26.2.2.3二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质，通过“知识链接”环节引导学生回顾y=ax²平移得到y=ax²+k、y=a(x-h)²的方法，建立新旧知识联系，为探究顶点式性质搭建学习支架。 此导学案突出合作探究，让学生经历画图、观察、归纳过程，培养几何直观与空间观念，例2结合喷水池实际问题，发展模型意识与推理能力，当堂检测分层设计，兼顾基础与应用，助力学生理解并运用性质解决问题。

《26.2.2.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质》导学案 课题 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 1. 让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程 2. 理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系 重点难点 重点： 二次函数y＝a(x－h)2+k的性质 难点： 会用二次函数y＝a(x－h)2+k的性质解决问题 教学过程 知识链接 说出下列函数的平移方式，并指出其顶点与对称轴。 y=ax2如何平移得到y=ax2+k y=ax2如何平移得到y=a(x-h)2 合作探究 活动1、画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴 ①列表 ②描点 ③连线 ( 观察图象可得 ： 抛物线 的 开口方向 ， 对称轴是 ， 顶点坐标是 ； 当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小 ． 抛物线 可以看成是抛物线 向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到 ． ) ★你还有其他的平移方法吗？学生画出图像，并讨论图像有什么特点： ●归纳： 1．抛物线y＝a(x－h)2+k(这种表达式称为顶点式）有如下特点： （1）当a>0时，开口_____________，当a<0时，开口_____________． （2）对称轴是直线_____________． （3）顶点坐标是_____________． 2．一般地，抛物线y＝a(x－h)2+k与y＝ax2的形状_____________，位置_____________； 把抛物线 y＝ax2 向_____________向_____________平移，可以得到 抛物线y＝a(x－h)2+k平移的方向、距离要根据________、_______的值来决定 思考：通过前面两节课的学习，你能概括一下y＝ax2、y＝ax2+k、y=a(x-h)2、y＝a(x－h)2+k之间的平移规律吗？ 例1、把二次函数y=a(x+h)2+k的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=-(x+1)2-1的图像 （1）试确定a,h,k的值 （2）指出二次函数y=a(x+h)2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴、顶点坐标 例2、要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? 自主尝试 完成下列表格: 当堂检测 1.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________. 2.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如下左图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( ) 3.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 . 答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位. 4.对于抛物线y=-2(x+1)2+5下列说法正确的有：（ ） ①开口向下，②当x＞-1时y随x增大而减小，③顶点坐标是（-1，5）④对称轴是直线x=1 A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式. 6.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( ) A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m 7.如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值. 8.安利公司今年推出了一种高效环保型洗涤用品，2025年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系，（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）根据图像提供的信息，解答下列问题。 （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 小结反思 本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出的性质: （1）a的符号决定抛物线的开口方向 （2）对称轴是直线x=h(3)顶点坐标是(h,k) (3)顶点坐标是(h,k) 《26.2.2.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质》导学案 课题 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 3. 让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程 4. 理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系 重点难点 重点： 二次函数y＝a(x－h)2+k的性质 难点： 会用二次函数y＝a(x－h)2+k的性质解决问题 教学过程 知识链接 说出下列函数的平移方式，并指出其顶点与对称轴。 y=ax2如何平移得到y=ax2+k y=ax2如何平移得到y=a(x-h)2 问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？今天我们一起来学习！ 合作探究 活动1、画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴 ①列表 ②描点 ③连线 ( 观察图象可得 ： 抛物线 的 开口方向 ， 对称轴是 ， 顶点坐标是 ； 当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小 ． 抛物线 可以看成是抛物线 向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到 ． ) ★你还有其他的平移方法吗？学生画出图像，并讨论图像有什么特点： ●归纳： 1．抛物线y＝a(x－h)2+k(这种表达式称为顶点式）有如下特点： （1）当a>0时，开口_____________，当a<0时，开口_____________． （2）对称轴是直线_____________． （3）顶点坐标是_____________． 2．一般地，抛物线y＝a(x－h)2+k与y＝ax2的形状_____________，位置_____________； 把抛物线 y＝ax2 向_____________向_____________平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2+k,平移的方向、距离要根据________、_______的值来决定 答案：1.向上、向下、x=h、（h,k） 2.相同、不同、左右、上下、h、k 记住这些特点，并能运用这些特点去完成下列题目． 思考：通过前面两节课的学习，你能概括一下y＝ax2、y＝ax2+k、y=a(x-h)2、y＝a(x－h)2+k之间的平移规律吗？ 学生自己概述、教师总结，并且强调：上述抛物线形状相同、知识位置不同。平移的方法并不是唯一的。 例1、把二次函数y=a(x+h)2+k的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=-(x+1)2-1的图像 （1）试确定a,h,k的值 （2）指出二次函数y=a(x+h)2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴、顶点坐标 解：（1）a=-,h=-1,k=5 （2） 它的开口向下，对称轴是直线x=1,顶点坐标（1，-5） 例2、要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) ∴ 0=a(3－1)2＋3解得a=- 因此抛物线的解析式为:y=-(x－1)2＋3当x=0时,y=2.25 自主尝试 完成下列表格: 答案：向上、直线x=-3、（-3,5） 向下、直线x=1、（1，-2） 向上、直线x=3、（3,7） 向下、直线x=2、（2，-6） 当堂检测 1.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________. 答案：y=-3(x-1)2+2 2.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如下左图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )A 3.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 . 答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位. 4.对于抛物线y=-2(x+1)2+5下列说法正确的有：（ ）C ①开口向下，②当x＞-1时y随x增大而减小，③顶点坐标是（-1，5）④对称轴是直线x=1 A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式. y=5(x+1)2+3 6.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( )B A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m 7.如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值. 答案：h=8.1 8.安利公司今年推出了一种高效环保型洗涤用品，2025年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系，（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）根据图像提供的信息，解答下列问题。 （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 答案：(1)s= (2)当s=30,解得t=10或t=-6（舍） （3）当t=8时，s=5.5万 小结反思 本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出的性质: （1）a的符号决定抛物线的开口方向 （2）对称轴是直线x=h(3)顶点坐标是(h,k) (3)顶点坐标是(h,k) www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $