26.1 二次函数的概念 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数概念，通过正方体表面积、球队比赛场数、产量增长等实际问题导入，前置补偿复习函数与一次函数，搭建从一次函数到二次函数的知识迁移支架，引导学生理解概念及一般形式。 以情境化问题驱动学习，小组互查质疑促进合作探究，分层作业满足不同需求，易错警示强化关键要点。通过实际情境抽象函数关系培养数学眼光，合作讨论核心条件发展推理意识，实际问题列解析式提升模型意识，助力学生自主构建知识体系。

26.1 二次函数的概念 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 结合课本实际问题情境，理解二次函数的意义，掌握二次函数的定义。 2. 掌握二次函数一般形式 y=ax²+bx+c (a≠0)，能准确找出二次项、一次项、常数项以及对应系数。 3. 能够判断一个函数是否为二次函数；会利用定义求解含参数问题中字母的值。 4. 能根据课本实际情境列出二次函数解析式，会确定实际问题自变量的取值范围。 学习重点：二次函数概念，识别二次函数各项与系数。 学习难点：理解 a≠0 这个必要条件；实际问题自变量取值范围；含参数二次函数的求值。 【前置补偿】 1. 什么叫函数？ 2. 一次函数的一般形式是什么？ 3. 一次函数表达式中，不能等于 0系数的原因？ 【学生自学】 （阅读课本 26.1 二次函数的概念） 1、 情境引入 问题 1：正方体的棱长为 x，表面积为 y，写出 y 与 x 函数关系式。 问题 2：n 支球队进行单循环比赛，每两队比赛一场，写出比赛总场数 m 和球队数 n 的关系式。 问题 3：某种产品现在年产量 20t，计划今后两年增产，如果每年产量比上一年增加 x 倍，写出两年之后产量 y 关于 x 的函数关系式。 观察上面三个函数，自变量的最高次数是____。 【小组互查质疑】 小组交换导学案互相检查： ①所列函数关系式列式是否正确； ②是否注意实际问题自变量的限制条件； ③能不能看出自变量最高次数。 把本组发现错误点写下来： 2、 知识点学习 二次函数定义： 一般地，形如________________________（a、b、c 为常数，________）的函数叫做二次函数。 x 是自变量，____是二次项，二次项系数；____是一次项，一次项系数；____是常数项。 思考： ①a 为什么不能等于 0？b、c 能不能等于 0？ ②b=0，c≠0 时，函数表达式为____________，是不是二次函数？________ b≠0，c=0 时，函数表达式为____________，是不是二次函数？________ b=0，c=0 时，函数表达式为____________，是不是二次函数？________ 温馨提示：实际问题的二次函数： 列出函数关系式后，必须结合现实确定________________。 3、 例题自学 例 1 判断下列函数是不是二次函数，如果是，请写出二次项系数、一次项系数、常数项；不是请说明理由。 (1) y=3x²−2x−4 (2) y=2x(x−5) (3) y=5x−3 (4) y=2+1/x² 例 2一个圆柱的高等于底面半径 r，写出表面积 S 关于半径 r 的函数解析式。 例 3 已知函数 y=(m−3) x^{m²8}+2x1 是二次函数，求 m 的值。 分析：要同时满足两个条件： ①自变量最高次数等于________；②二次项系数____________。 四、自学小测 1. 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) y=x²+x (2) y=2x²−x−1 (3) y=−x²+3 2. 下列函数中，哪些是二次函数？ (1) y=5x+1；(2) y=4x²−1；(3) y=2x (1−x)；(4) y=3x²−1/x。 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 判断二次函数，要抓住哪两个核心条件？ 2. b 或者 c 等于 0，为什么仍然属于二次函数？ 3. 实际问题写二次函数解析式，为什么一定要写自变量取值范围？举课本情境例子。 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1. 判断二次函数，首先化为整式一般形式，a≠0 是必不可少条件，b、c 可以为 0。 2. 解析式含有分式、自变量在根号内，一定不是二次函数。 3. 含参数题型，必须同时满足：次数等于 2，并且二次项系数不等于 0，两个条件缺一不可。 4. 实际问题中代表长度、数量的自变量，不能取负数，要写明取值范围。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 二次函数一般形式：y=ax²+bx+c（a,b,c 常数，a≠0）。 2. a≠0 是二次函数的必要条件；b、c 可以为 0。 3. 判断二次函数：整式、自变量最高次数 2，二次项系数不为 0。 4. 实际应用：写出解析式，同时确定自变量实际取值范围。 【课内自测】【课本习题 26.1 原题改编】 1. 函数 y=−2x²+5x，写出二次项系数、一次项系数、常数项。 2. 若函数 y=(k+2) x^{k²2} 是二次函数，求 k 的值。 3. 一个矩形的长是宽的 1.5 倍，设宽为 x，面积为 S，写出 S 关于 x 的函数关系式，写出自变量取值范围。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 某商场一月份的销售额为 50 万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为 x，写出三月份的销售额 y（单位：万元）关于 x 的函数解析式。 2. 设人民币一年期定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存。如果本金是 30000 元，写出两年后的本息之和 y（单位：元）关于年利率 x 的函数解析式。 B 组【能力提升・选做】 3. 一面圆形的镜子，其周边镶有宽为 5 cm 的边框。已知镜面的价格是每平方米 180 元，边框的价格是每平方米 100 元，求这面镜子的价格 y（单位：元）关于镜子半径 x（单位：m）的函数解析式。 4. n 个球队参加比赛，每两队之间进行两场比赛，写出比赛总场数 W 和球队数 n 之间的函数关系式，并写出自变量取值范围。 C 组【拓广探索・培优】 5. 钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加 1.5 m/s。 (1) 写出钢球滚动的距离 l（单位：m）关于滚动的时间 t（单位：s）的函数解析式。 提示：距离 = 平均速度 v 拔 × 时间 t，v 拔 =(v₀+v_t)/2，其中 v₀是开始时的速度，v_t 是 t s 时的速度。 (2) 如果斜面的长是 3 m，钢球从斜面顶端滚到底端要用多长时间？ 6. 用一段长为 40 m 的篱笆围成一个矩形场地，设矩形的一边长为 x m，写出矩形面积 y（m²）与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1 二次函数的概念 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 结合课本实际问题情境，理解二次函数的意义，掌握二次函数的定义。 2. 掌握二次函数一般形式 y=ax²+bx+c (a≠0)，能准确找出二次项、一次项、常数项以及对应系数。 3. 能够判断一个函数是否为二次函数；会利用定义求解含参数问题中字母的值。 4. 能根据课本实际情境列出二次函数解析式，会确定实际问题自变量的取值范围。 学习重点：二次函数概念，识别二次函数各项与系数。 学习难点：理解 a≠0 这个必要条件；实际问题自变量取值范围；含参数二次函数的求值。 【前置补偿】 1. 什么叫函数？ 答：在一个变化过程中，有两个变量 x、y，对于 x 每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，y 叫做 x 的函数。 2. 一次函数的一般形式是什么？ 答：y=kx+b（k≠0）。 3. 一次函数中哪个系数不能等于 0？ 答：k≠0。 【学生自学】 （阅读课本 26.1 二次函数的概念） 1、 情境引入 问题 1：正方体的棱长为 x，表面积为 y，写出 y 与 x 函数关系式。 答：y=6x²。 问题 2：n 支球队进行单循环比赛，每两队比赛一场，写出比赛总场数 m 和球队数 n 的关系式。 答：m=1/2 n (n−1)，整理 m=1/2 n²−1/2 n。 问题 3：某种产品现在年产量 20t，计划今后两年增产，如果每年产量比上一年增加 x 倍，写出两年之后产量 y 关于 x 的函数关系式。 答：y=20 (1+x)²，整理 y=20x²+40x+20。 观察上面三个函数，自变量的最高次数是2。 【小组互查质疑】 小组交换导学案互相检查： ①所列函数关系式列式是否正确；②是否注意实际问题自变量的限制条件； ③能不能看出自变量最高次数。 把本组发现错误点写下来： 参考提示：常见错误：忘记 n 是大于 1 的正整数；忘记 x>0。 二、知识点学习 1. 二次函数定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 x 是自变量，ax²是二次项，二次项系数a；bx是一次项，一次项系数b；c是常数项。 思考： ①a 为什么不能等于 0？b、c 能不能等于 0？ 答：a=0，自变量最高次数不再是 2，不再是二次函数；b、c 可以等于 0。 ②b=0，c≠0 时，函数表达式为y=ax²+c，是不是二次函数？是 b≠0，c=0 时，函数表达式为y=ax²+bx，是不是二次函数？是 b=0，c=0 时，函数表达式为y=ax²，是不是二次函数？是 1. 实际问题的二次函数： 列出函数关系式后，必须结合现实确定自变量的取值范围。 2、 例题自学 例 1 判断下列函数是不是二次函数，如果是，请写出二次项系数、一次项系数、常数项；不是请说明理由。 (1) y=3x²−2x−4 解：是二次函数；二次项系数 3，一次项系数−2，常数项−4。 (2) y=2x (x−5) 解：整理 y=2x²−10x；是二次函数；二次项系数 2，一次项系数−10，常数项 0。 (3) y=5x−3 解：不是，自变量最高次数为 1，属于一次函数。 (4) y=2+1/x² 解：不是，自变量出现在分母，不是整式。 例 2【课本原题】一个圆柱的高等于底面半径 r，写出表面积 S 关于半径 r 的函数解析式。 解：S=2πr²+2πr・r =4πr²（r>0）。 例 3 已知函数 y=(m−3) x^{m²8}+2x1 是二次函数，求 m 的值。 分析：要同时满足两个条件： ①自变量最高次数等于2；②二次项系数不等于 0。 解： {m²−8=2 {m−3≠0 m²=10，m=√10 或 m=−√10；m−3≠0 两个都满足。 ∴m=√10 或 m=−√10。 四、自学小测 1. 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) y=x²+x 解：二次项系数 1，一次项系数 1，常数项 0。 (2) y=2x²−x−1 解：二次项系数 2，一次项系数−1，常数项−1。 (3) y=−x²+3 解：二次项系数−1，一次项系数 0，常数项 3。 1. 下列函数中，哪些是二次函数？ (1) y=5x+1；(2) y=4x²−1；(3) y=2x (1−x)；(4) y=3x²−1/x。 解：(2)(3) 是二次函数；(1) 是一次函数；(4) 分母含自变量，不是整式，不是二次函数。 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 判断二次函数，要抓住哪两个核心条件？ 答：第一是整式；第二自变量最高次数为 2；第三二次项系数 a≠0。 1. b 或者 c 等于 0，为什么仍然属于二次函数？ 答：定义只要求 a≠0，对 b、c 没有不为零的限制。 1. 实际问题写二次函数解析式，为什么一定要写自变量取值范围？举课本情境例子。 答：自变量代表长度、球队数量，不能取负数。例如球队数 n 必须取大于 1 正整数，圆柱半径 r>0。 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1. 判断二次函数，首先化为整式一般形式，a≠0 是必不可少条件，b、c 可以为 0。 2. 解析式含有分式、自变量在根号内，一定不是二次函数。 3. 含参数题型，必须同时满足：次数等于 2，并且二次项系数不等于 0，两个条件缺一不可。 4. 实际问题中代表长度、数量的自变量，不能取负数，要写明取值范围。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 二次函数一般形式：y=ax²+bx+c（a,b,c 常数，a≠0）。 2. a≠0 是二次函数的必要条件；b、c 可以为 0。 3. 判断二次函数：整式、自变量最高次数 2，二次项系数不为 0。 4. 实际应用：写出解析式，同时确定自变量实际取值范围。 【课内自测】 1. 函数 y=−2x²+5x，写出二次项系数、一次项系数、常数项。 解：二次项系数−2，一次项系数 5，常数项 0。 2. 若函数 y=(k+2) x^{k²2} 是二次函数，求 k 的值。 解： {k²−2=2 {k+2≠0 k²=4，k=2 或 k=−2；k+2≠0，舍去 k=−2。 ∴k=2。 3. 一个矩形的长是宽的 1.5 倍，设宽为 x，面积为 S，写出 S 关于 x 的函数关系式，写出自变量取值范围。 解：长为 1.5x，S=1.5x・x=1.5x²；x>0。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 某商场一月份的销售额为 50 万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为 x，写出三月份的销售额 y（单位：万元）关于 x 的函数解析式。 解：二月份：50 (1+x)，三月份：y=50 (1+x)²，x>0。 2. 设人民币一年期定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存。如果本金是 30000 元，写出两年后的本息之和 y（单位：元）关于年利率 x 的函数解析式。 解：y=30000 (1+x)²，x>0。 B 组【能力提升・选做】 3. 一面圆形的镜子，其周边镶有宽为 5 cm 的边框。已知镜面的价格是每平方米 180 元，边框的价格是每平方米 100 元，求这面镜子的价格 y（单位：元）关于镜子半径 x（单位：m）的函数解析式。 解：5cm=0.05m 镜面面积：πx²；外圆半径：x+0.05；边框面积：π(x+0.05)²−πx² y=180πx²+100 [π(x+0.05)²−πx²] 化简： y=180πx²+100π(x²+0.1x+0.0025−x²) y=180πx²+100π(0.1x+0.0025) y=180πx²+10πx+0.25π (x>0) 4. n 个球队参加比赛，每两队之间进行两场比赛，写出比赛总场数 W 和球队数 n 之间的函数关系式，并写出自变量取值范围。 解：W=n (n−1)=n²−n；n 为大于等于 2 的正整数。 C 组【拓广探索・培优】 5. 钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加 1.5 m/s。 (1) 写出钢球滚动的距离 l（单位：m）关于滚动的时间 t（单位：s）的函数解析式。 提示：距离 = 平均速度 v 拔 × 时间 t，v 拔 =(v₀+v_t)/2，其中 v₀是开始时的速度，v_t 是 t s 时的速度。 解：初速度 v₀=0；v_t=1.5t；平均速度 v 拔 =(0+1.5t)/2=0.75t l=v 拔・t =0.75t・t l=0.75t² (t≥0) (2) 如果斜面的长是 3 m，钢球从斜面顶端滚到底端要用多长时间？ 解：令 l=3 0.75t²=3 t²=4 t=±2，时间取正值，t=2 秒。 6. 用一段长为 40 m 的篱笆围成一个矩形场地，设矩形的一边长为 x m，写出矩形面积 y（m²）与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 解：矩形另一边长为 (20−x) m y=x (20−x)=−x²+20x，自变量取值范围：0＜x＜20。 学科网（北京）股份有限公司 $