立体几何错题专项训练卷（四）-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦立体几何核心模块，通过各地期末及模拟错题重组，系统覆盖空间几何体、位置关系、空间角与体积计算，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体|3题|旋转体体积、多面体体积、直观图还原|从几何体直观认识到体积计算，构建“形-量”转化逻辑| |位置关系|4题|线面平行、垂直判断与证明|以公理定理为基础，形成“概念-判定-性质”推理链条| |空间角与距离|6题|异面直线角、二面角、点面距离|从几何法到向量法，建立空间角量化求解路径|

《高中数学错题综合卷（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C C B D D D ACD BC ACD 题号 12 13 14 答案 ；√3 -6 15.【详解】解：（1）由题可知，是上的一点， 过且与、都平行的截面为五边形， 过作，交于点，交于点， 过作，交于点，再过点作，交于点， 过点作交于点，连接，，， ∴，，，∴， 所以，，，，共面，平面， ∵，平面， ∴平面，同理平面. 所以过且与、都平行的截面如下图： （2）由题意可知，截面，截面， ∴，，，，， 而是在底面上的射影，， ∴平面，， ∴，且，所以平面，则， ∴， 又∵，为正四棱锥， ∴，故，于是， 因此截面是由两个全等的直角梯形组成， 因，则为等腰直角三角形，， ∴， 同理得，， 设截面面积为， 所以， 所以截面的面积为. 16.【详解】（1）过作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，. 又平面，平面，， 又，平面， 平面，. （2）连结并延长交于，连结，以为原点， 分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，设， 平面，平面，，同理， 又，平面，， 又是的重心，是的中点，，由（1）知，， ， ，， ，解得，， 设，则，故， ，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17.【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和. 可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成， 则其总曲率为：. （2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，所以有 设第个面的棱数为，所以 所以总曲率为： 所以这类多面体的总曲率是常数. 18.【详解】（1）设椭圆的标准方程为：，， 由椭圆的性质可知：，， 则的周长，即，， ∴椭圆的标准方程：； （2）①设直线：， 代入椭圆方程，解得：，， 则，， 折叠后主要是四点位置．擦去椭圆如下图，建立空间直角坐标系， 在空间直角坐标系中，，， ，，，， 异面直线和所成角为，则， ∴异面直线和所成角的大小； ②折叠后对应点记为，如图 设折叠前，，则，， 由，，则， 设折叠前直线方程为， 则，整理得：， 则，， 则，， ∴，（1） ∴， ∴，（2） ∴由（1），（2）可知：， ∴， ∴， 即， ，则， 解得：， 故或 19.【详解】解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O 在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60° ∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3 ∴AO2+A1O2=A12 ∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD， 所以A1O⊥底面ABCD ∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， …………2分 （Ⅰ）由于， 则 ∴BD⊥AA1……………………4分 （Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1CK*s^5#u的法向量 设⊥平面AA1D则 得到……………………6分 所以二面角D—A1A—CK的平面角K*s^5#u的余弦值是……………………8分 （Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1 设，则 得……………………9分 设，则设 得到……………………10分 又因为平面DA1C1 则· 即点P在C1CK的延长线上且使C1C=CP……………………12分 （Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60° ∴AO=AA1·cos60°=1 所以O是ACK*s^5#u的中点，由于底面ABCD为菱形，所以 O也是BD中点 由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C 过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE 则∠DEO为二面角D—AA1—CK的平面角 ……………………6分 在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO= 在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=，DE= ∴cos∠DEO= ∴二面角D—A1A—CK的平面角K的余弦值是……………………8分 （Ⅲ）存在这样K的点P 连接B1C，因为A1B1ABDC ∴四边形A1B1CD为平行四边形． ∴A1D//B1C 在C1CK*s^5#u的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP……………………10分 因B1BCC1，∴BB1CP ∴四边形BB1CP为平行四边形 则BP//B1C，∴BP//A1D ∴BP//平面DA1C1 ……………………12分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学错题重组卷（四） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．25-26高一下·黑龙江·期末 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，则将四边形ABCD绕着AB旋转一周得到的旋转体的体积为（       ） A．28π B．48π C．56π D．60π 2．25-26高一下·重庆·期末已知正方体，棱，靠近的三等分点分别为，，平面截正方体得两个几何体，体积分别记为，（），则（        ） A． B． C． D． 3．2025·安徽·模拟预测 已知 是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．2026·广西·模拟预测如下图所示，“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板，而不取决于构成木桶的长木板，这常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为4，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，过N的母线与水平面所成的角大小为45°，且MN为该椭圆水面的长轴．此时图②的盛水方式比图①的盛水方式多盛水的体积为（       ）． A． B． C． D． 5．2025·湖南张家界·模拟预测如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（       ） A． B． C． D． 6．2026·陕西西安·三模如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（       ）     A． B． C． D． 7．2026·江苏无锡·模拟预测如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（       ）     A． B． C． D． 8．2026高一·全国·竞赛专题练习边长为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为分别是对角线和上的动点，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．2026·湖北十堰·模拟预测 将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（     ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 10．25-26高一下·山东菏泽·期末如图，在长方体中，，，M，N，P分别为AB，CD，的中点，则（       ） A．平面 B．直线与CP所成的角等于 C．点P到平面的距离为 D．二面角的大小为 11．25-26高一下·四川眉山·期末 如图，在正三棱柱中，，是的中点，是上的动点，是的中点，是上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（        ）     A．平面 B．正三棱柱外接球的体积为 C．当是的中点时，过点，，的平面截正三棱柱所得图形的面积为 D．若点是上底面的一个动点，且直线与所成角为，则点的轨迹长度为 三、填空题 12．25-26高一下·北京·期末已知空间四边形各边长都为2，则其对角线与所成角为______，当______时，二面角的平面角为． 13．2026·上海·高考真题已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 14．2026·北京·高考真题 已知三棱锥，，，，则它的底面的面积为________，体积为________．     四、解答题 15.2026高一杭二周末练北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为． （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数． 16.2025江苏南京二模如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，，点在平面内的射影恰为的重心. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17.2025高三一轮专题正四棱锥的底面正方形边长是4，是在底面上的射影，，是上的一点，，过且与、都平行的截面为五边形. （1）在图中作出截面（写出作图过程）； （2）求该截面面积. 18.2026高二上广东省佛山市期中已知椭圆的左、右焦点分别为、．经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，把平面沿轴折起来，使轴正半轴和轴确定的半平面，与负半轴和轴所确定的半平面互相垂直． ①若，求异面直线和所成角的大小； ②若折叠后的周长为，求的大小． 19.2025高二上上海期中棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，． （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $