奥数培优专题09 归一归总问题（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

专题九 归一归总问题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：归一问题（正归一） 3 考点二：反归一问题 4 考点三：归总问题 5 考点四：双归一问题 7 考点五：归一归总综合应用 8 第三部分 易错避坑指南 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、基础夯实篇（8题） 11 二、能力进阶篇（7题） 11 三、思维跃迁篇（5题） 12 第五部分 精准解析 14 一、基础夯实篇解析 14 二、能力进阶篇解析 15 三、思维跃迁篇解析 17 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版三年级上册第六单元的奥数培优内容，核心是"归一与归总"，依托简单归一、反归一、归总问题、双归一、归一归总综合五大考点，系统梳理先求单一量、先求总量的两类应用题解题思路，培养分析数量关系的能力。 知识模块 核心内容 关键公式 易错提醒 归一问题 先求1份量，再求几份量 单一量 = 总量 ÷ 份数，总量 = 单一量 × 份数 每份要一样多，平均分才能归一 反归一 知道总量和单量，求份数 份数 = 总量 ÷ 单一量 除不尽时要结合题意判断 归总问题 先求总量，再重新分配 总量 = 单一量 × 份数，新单量 = 总量 ÷ 新份数 总量不变，变的是每份或份数 双归一 两个量都要归一 先归一再归一，逐步求单位量 一步一步来，别跳步 综合应用 归一归总混合题 先判断求什么→选方法→列式计算 看清是求总量还是求份数 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 正归一 求几份是多少 先算1份量→再乘份数 先除后乘，求几份量用乘 反归一 求有几份 先算1份量→总量除以单量 先除后除，求份数用除 归总法 总量不变重新分配 先算总量→再除以新份数 先乘后除，总量不变 列表法 数量关系复杂的题 条件列表整理→对应关系→计算 列表格更清楚，不容易搞混 图示法 理解题意有困难 画线段图或示意图→分析关系 画图帮助理解数量关系 三、奥数思维提升 1. 单位量思想：先求1个是多少 核心要点：归一问题的核心是先求出1份是多少（单位量），有了单位量，要求几份就乘几，要求有几份就除几。单位量是桥梁。 示例：3个苹果15元，先算1个苹果5元（单位量），买8个就是5×8=40元，40元能买40÷5=8个。 2. 总量不变思想：归总抓不变量 核心要点：归总问题中总量是不变的，只是分配方式变了。先把总量算出来，再按新的标准重新分。抓住不变的总量是关键。 示例：每人分6颗糖，4人正好分完。如果每人分8颗，能分给几人？先算总糖数：6×4=24颗，再算24÷8=3人。 3. 对应思想：份数和数量对应 核心要点：几份对应多少数量，要一一对应。3份对应15，1份就对应5。找对对应关系，计算才不会错。 示例：5本书共100元，不能用100÷4，要100÷5=20元/本。5本对应100元，1本对应20元。 4. 转化思想：复杂问题简单化 核心要点：双归一问题看起来复杂，其实就是做两次归一。先归一次得到一个单位量，再归一次得到更小的单位量。 示例：3人2天做30个零件，先算3人1天做15个（第一次归一），再算1人1天做5个（第二次归一）。 5. 比较思想：归一归总对比 核心要点：归一和归总是相反的：归一从多到少（除以份数求1份），归总从少到多（乘份数求总量）。看清问题求什么，选对方法。 示例：求8个多少钱→归一（先1个再乘8）；求每人分几个→归总（先算总数再分）。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：归一问题（正归一） 典型例题 1（基础型）—— 简单正归一 题目：小明3分钟写了24个字，照这样的速度，8分钟能写多少个字？ 解题步骤： ① 先算1分钟写多少字：24 ÷ 3 = 8个； ② 再算8分钟写多少：8 × 8 = 64个； ③ 答：8分钟能写64个字。 【答案】64个字 【知识点睛】正归一：先求单一量（1份量），再乘份数求总量。先除后乘。 典型例题 2（提高型）—— 归一后求多份 题目：一辆汽车3小时行180千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶5小时。甲乙两地相距多少千米？ 解题步骤： ① 先算1小时行多少千米：180 ÷ 3 = 60千米； ② 再算5小时行多少：60 × 5 = 300千米； ③ 答：甲乙两地相距300千米。 【答案】300千米 【知识点睛】速度问题：路程÷时间=速度，速度×时间=路程。本质就是归一问题。 典型例题 3（奥数型）—— 隐藏归一条件 题目：6只青蛙6天吃360只害虫。照这样计算，1只青蛙1天吃多少只害虫？ 解题步骤： ① 方法一：先算 6 只青蛙 1 天吃多少：360 ÷ 6 = 60 只； ② 再算 1 只青蛙 1 天吃多少：60 ÷ 6 = 10 只； ③ 方法二：也可先算 1 只青蛙 6 天吃多少：360 ÷ 6 = 60 只，再算 1 只 1 天：60 ÷ 6 = 10 只； ④ 方法总结：这是双归一问题，需要连除两次，总量 ÷ 天数 ÷ 只数 = 1 只青蛙 1 天的食量。 【答案】1只青蛙1天吃10只害虫 【知识点睛】双归一：连除两次，先归一个维度，再归另一个维度。 考点二：反归一问题 典型例题 1（基础型）—— 简单反归一 题目：小明3分钟写24个字，照这样的速度，写56个字需要多少分钟？ 解题步骤： ① 先算1分钟写多少：24 ÷ 3 = 8个； ② 再算56个字要几分钟：56 ÷ 8 = 7分钟； ③ 答：需要7分钟。 【答案】7分钟 【知识点睛】反归一：先求单一量，再用总量÷单一量=份数。先除后除。 典型例题 2（提高型）—— 有余数的反归一 题目：每本笔记本5元，老师带了42元，最多能买几本？还剩多少元？ 解题步骤： ① 这是反归一，求份数：42 ÷ 5 = 8本……2元； ② 能买8本，还剩2元； ③ 剩下的2元不够再买1本，所以最多8本。 【答案】最多买8本，还剩2元 【知识点睛】反归一有余数时，若余下的量不够 1 份，需用去尾法，商就是最终份数，余数是剩余不足 1 份的量。 典型例题 3（奥数型）—— 进一法 题目：有35个同学去划船，每条船最多坐6人。至少要租几条船？ 解题步骤： ① 35 ÷ 6 = 5条……5人； ② 5条船只能坐30人，还剩5人也需要1条船； ③ 所以要租：5 + 1 = 6条船； ④ 这叫"进一法"，剩下的也要算1份。 【答案】至少要租6条船 【知识点睛】坐船、装车等问题，剩下的也要算一份，要用进一法（商+1）。 考点三：归总问题 典型例题 1（基础型）—— 简单归总 题目：同学们排队做操，每行站12人，正好站4行。如果每行站8人，可以站几行？ 解题步骤： ① 先算总人数：12 × 4 = 48人； ② 再算每行8人站几行：48 ÷ 8 = 6行； ③ 答：可以站6行。 【答案】6行 【知识点睛】归总问题：先乘求总量，再除求新份数。先乘后除。总量不变。 典型例题 2（提高型）—— 归总求单量 题目：一本书，每天读6页，6天正好读完。如果要4天读完，平均每天要读多少页？ 解题步骤： ① 先算书的总页数：6 × 6 = 36页； ② 再算4天读完每天读几页：36 ÷ 4 = 9页； ③ 答：平均每天读9页。 【答案】9页 【知识点睛】归总：总量不变，份数变了，求新的单量。总量÷新份数=新单量。 典型例题 3（奥数型）—— 归总与比较 题目：一批货物，每车运8吨，需要6辆车。如果每车多运4吨，可以少用几辆车？ 解题步骤： ① 先算货物总吨数：8 × 6 = 48吨； ② 每车多运4吨，现在每车运：8 + 4 = 12吨； ③ 需要车数：48 ÷ 12 = 4辆； ④ 少用：6 - 4 = 2辆； ⑤ 答：可以少用2辆车。 【答案】少用2辆车 【知识点睛】归总后比较：先算总量，再算新方案要多少，最后求差。 考点四：双归一问题 典型例题 1（基础型）—— 两次归一 题目：3个工人2小时加工12个零件。照这样计算，1个工人1小时加工多少个零件？ 解题步骤： ① 先算3个工人1小时加工多少：12 ÷ 2 = 6个； ② 再算1个工人1小时加工多少：6 ÷ 3 = 2个； ③ 或者先算1个工人2小时加工：12÷3=4个，再算1小时：4÷2=2个； ④ 答：1个工人1小时加工2个零件。 【答案】2个 【知识点睛】双归一：连除两次，可以先除以第一个量，也可以先除以第二个量。 典型例题 2（提高型）—— 双归一后求多份 题目：3头牛4天吃青草120千克。照这样计算，5头牛6天吃多少千克青草？ 解题步骤： ① 先算1头牛1天吃多少：120 ÷ 3 ÷ 4 = 10千克； ② 再算5头牛6天吃多少：10 × 5 × 6 = 300千克； ③ 答：5头牛6天吃300千克。 【答案】300千克 【知识点睛】双归一后正归一：先连除求单位量，再连乘求总量。 典型例题 3（奥数型）—— 双归一反求 题目：2台抽水机3小时抽水60吨。照这样计算，5台抽水机抽200吨水需要多少小时？ 解题步骤： ① 先算1台1小时抽多少：60 ÷ 2 ÷ 3 = 10吨； ② 5台1小时抽：10 × 5 = 50吨； ③ 抽200吨需要：200 ÷ 50 = 4小时； ④ 答：需要4小时。 【答案】4小时 【知识点睛】双归一+反归一：先求单位效率，再算多台效率，最后用总量÷效率=时间。 考点五：归一归总综合应用 典型例题 1（基础型）—— 归一归总对比 题目：判断下面各题是归一问题还是归总问题：（1）3支笔15元，买5支多少元？（2）每页写8个字，写3页。如果每页写6个字，要写几页？ 解题步骤： ① 第（1）题：先算1支笔多少钱（求单量），再算5支多少钱→归一问题（正归一）； ② 第（2）题：先算总字数（求总量），再按每页6个算页数→归总问题； ③ 区别：归一求单量，归总求总量。看先算什么。 【答案】（1）归一问题；（2）归总问题 【知识点睛】归一：先求1份量；归总：先求总量。看清问题类型选方法。 典型例题 2（提高型）—— 生活综合题 题目：修路队修一条路，每天修80米，5天修完。如果要4天修完，每天要多修多少米？ 解题步骤： ① 归总：先算路的总长：80 × 5 = 400米； ② 4天修完，每天修：400 ÷ 4 = 100米； ③ 每天多修：100 - 80 = 20米； ④ 答：每天要多修20米。 【答案】多修20米 【知识点睛】归总后比较：先总量，再新单量，最后求差。注意问的是"多修多少"。 典型例题 3（奥数型）—— 隐藏归总条件 题目：一批水果，每人分5个，可以分给8个人。如果每人多分3个，可以分给几个人？ 解题步骤： ① 先算水果总数：5 × 8 = 40个； ② 每人多分3个，现在每人分：5 + 3 = 8个； ③ 可以分给：40 ÷ 8 = 5人； ④ 答：可以分给5个人。 【答案】5个人 【知识点睛】"多分3个"不是分3个，是在原来基础上多3个，要先加。审题要仔细。 第三部分 易错避坑指南 易错点：归一除错了份数，对应关系搞错 错误示例：3个苹果6元，算1个多少钱：3÷6=0.5（错误，应该6÷3） 正确分析：总价÷数量=单价，要用钱数除以个数。6元对应3个，所以6÷3=2元/个。不能拿数量除以钱。 修正方法：求什么为1份，就除以什么的数量。求每个多少钱就除以个数，求每元买几个就除以钱数。 易错点：归总忘记先求总量，直接除 错误示例：每行12人站4行，每行8人站几行？直接12÷8（错误） 正确分析：总人数不变，要先算总人数12×4=48人，再48÷8=6行。不能直接拿两个单量除。 修正方法：归总问题第一步：先乘求总量。总量=单量×份数。总量不变是关键。 易错点：坐船装车问题，忘记进一 错误示例：35人坐船，每船6人，35÷6=5……5，答5条船（错误） 正确分析：剩下的5人也需要1条船，不能让他们游泳。所以要5+1=6条。这叫进一法。 修正方法：装东西、载人等剩下的也要算一份时，要用进一法：商+1。要看具体情境。 易错点：双归一跳步，少除一次 错误示例：3人2天做12个，1人1天做12÷3=4个（错误，只归了一次） 正确分析：既要归人数的一，也要归天数的一。12÷3只是1人2天做的，还要再÷2才是1人1天的。 修正方法：双归一要连除两次：总量÷份数1÷份数2=单位量。一步一步来，别着急。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 小红4分钟写20个字，照这样，7分钟写多少个字？ 2. 一辆汽车2小时行120千米，照这样，行300千米需要几小时？ 3. 每千克苹果8元，妈妈买苹果花了40元，买了多少千克？ 4. 同学们做操，每行10人，正好6行。如果每行12人，可以站几行？ 5. 一本书每天读9页，4天读完。如果6天读完，每天读几页？ 6. 2只小猫3天抓12只老鼠，1只小猫1天抓几只老鼠？ 7. 有25千克油，每瓶装4千克，至少需要几个瓶子？ 8. 4个工人5小时生产40个零件，1个工人1小时生产多少个？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 小明看一本书，3天看了27页。照这样，120页的书还要看几天？ 10. 一批水泥，每次运6吨，8次运完。如果每次多运2吨，几次可以运完？ 11. 3台织布机4小时织布120米。照这样，5台织布机2小时织布多少米？ 12. 修路队修一条路，每天修50米，6天可以修完。如果要提前1天修完，每天多修多少米？ 13. 学校买粉笔，每箱10盒，买了6箱。如果每班分5盒，可以分给几个班？ 14. 4头牛5天吃青草200千克。照这样，300千克青草够6头牛吃几天？ 15. 用一个杯子向空瓶里倒水，倒进3杯水连瓶重440克，倒进5杯水连瓶重600克。一杯水重多少克？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 一项工程，8个人工作15小时可以完成。如果12个人工作，多少小时可以完成？ 17. 工厂生产一批零件，如果每人每天生产 8 个，12 人 6 天可以完成任务。如果每人每天多生产 4 个，多少人 4 天可以完成任务？ 18. 3台机器6小时加工零件540个。如果增加2台同样的机器，工作时间减少1小时，可以加工多少个零件？ 19. 一根木头锯成3段要6分钟，照这样，锯成6段要多少分钟？ 20. 甲乙两地相距 300 千米，一辆汽车从甲地出发，原计划 6 小时到达。行驶了一半路程后，因故停留了 1 小时。如果要按原计划到达，剩下的路程每小时要行多少千米？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】35个字 解题步骤： ① 1分钟写：20÷4=5个； ② 7分钟：5×7=35个。 【知识点睛】正归一：先除后乘。 2. 【答案】5小时 解题步骤： ① 1小时行：120÷2=60千米； ② 300千米要：300÷60=5小时。 【知识点睛】反归一：先除后除。 3. 【答案】5千克 解题步骤： ① 40÷8=5千克。 【知识点睛】反归一：总价÷单价=数量。 4. 【答案】5行 解题步骤： ① 总人数：10×6=60人； ② 每行12人：60÷12=5行。 【知识点睛】归总：先乘后除。 5. 【答案】6页 解题步骤： ① 总页数：9×4=36页； ② 6天读完：36÷6=6页。 【知识点睛】归总求新单量。 6. 【答案】2只 解题步骤： ① 2只1天抓：12÷3=4只； ② 1只1天：4÷2=2只。 【知识点睛】双归一：连除两次。 7. 【答案】7个 解题步骤： ① 25÷4=6个……1千克； ② 剩1千克也要1个瓶，6+1=7个。 【知识点睛】进一法：剩下的也要1个。 8. 【答案】2个 解题步骤： ① 4人1小时：40÷5=8个； ② 1人1小时：8÷4=2个。 【知识点睛】双归一。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】还要11天 解题步骤： ① 先算每天看的页数：27 ÷ 3 = 9 页； ② 计算剩余页数：120 - 27 = 93 页； ③ 求剩余天数：93 ÷ 9 = 10 天……3 页，余下的 3 页也需要 1 天看完； ④ 总共还需要：10 + 1 = 11 天。 【知识点睛】归一后求剩余时间，有余数时需用进一法，剩余不足一天的页数也需 1 天完成。 10. 【答案】6次 解题步骤： ① 总吨数：6×8=48吨； ② 每次多运2吨，每次运8吨； ③ 48÷8=6次。 【知识点睛】归总：总量不变，每次运量变多，次数变少。 11. 【答案】100米 解题步骤： ① 1台1小时织：120÷3÷4=10米； ② 5台2小时：10×5×2=100米。 【知识点睛】双归一后正归一：先连除，再连乘。 12. 【答案】每天多修10米 解题步骤： ① 总长：50×6=300米； ② 提前1天，5天修完，每天：300÷5=60米； ③ 多修：60-50=10米。 【知识点睛】归总后比较，注意"提前1天"是时间减少1天。 13. 【答案】12个班 解题步骤： ① 总盒数：10×6=60盒； ② 每班5盒：60÷5=12个班。 【知识点睛】归总问题。 14. 【答案】5天 解题步骤： ① 1头牛1天吃：200÷4÷5=10千克； ② 6头牛1天吃：10×6=60千克； ③ 300千克吃：300÷60=5天。 【知识点睛】双归一+反归一。 15. 【答案】一杯水重80克 解题步骤： ① 5杯比3杯多了2杯水，重量多了600-440=160克； ② 2杯水=160克； ③ 1杯水=160÷2=80克。 【知识点睛】差量法：多出来的重量对应多出来的杯数。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】10小时 解题步骤： ① 总工作量：8×15=120人时； ② 12人做：120÷12=10小时。 【知识点睛】归总：总工作量=人数×时间，人多了时间就少了。 17. 【答案】12人 解题步骤： ① 先算零件总数量：8 × 12 × 6 = 576 个； ② 每人每天多生产 4 个，现在每人每天生产：8 + 4 = 12 个； ③ 4 天完成时每天需要生产：576 ÷ 4 = 144 个； ④ 需要的人数：144 ÷ 12 = 12 人。 【知识点睛】归一归总综合应用，先通过连乘求总量，再逐步反求新的单一量与份数。 18. 【答案】750个 解题步骤： ① 先算 1 台机器 1 小时加工零件数：540 ÷ 3 ÷ 6 = 30 个； ② 增加 2 台后机器总数：3 + 2 = 5 台； ③ 工作时间减少 1 小时后：6 - 1 = 5 小时； ④ 总共可加工零件：30 × 5 × 5 = 750 个。 【知识点睛】双归一后计算总量，注意 “增加 2 台”“减少 1 小时” 的表述，先算出实际台数和时间再计算。 19. 【答案】15分钟 解题步骤： ① 锯3段要锯2次，每次：6÷2=3分钟； ② 锯6段要锯5次，5×3=15分钟。 【知识点睛】锯木头：次数=段数-1。归一要归到"每次"，不是"每段"。 20. 【答案】每小时行75千米 解题步骤： ① 一半路程长度：300 ÷ 2 = 150 千米； ② 原计划行完全程 6 小时，行驶一半路程用时：6 ÷ 2 = 3 小时； ③ 停留 1 小时后，剩余可用时间：6 - 3 - 1 = 2 小时； ④ 剩下路程的速度：150 ÷ 2 = 75 千米 / 时。 【知识点睛】行程问题：速度 = 路程 ÷ 时间。先算出剩余路程和剩余时间，再求对应速度。 1 学科网（北京）股份有限公司 $