北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

2026北京牛栏山一中高三（上)开学考 数 学 2026.8 (时间120分钟满分150分) 本试卷分为选择题（共40分)和非选择题（共110分)两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合A={x∈R3x+2>0},B={x∈R(x+1)(x-3)>0,则A∩B=() A.(-0,-1) B.（- c（ D.(3,+0) 2.设a=1og30.4,b=log43,c=304,则() A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 函数f)的定义域为R当x<0时，f)=x-1:当-1≤x≤1时，f)=-f):当 f+=f-之.则6)= A.-2 B.-1 C.0 D.2 4.定义在(-n,+o)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数8(x)和一个偶函数h(x)之和，如果 f(x)=lg10*+1),x∈(n,+∞)，那么() A.8(x)=x,x)=lg(10*+10+2 B.g6)=2[g10+1)+x],)=2[g10+1)-x] c.8g6)-交c)-le1o+1)-月 D.8)=-克hM)=B10+1+ 5.设x为实数，则“x<0是“x+≤-2”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 第1页/共11页 7.按照“碳达峰，“碳中和的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动 汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄 电池的容量C(单位：Ah),放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式： C=I",t,其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下，当放 电电流I=20A时，放电时间t=20h;当放电电流I=30A时，放电时间t=10h.则该蓄电池的Peukert常数 n大约为()（参考数据：lg2≈0.30,1g3≈0.48） A B. C. D.2 8.我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞 骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈 D已滑动到D'的位置，且A、B、D'三点共线，AD'=40cm,B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全 收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm,则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是() A B(C) D D' P (1) (2) 25 B.、4V2i 25 5 D. 25 9.已知定义在R上的函数y=f(x)满足：函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且当x∈(-n,0) 时，f(x)+f'(x)<0成立('(x)是函数f(x)的导函数)，若a= c=2f1o8:4 则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b 10.已知函数f(x)= x2+(4a-3)x+3a,x<0, ,(a>0,且a≠1)在(-w,+w)上单调递减，且函数 1og(x+1)+1,x≥0 8(x)=f(x)+x-2恰好有两个零点，则a的取值范围是() a骨居骨c.(引 第二部分（非选择题 共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 11.已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球.若从这8个球中随机选取一球， 第2页/共11页 该球是白球的概率是；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白 球的概率是 12.若(-2)4=a4x4+a3x3+a2x2+ax+a,则= 4+4-= +4+a4 13.能使命题若sn2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形”为假命题的一组A,B的值是 14. 已知函数f(x)= x+,x≤ x,x >n ①函数f(x)的零点个数为 ②若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则实数m的取值范围是」 15.已知函数fx)=√3-x,给出下列四个结论： ①函数f(x)是奇函数： ②k∈R,且k≠0，关于x的方程f(x)-=0恰有两个不相等的实数根： ③已知P是曲线y=f()上任意一点，A2 1 ,0, 则AP≥2 ④设M(6,)为曲线y=f(x)上一点，N(x2,y)为曲线y=-f(x)上一点若：1+x=1,则MW≥1 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.在△ABC中，6-10，ces.1-0 10 (I)求证：△ABC为等腰三角形： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求b的值. 条件回：B=君 条件®：△ABC的面积为5 条件③：AB边上的高为3. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第 一个解答计分。 17.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国'理念的普及.下图是我国2006年至2016年体 育产业年增加值及年增速图.其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长 率(%). 第3页/共11页 7000.0 30% 6475 40.0% 6000.0 35.0% 30.9% 5494.4 5000.0 30.0% 25.0% 25.0% 4000.0 25.0% 4041 3136 1739% -20.0% 3000.0 2740 2100 2220 15.0% 2000.0 559 1265 10.0% 983 1000.0 5.0% 5.0% 0.0 20062007200820092010201120122013201420152016 0.0% 口体育产业增加值 口-体育产业年增长率(%) (I)从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿 元以上的概率； (Ⅱ)从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X 的分布列与数学期望： (Ⅲ)由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年 增加值方差最大？（结论不要求证明） 18.设函数f(x)=sin(ox+p) 若f(x)在区间 不上具有单调，且仔四 =0.再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使函数∫(x)存在. (1)求f(x)的解析式： (2)求函数f(x)在[-兀，0]上的最大值和最小值。 条件①： +写到为寺函：条件@：f0)=:条件®：〔仔f[+ 19.已知函数f(x)=e“(x-1)2 (1)若a=1,求(x)在(0，f(0)处切线方程： (2)求f(x)的极大值与极小值： (3)证明：存在实数M,当a>0时，函数y=f(x)-M有三个零点 20.己知函数fx)=e“+x-x+x+b,且曲线y=f冈)在x=0处与x轴相切. 3 2 (1)求a,b的值： (2)令g(x)=f'(x),证明函数g(x)在(0，+∞)上单调递增： (3)求f(x)的极值点个数， 21.记M表示有穷集合M的元素个数.己知m,是正整数，集合S={红，2，，m}.若集合序列 第4页/共11页 Q:A,A,…,A满足下列三个性质，则称9是“平衡序列”： ①A4≥2，其中k=1,2,…,m: ②A8,其中k=1,2,…,m: ③对于s中的任意两个不同元素i,j,都存在唯一的k∈1,2，…，m心，使得{i,}二A. (①)设m==5,判断下列两个集合序列是否是“平衡序列？（结论不要求证明） 9:1,2},1,3,4,5,{2,3}{2,4{2,5} 92:{12,3},{1,4,5},{2,4,{3,4,{3,5} (2)已知n≥3且集合序列Q:A,A,…,A是“平衡序列”，对于i=1,2,,n,定义：B={i∈A,k=1,2,…,m以 证明： (i)当1A时，B≥4： (ii)m≥n, 第5页/共11页 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D C C B B A A A 11. 110.5 > 2 15 40 12. 16 41 13.A=60°，B=30°（不唯一） 14. (0,2)U(-0,-2) 15.②③④ 16.1)在△1BC中，由名D,可得6=0。 s a 则由cosA= v1 10 可得d-d-20 5 10 即(a-c)3a+5c)=0,故有c=a 故△ABC为等腰三角形， (2)选择条件①：∠B=时，由(1)知c=a,则有A=∠C= 6 12 此时cosA=co cos(g3=6-20 5π °12 64 410 与已知矛盾，三角形无解不能选： 选择条件@：△ABC的面积为5时， 2 由cosA=D得，mB=in红-20=2 sin0 csA=2x3cx0-3 10 10105 ,解得a=5,c=5,b=√0 三角形存在且唯一，可选。 选择条件③：AB边上的高为3 由cosA-=D得，inB=sima-2A=2 2sin Acos-2×3i0xi0_3 10 10105 3 可得a=simB3 =5 ,则有c=5,b=√10 三角形存在且唯一，可选。 综上可知：选择条件②时，三角形存在且唯一，b=√10 第6页/共11页 选择条件③时，三角形存在且唯一，b=√0 17.(I)设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年 增加值多500亿元以上”. 由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故a品子 (Ⅱ)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，且 P(X=0)= Cho6:P(Y-1)-Cic2_1 c-1: C2 P(X=2)= Cc6_3 ci0:PK=3) C品30 所以X的分布列为： 0 1 2 3 3 1 6 2 10 30 故X的期望(=0×+1×5+2x3+3×-6 6 21 10 3051 (Ⅲ)从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大.从2014年开始连续三年的体育产 业年增加值方差最大， 18.(1)设f)=sim(ax+p)(a>0,p<5的最小正周期为T, )1 ~)在区间写上具有单调性， -之-，解得0<≤ 3 20 33 ~f+f国=0，f)在区间子，对上单调， 六己。-停=0：即)的图象关于爱，0成中心对称，1 若选条件①：(+孕为奇函数，则f)的图象关于，0)成中心对称， 因为5π亚”<亚≤，这是不可能的，故条件O不成立： 63232 若选条件@：0=f刘， 2-0= 2πT 321 则f)的图象关于直线x=对称，(2) 3 由(D(2。得x-号和（音，心为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心， 第7页/共11页 :Tm元元 4632’ T=2π-2元，0=1， 骨+9=a+经e, o=a+ke2),又pk 6 2 0君=m+7, 若选条件国：f兮)=G+,则f)的图象关于直线x-对称， 3 由(1)(2)，得x-号和产，0为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心， 3 .T_5元π_π 46321 T=2弧=2π， ∴.0=1， tk(ke2); 0=a+ez,又pk 6 ps 6 f6)=sine+马. 6 5 2)x0,士sX+<匹当x+生，即x三时，四m 6 66 6 当x+名吾即x=0时以月 1 19.(1)当a=1时，f(x)=e(x-1)2,f'(x)=e*(x2-1), 所以k=f'(0)=e(02-1)=-1, 又f(0)=e(0-1)2=1, 所以切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0 (2)f'(x)=aer(x-1)2+2e(x-1)=e"(x-1)(ar-a+2), 当a=0时，f'(x)=2(x-1)=0,解得x=1, 故x<1时，'"(x)<0,f(x)单调递减：x>1时，"()>0，f(x)单调递增， 故x=1时，f(x)的极小值为fI)=0,无极大值： 第8页/共11页 当a>0时，令)=0，解得%=1,4=1-2， 故当x<1-2或x>1时，f)>0,f)单调递增， Q 当1-2<x<1时，f')<0,f)单调递减， 故f的极大值为f0-召=e2-4e2, ，极小值为f)=0: a a 当a<0时，令f)=0,解得=1，名，=1-2 故当x<1或x>1-2时，闭<0，)单调递减， 当1<x<1-2时，了)>0，f)单调递增， 故/)的极大值为f0-召=c2-4e, ,极小值为f1)=0: a a a- 综上，当a=0时，f)的极小值为f0=0,无极大值：当a≠0时，f心)的极大值为f0-3=4e d, 极小值为f(1)=0 3)当a>0时，由(2)知，四在(0.L和L+m上单调递增 在Q-2,)上单调递减，且x<1时，fx)=e“(x-1>0恒成立， a x→+0时，f(x)=e(x-1)2→+0， 又伯极大位为0-月-g,极小指为0=0， 所以存在实数0<M< 4e8-2 时，函数y=f)-M有三个零点 20.(1)f'(x)=ae+x2-x+1, 由题意可知x=0是∫(x)在x=0处的切线方程， 所以f'(0)=a+1=0且f(0)=1+b=0,故a=-1,b=-1 (2)由(1)知a=-1,b=-1,所以8(x)=f(x)=-e+x2-x+1, 所以8'(x)=e"+2x-1, 令h(x)=g(x)=ex+2x-1,(x)=-ex+2, 当x>-ln2,1(x)>0,h(x)单调递增，当x<-ln2,(x)<0,h(x)单调递减， 第9页/共11页 因此h(x)=g'(x)在(0，+o)单调递增，故g'(x)>g'(0)=0, 所以函数8(x)在(0，+o)上单调递增 (3)由(2)知：当x>-n2,g'(x)单调递增，当x<-ln2,g'(x)单调递减， 所以当x=-n2时，g(x)取最小值，且g'(0)=0,g(-2)=e2-5>0,g'(-1)=e-3<0,故存在 x∈(-2，-1)，使得g'(x)=0, 因此当x>0和x<,8'(x)>0,当<x<0,8'(x)<0, 因此f'(x)=g(x)在(0，+0)上单调递增，在(-，)上单调递增，在(，0)时单调递减， 由于f'(-3)=-e+9+3+1=13-e3<13-2.7<0,f"(0)=0, 因此存在x'∈(-3,0)使得f”()=0, 故当x<x'时，f”(x)<0,此时f(x)单调递减，当x'<x时，f'(x)≥0，f(x)单调递增， 故f(x)在x='时取极小值， 故f(x)有1个极值点 21.(1)只是平衡的，22不是平衡的. 理由：S={1,2,,5}, 2:1,2},(1,3,4,5),{2,3}{2,4},{2,5},4=2A=44=244=24=2,满足4≥2， 显然A$,且对于s中的任意两个不同元素i,j, 1,2,1,3}1,4}1,5},{2,3},2,4号{2,5}3,43,5}{4,5}， 都存在唯一的k∈L,2,…,m,使得{，}≤A. 故Q1是平衡的， 92:{1,2,3},{1,4,5},{2,4},{3,4},{3,5}, {2,5}并不是A的子集，故Q2不是平衡的. (2)(i)当1A时，对于A中的每个元素j,考虑1，》. 由③知存在唯一的飞，≠1，满足L,j}三A,则k,∈B. 将每一个j∈A对应到k,∈B, 第10页/共11页 若j≠'，就有k,≠k,否则{j,}二A且{j,}二A,与③矛盾. 所以A≤B. (ii)对A,A,,A中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次)， 一方面总个数就是A+A+…+Am, 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是B,+B+…+B, 所以4+4+…+A=|B+B+…+B,.(*) 不妨设B,B,,B,中最小的（之一）为B, 且Bn={1,2,,t},由②③知1<t<n. 再不妨设5∈A(5=1,2…,t) 由(i)的证明方法可证：当iA,时，B≥A, 由③知5EA+1(=1,2,…,t-1),tEA, 所以A≤Bs=12,…,t-1),4≤B|, 又因为nEA,A+2,,An,所以A+A+,,An都不大于Bn, 全部相加得A+A+…+A≤B+B+…+B,+(-t)B,nI, 由B的最小性知B+B,+…+Bn≥B+B2+…+B+(-t)Bn,， 结合（火）可得 B+B+…+B+(m-t)B2B+B+…+B+0n-)B, 所以m≥n. 第11页/共11页