面，所以， 即两两垂直，故以N为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 则，，，，， ， 所以， 设平面的法向量为，则， 不妨取，设，， 则， 因为与平面成角， 所以， 解得，所以存在点P，使得与平面成角，此时． 19. 已知椭圆:的上、下焦点分别为，，右顶点为，为锐角三角形且面积为． （1）求椭圆的离心率． （2）过的直线交椭圆于，两点（在的左侧），点和点分别在直线两侧，且面积与的面积相等． （ⅰ）求直线的斜率并求的长； （ⅱ）若，求椭圆的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）直线的斜率为，的长为；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式求出，得到，进而得到，关系，代入离心率公式求解即可； （2）（ⅰ）由得到点和点到直线的距离相等，结合点和点分别在直线两侧，直线过的中点，计算的斜率；设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据弦长公式，结合韦达定理求解即可； （ⅱ）由垂直平分，结合椭圆定义转化得，进而求出，，即可求得椭圆方程. 【小问1详解】 因为， 所以， 又为锐角三角形，所以，即为等边三角形， 所以，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，所以. 因为，所以点和点到直线的距离相等， 又点和点分别在直线两侧，所以直线过的中点， 所以. 则直线的方程为， 与椭圆方程联立，整理得， ， 设，，则，， 所以. 故直线的斜率为，的长为. （ⅱ）由（ⅰ）知，垂直平分，故， 所以， 所以，所以，， 故椭圆的方程为. 20. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的极值； （3）已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）时，无极值；时，的极大值为，无极小值； （3） 【解析】 【分析】（1）求出，由点斜式求切线方程； （2）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （3）由于，，利用导数证得，，故由零点存在定理有零点，由三角形性质可比较. 【小问1详解】 当时，，则， 又， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； 【小问3详解】 由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（2）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设， 此外， 则，记， 则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 21. 已知为正整数，，若数列同时满足： ① 对任意，均有； ② 对任意，均有 ； ③ 对任意，均有 ， 则称该数列为数列． （1）若数列是数列，直接写出的所有可能值； （2）若数列是数列，求的最大值； （3）若数列是数列，求的最小值． 【答案】（1）； （2）6； （3）2. 【解析】 【分析】（1）根据定义列举所有情况，再验证即可； （2）分和讨论即可； （3）首先讨论的情况，再假设存在，进行分类讨论，最后构造符合题意的数列即可. 【小问1详解】 . 理由：由题意得， 对条件①，对任意的，均有； 对条件②，对任意的，均有， 即，，， 对条件③，对任意，均有， 若数列是数列，根据条件①知， 根据条件②知， 当时，经验证符合条件③，此时， 当时，因为，则，不合题意，舍去； 当时，经验证符合条件③，此时， 当时，经验证符合条件③，此时， 综上所述的所有可能值为. 【小问2详解】 设，由①，， ．1,2,3,4,2,1是6⊕4数列， 所以符合题意． ．当时，由②，设或． （a）当时， 由②，，故由③，，与②矛盾． （b）当时，由②，或。 若，由③，，与①矛盾． 若，由②③，，与①矛盾． 综上，的最大值为6． 【小问3详解】 若满足③，则删除若干项仍满足③． 依题意，． ．当时，假若，设， 设，则由②，，由①②，无解，矛盾． 所以． ．假设存在，使得，设满足此条件的最小的为．由知，. 若存在数列，则． 不妨设中，出现的次数最少，设出现了次． 1.当时，则为数列，矛盾． 2.当时，设， （a）当或时，去掉这一项得数列，矛盾． （b）当时，去掉前两项得数列，矛盾． （c）当时，去掉后两项得数列，矛盾． （d）当时，记原数列为． 若且，去掉这一项得数列，矛盾． 若且，去掉,这两项得数列，矛盾． 若且，去掉,这两项得数列，矛盾． 若且，与（2）矛盾． 3．当时，中，均至少出现2次． 由②，前两个1之间必有其它数，不妨设为2． 由③，所有的2均在这两个1之间． 同理，不妨设所有的3全在前两个2之间，所有的4全在前两个3之间，⋯ 这与矛盾． 4．综上，假设不成立，必有． ．构造：1,2,3,1为数列，此时． ．综上，的最小值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中温泉校区2025-2026学年度高三三模 高三数学 2026.05 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数为纯虚数，那么实数的值为. A. －2 B. 1 C. 2 D. 1或 －2 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，都是不等于的正数，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆，直线过，若被圆所截得的弦长最小值为2，则（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 3条 D. 6条 7. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥，当平面平面时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于，，则下列结论中正确的有几个．（ ） ①若，，则存在且唯一； ②若的周长为，则的最大值为； ③若的面积为，则的最大值为； ④若的面积为，则的取值范围是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中的系数为________． 12. 若函数，则不等式的解集为___________. 13. 在中，若，是的平分线，，则的长为______． 14. 已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 15. 数列满足，则以下说法正确的是________． ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则，，有． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立. （1）求甲得分不低于分的概率； （2）求乙得分的分布列及期望： （3）甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由. 18. 如图所示，在多面体中，为平面六边形，平面平面，平面⊥平面，，，与都是边长为2的等边三角形， ，，，， M，N，K分别为的中点． （1）求证：平面； （2）棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆:的上、下焦点分别为，，右顶点为，为锐角三角形且面积为． （1）求椭圆的离心率． （2）过的直线交椭圆于，两点（在的左侧），点和点分别在直线两侧，且面积与的面积相等． （ⅰ）求直线的斜率并求的长； （ⅱ）若，求椭圆的方程． 20. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的极值； （3）已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 21. 已知为正整数，，若数列同时满足： ① 对任意，均有； ② 对任意，均有 ； ③ 对任意，均有 ， 则称该数列为数列． （1）若数列是数列，直接写出的所有可能值； （2）若数列是数列，求的最大值； （3）若数列是数列，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $