26.1二次函数的概念（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“二次函数的概念”，引导学生理解定义、一般形式y=ax²+bx+c（a≠0）及系数识别，能根据实际问题列解析式。通过温故知新和矩形面积、商品利润等生活化问题导入，帮助学生从一次函数过渡，搭建知识支架。 导学案以自主学习与合作探究为特色，通过对比观察归纳特征、生成定义细化要点，培养抽象能力和数学建模思想。例题与练习结合圆柱表面积、销售量下降率等实际情境，提升推理意识和应用能力，符合新课标“三会”核心素养要求。

26.1二次函数的概念（导学案） (1)理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求；能准确判断一个函数是否为二次函数，精准区分各项系数；能根据实际问题列出简单的二次函数解析式. (2)经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程，提升抽象概括、数学建模和类比推理能力，掌握研究新函数的基本方法. (3)感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，增强用函数思想解决实际问题的意识. 重点：理解二次函数的定义及一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），准确识别二次函数的各项系数，根据实际情境列出二次函数解析式. 难点为：理解二次函数定义中“a≠0”的核心意义，辨析易混淆函数形式;结合实际问题的限制条件，确定二次函数的自变量取值范围. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 展示生活化实际问题，引导学生独立思考、列出变量之间的函数关系式： 1. 一个矩形的长为10cm，宽为xcm，矩形面积y（cm²）与宽x的关系式； 2. 正方形的边长为x，面积y与边长x的关系式； 3. 某商品进价为20元，售价为x元，每日销量为(100-x)件，每日利润y与售价x的关系式. 【学法指导】 新知自研：自研课本第30-31页的内容 【学法指导】自研课本P30-31页内容 （一） 对比观察，归纳特征 活动1.观察归纳二次函数特征 追问1.式子①是我们学过的什么函数？ 追问2. 式子②③与一次函数有什么不同？最高次数是多少？追问3.三个式子均为整式关系式，变量之间都是函数关系，②③的共同特征是什么？ （二）生成定义，细化要点 活动2：师生共同归纳二次函数完整定义 问题1.n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛，比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 追问1.m是n的函数有什么特征？ 问题2.某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，与x之间的关系应怎样表示? 追问2.y是x的函数有什么特征？ 师生共同归纳二次函数完整定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，y是x的函数. 细化核心概念： 二次项：ax²，二次项系数：a；一次项：bx，一次项系数：b；常数项：c. 关键限定：a≠0（若a=0，式子变为y=bx+c，即为一次函数，不再是二次函数）；b、c可以为0. 活动3.拓展特殊形式 当b=0、c=0时，y=ax²（最简二次函数）； 当b=0时，y=ax²+c； 当c=0时，y=ax²+bx. 典型例题 【自研自探】 自研课本P30-31页内容 典型例题 例1.判断下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别说出二次项系数、一次项系数和常数项. ① y=3x^2 ② y=2x+1 ③ y=-x²+4x-1 ④ ⑤ y=x²-x(2+x) 例2.（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y（单位万件）关于x的函数解析式. 例3.用一根长为40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，矩形的面积为y cm²，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 第二环节 合作探究 1.讨论二次函数的特征、定义. 2.讨论二次函数的核心概念和特殊形式. 拓展提升：1.如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． (1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． (2)通过计算判断此球能否过网． (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． 课堂练习：课本P31随堂练习 1.（2026·泰安校考）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； 2．（2025·乌鲁木齐校考）某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200千克，每千克可盈利8元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1元，则每天可多售出20千克． (1)设每千克核桃降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式； (2)若要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？ 知识技能：（1）掌握二次函数的定义及一般形式： ；（2）能准确辨析 ，区分 ；（3）能根据实际问题列二次函数解析式，并结合实际意义确定 . 思想方法：（1）类比思想：类比 的探究方法，学习二次函数的定义与特征，实现知识迁移；（2）数学建模思想：将生活中的面积、利润、几何图形问题转化为 模型；（3）化简转化思想：复杂函数关系式需 ，再判定函数类型. 易错提醒：（1）判定二次函数必须先化简，不能 判断；（2）二次函数的核心条件是 ，切勿混淆；（3）实际问题中的二次函数，自变量取值范围必须 ，不能默认 ；（4）分式形式、根式形式的关系式一定不是 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1二次函数的概念（导学案） (1)理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求；能准确判断一个函数是否为二次函数，精准区分各项系数；能根据实际问题列出简单的二次函数解析式. (2)经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程，提升抽象概括、数学建模和类比推理能力，掌握研究新函数的基本方法. (3)感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，增强用函数思想解决实际问题的意识. 重点：理解二次函数的定义及一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），准确识别二次函数的各项系数，根据实际情境列出二次函数解析式. 难点为：理解二次函数定义中“a≠0”的核心意义，辨析易混淆函数形式;结合实际问题的限制条件，确定二次函数的自变量取值范围. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 展示生活化实际问题，引导学生独立思考、列出变量之间的函数关系式： 1. 一个矩形的长为10cm，宽为xcm，矩形面积y（cm²）与宽x的关系式； 2. 正方形的边长为x，面积y与边长x的关系式； 3. 某商品进价为20元，售价为x元，每日销量为(100-x)件，每日利润y与售价x的关系式. 学生独立列式，教师板书三个关系式： ① y=10x ② y=x² ③ y=-x²+120x-2000 【学法指导】 新知自研：自研课本第30-31页的内容 【学法指导】自研课本P30-31页内容 （一）对比观察，归纳特征 活动1.观察归纳二次函数特征 追问1.式子①是我们学过的什么函数？（一次函数） 追问2. 式子②③与一次函数有什么不同？最高次数是多少？（自变量的最高次数不同，是2） 追问3.三个式子均为整式关系式，变量之间都是函数关系，②③的共同特征是什么？ 师生共同总结：两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2.由此抽象出新函数类型——二次函数. （二）生成定义，细化要点 活动2：师生共同归纳二次函数完整定义 问题1.n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛，比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 学生小组交流：每支球队都要与其他（n-1）支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数，即………① ①式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 追问1.m是n的函数有什么特征？（两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2） 问题2.某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，与x之间的关系应怎样表示? 学生独立思考：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20（1+x）t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x）t，即两年后的产量y=20(1+x)²，即y=20x²+40x+20.………② ②式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 追问2.y是x的函数有什么特征？（两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2） 师生共同归纳二次函数完整定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，y是x的函数. 细化核心概念： 二次项：ax²，二次项系数：a；一次项：bx，一次项系数：b；常数项：c. 关键限定：a≠0（若a=0，式子变为y=bx+c，即为一次函数，不再是二次函数）；b、c可以为0. 活动3.拓展特殊形式 当b=0、c=0时，y=ax²（最简二次函数）； 当b=0时，y=ax²+c； 当c=0时，y=ax²+bx. 典型例题 【自研自探】 自研课本P30-31页内容 典型例题 例1.判断下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别说出二次项系数、一次项系数和常数项. ① y=3x^2 ② y=2x+1 ③ y=-x²+4x-1 ④ ⑤ y=x²-x(2+x) 【分析】本题核心考查二次函数的定义辨析，解题关键是紧扣三个判定条件：1. 关系式为整式；2. 自变量最高次数为2；3. 二次项系数a≠0；对于复杂式子需先化简，再逐一判定. 【详解】解：1.y=3x²：是二次函数；二次项系数：3，一次项系数：0，常数项：0. 2.y=2x+1：自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数. 3. y=-x²+4x-1：是二次函数； 二次项系数：-1，一次项系数：4，常数项：-1. 4.是分式函数，不是整式函数，不是二次函数. 5. y=x²-x(2+x)，化简：y=x²-2x-x²=-2x，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数. 变式小结：判定二次函数必须先化简、再判定，杜绝仅凭原式表面形式判断. 例2.（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y（单位万件）关于x的函数解析式. 【分析】（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，分别求出圆柱的底面积与侧面积；（2）一年后产品的年销售量为8（1-x）万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件. 【详解】解：(1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr²+2πr·r，即S=4πr². (2）一年后产品的年销售量为8（1-x）万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件，所以y=8(1-x)²，即 y=8x²-16x+8. 例3.用一根长为40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，矩形的面积为y cm²，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 【分析】本题考查二次函数建模及自变量取值范围确定.首先根据矩形周长公式表示出另一边长，再结合面积公式列关系式；自变量取值范围需结合矩形边长为正数的实际意义确定. 【详解】解：1. 列关系式：铁丝总长40cm，矩形一边长为xcm，则另一边长为\frac{40-2x}{2}=(20-x)cm 由矩形面积公式得：y=x(20-x)=-x²+20x 2.确定自变量取值范围：根据实际意义，边长必须为正数，因此，解得0<x<20. 3. 最终结论：函数关系式为y=-x²+20x（0<x<20） 第二环节 合作探究 1.讨论二次函数的特征、定义. 2.讨论二次函数的核心概念和特殊形式. 拓展提升：1.如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． (1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． (2)通过计算判断此球能否过网． (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为， 设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为， 把代入得：， 解得， ； ∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为 （2）解：在中， 令得 ， ∴此球能过网； （3）解：在中， 令得： 解得（舍去）或， （米）， ∴乙与球网的水平距离为2米． 课堂练习：课本P31随堂练习 1.（2026·泰安校考）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； 【详解】解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴. 2．（2025·乌鲁木齐校考）某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200千克，每千克可盈利8元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1元，则每天可多售出20千克． (1)设每千克核桃降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式； (2)若要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？ 【详解】（1）解：根据题意，可得 化简，得 （2）当时 即， 解得，(舍去)． 要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价2元． 知识技能：（1）掌握二次函数的定义及一般形式：y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；（2）能准确辨析二次函数，区分二次项、一次项、常数项及对应系数；（3）能根据实际问题列二次函数解析式，并结合实际意义确定自变量取值范围. 思想方法：（1）类比思想：类比一次函数的探究方法，学习二次函数的定义与特征，实现知识迁移；（2）数学建模思想：将生活中的面积、利润、几何图形问题转化为二次函数数学模型；（3）化简转化思想：复杂函数关系式需先化简，再判定函数类型. 易错提醒：（1）判定二次函数必须先化简，不能直接根据原式表面形式判断；（2）二次函数的核心条件是a≠0，b、c可以为0，切勿混淆；（3）实际问题中的二次函数，自变量取值范围必须符合实际意义，不能默认全体实数；（4）分式形式、根式形式的关系式一定不是二次函数. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $