空间向量与立体几何：已知线面角、面面角求其他量问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何中已知线面角、面面角求其他量的专项突破，通过分层例题与变式构建从已知角到未知量的推理链条，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知线面角求其他量|3例+3变式|含长方体、四棱锥等几何体，求长度/体积/面面角|以线面角公式为起点，通过建系求法向量推导未知量| |已知面面角求其他量|3例+3变式|涉及三棱锥、正三棱柱等，求长度/比值/二面角|基于面面角（二面角）定义，结合空间向量运算实现量的转化|

空间向量与立体几何：已知线面角、面面角求其他量问题专项训练 空间向量与立体几何：已知线面角、面面角求其他量问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量问题 已知面面角求其他量问题 考点一 已知线面角求其他量问题 例1．（2025·云南·模拟预测）如图，长方体中，，过点，作平面与直线平行，且与棱交于点，点是线段上一点． (1)直接给出的值（不必说明理由），并求平面截长方体所得截面的面积； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 例2．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考）由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面为菱形，与交于点O，． (1)求证平面； (2)求证平面平面； (3)设，，与底面所成角为，求平面与平面所成角的正弦值． 例3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点． (1)求证：平面平面PAC； (2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长． 变式1．（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 变式2．（2025·福建福州·模拟预测）如图，设点为三棱柱的棱上一动点，满足与总垂直，且侧面是棱长为2的菱形，． (1)若分别为线段的中点，求证：直线平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积． 变式3．（2025·四川成都·二模）如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O． (1)求圆柱的高； (2)证明：； (3)若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值． 考点二 已知面面角求其他量问题 例1．（2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 例2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图所示，在长方体中，点M，N分别是直线，上的动点． (1)若M，N分别为线段，的中点，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求． 例3．（2026·吉林长春·三模）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中.    (1)求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比； (2)若二面角的大小为，求的值. 变式1．（2026·山东聊城·三模）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，分别为，的中点，沿将折起，得到四棱锥，如图2． (1)若平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面平面； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求二面角的余弦值． 变式2．（2026·福建·模拟预测）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，． (1)证明：平面平面； (2)若，且锐二面角的正弦值为，求. 变式3．（2026·贵州毕节·三模）“阳马”一词出自《九章算术·商功》，它是指底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在阳马中，平面，，，，点在棱上，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：已知线面角、面面角求其他量问题专项训练 空间向量与立体几何：已知线面角、面面角求其他量问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量问题 已知面面角求其他量问题 考点一 已知线面角求其他量问题 例1．（2025·云南·模拟预测）如图，长方体中，，过点，作平面与直线平行，且与棱交于点，点是线段上一点． (1)直接给出的值（不必说明理由），并求平面截长方体所得截面的面积； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间直线与平面平行的定义，建立空间坐标系，通过直线方向向量与平面法向量垂直，建立方程求解比例；然后利用空间两点距离公式计算三角形边长，发现三边相等，应用正三角形面积公式得出截面面积. （2）设定动点参数；利用平面内不共线的两个向量求法向量的乘积；再由直线方向向量与平面法向量夹角的正弦公式建立关于参数的方程；最后解一元二次方程并根据动点坐标的取值范围舍去不合题意的解. 【详解】（1）由，得， 以为原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，， 设（）， 平面过，且与直线平行，故， ， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 由可得 所以，即， 截面为，， ， ， 所以是边长为的正三角形， 面积. （2）由（1）知，设，则． 由（1）为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则． 即， 解得或（舍去）． 故． 例2．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考）由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面为菱形，与交于点O，． (1)求证平面； (2)求证平面平面； (3)设，，与底面所成角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 证明：如图补全平行六面体，连接交于点，连接， 在平行六面体，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又所以平面，平面，所以平面. (2) 证明：因为底面是菱形，所以， 又因为，，所以， 又平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. (3) 【分析】（1）补全平行六面体，连接交于点，连接，由平行四边形证得，即可得到线面平行； （2）由底面是菱形，得到，由等腰三角形三线合一得到，从而得到线面垂直，进而得到面面垂直； （3）由几何体的体积先求出几何体的高，建立空间直角坐标系，由与底面所成角为，求出的坐标，进而用向量求出平面与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 因为截后的几何体体积为5，所以平行六面体体积为6， 又因为，，设平行六面体的高为， 所以，所以，， 以O为坐标原点，为x轴，为y轴， 过O与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，则， 又因为，， 因为，所以， 所以，因为与底面所成角为， 平面的一个法向量为， 所以， 又，，由图可知，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，取一个法向量， 所以，， 所以，平面与平面所成角的正弦值. 例3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点． (1)求证：平面平面PAC； (2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长． 【答案】(1)证明：连接BD，因为E，F分别是线段PB，PD的中点，所以． 因为平面平面ABCD，所以，即， 又ABCD为正方形，所以，即， 又平面PAC，所以平面PAC，又平面EFG， 所以平面平面PAC． (2)或． 【分析】（1）连接BD，由线面垂直的性质得到，再由面面垂直的判定定理证明可得； （2）建立如图所示空间直角坐标系，设，求出平面AEF的一个法向量，代入空间线面角公式计算可得. 【详解】（1）略 （2）如图，以为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则， 设，则． 设平面AEF的一个法向量为，则，令得． 设直线AG与平面AEF所成角为，则 解得或，所以或． 变式1．（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 变式2．（2025·福建福州·模拟预测）如图，设点为三棱柱的棱上一动点，满足与总垂直，且侧面是棱长为2的菱形，． (1)若分别为线段的中点，求证：直线平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】(1)在三棱柱中，侧面为平行四边形，又为线段的中点， 连接，则为与的交点，为棱的中点， 因为为线段的中点，所以， 又平面，平面， 所以直线平面． (2)2 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质得到为与的交点，且为棱的中点，从而得到，即可得证； （2）依题意可得平面，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，求出的值，再求出柱体的体积. 【详解】（1）略 （2）因点为棱上一动点，平面，与总垂直， 所以平面， 以为原点，分别为轴建立坐标系，则轴在内且轴， 又侧面是棱长为2的菱形，且， 则，，，设，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 所以与轴重合，即平面， 所以三棱柱的体积． 变式3．（2025·四川成都·二模）如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O． (1)求圆柱的高； (2)证明：； (3)若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)证明：连接，如图所示， AI因为线段与线段交于点，所以，四点共面， 又因为圆柱的上下底面平行，圆平面，圆平面，所以， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以； (3) 【分析】（1）应用圆柱的体积及侧面积公式计算求参即可； （2）结合题意，可通过证明，得到四边形为平行四边形，即可得为线段的中点； （3）利用线面角可得相应长度，从而可建立适当空间直角坐标系，再计算出平面与平面的法向量，最后利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）设圆柱的高为，的半径为， 因为圆柱的体积为，侧面积也为， 所以， 所以， 所以圆柱的高为. （2）连接，如图所示， 因为线段与线段交于点，所以，四点共面， 又因为圆柱的上下底面平行，圆平面，圆平面，所以， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以； （3）延长交于点，连接，因为在上，为的直径， 所以，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面， 所以为直线与下底面所成的角，直线AC与下底面所成角的正切值为， 因为，所以，所以. 因为两两垂直，如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系. 所以，， 所以， 设平面的法向量为， ，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则有，则， 令，则， 设平面与平面所成的锐角为， 所以， 即平面与平面所成锐角的余弦值为. 考点二 已知面面角求其他量问题 例1．（2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，进而得出线线垂直； （2）由已知是直角三角形，根据等积法，求出平面ABC上的高，结合空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）∵，为的中点 ∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）分别取、的中点为F、G，连结、， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形， ∴是直角三角形，，，， ∵、的中点为F、G， ∴，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； （3）在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为. 设， 由（2）知，，， ，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵平面和平面夹角的大小为， ∴， 即， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为，. 例2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图所示，在长方体中，点M，N分别是直线，上的动点． (1)若M，N分别为线段，的中点，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)取中点，连接， 因为为线段的中点，点是中点，所以， 又平面，平面，所以平面 同理，因为为线段，点是中点，所以， 又平面，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面， 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面平行的性质证明线面平行即可. （2）设，根据空间向量法求解二面角的平面角的余弦值，计算求得结果. 【详解】（1）略 （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设， 由，得， ； 设平面的法向量为，则，令，所以， 设平面的法向量为，则，令，所以， 因为二面角的余弦值为 ，可知二面角的平面角为锐角， 所以，即， 当时，，即，解得， 此时二面角的平面角为钝角，舍掉. 当时，，即，解得， 此时二面角的平面角为锐角，因此. 例3．（2026·吉林长春·三模）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中.    (1)求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比； (2)若二面角的大小为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，结合锥体和柱体的体积公式运算求解； （2）建系并标点，求平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角，列式求解即可. 【详解】（1）在正三棱柱中，取中点， 则四棱锥的体积， 正三棱柱的体积， 四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为. （2）在正三棱柱中，取的中点，连结， 因为，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，且平面， 所以平面，且， 故以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，    则， 因为，则， 可得 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 则， 整理得，解得. 变式1．（2026·山东聊城·三模）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，分别为，的中点，沿将折起，得到四棱锥，如图2． (1)若平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面平面； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证得平面，再利用线面平行的性质定理证得； （2）建立空间直角坐标系，设，二面角的平面角为，求出两个平面的法向量，并计算向量的点积，根据法向量的位置关系证明两个平面的位置关系； （3）同（2）问，先求出两个平面的法向量，再根据两平面夹角余弦值列方程求出. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面平面，所以； （2）由题可知，，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 以为原点，分别为轴，轴， 过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，二面角的平面角为，则， 所以， 所以， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 所以，令，则， 所以， 同理，令，则， 所以， 所以， 所以平面平面； （3）由（2）可知， 设平面与平面的法向量分别为， 所以，， 令，则，所以， 令，则，所以， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 即， 解得或（舍去）， 所以二面角的余弦值为. 变式2．（2026·福建·模拟预测）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，． (1)证明：平面平面； (2)若，且锐二面角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取棱的中点，由勾股定理可证，又，利用线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理得证； （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得点在以为圆心，2为半径，过点的圆上，设出点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法结合已知条件列式求出的坐标，得解. 【详解】（1）取棱的中点，因为，所以. 在中，由余弦定理得. 又为等边三角形，所以， 在中，因为，所以，所以， 因为，，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设得，， 又由，可得点在以为圆心，2为半径，过点的圆上，有， 设，则，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 即，可取， 记锐二面角的大小为，， 则， 化简得，且，所以，， 所以，即. 变式3．（2026·贵州毕节·三模）“阳马”一词出自《九章算术·商功》，它是指底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在阳马中，平面，，，，点在棱上，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存点，使得二面角的余弦值为，且点为线段的中点，理由见详解. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，计算两个平面法向量数量积为0即可证明. （2）利用向量法求出平面法向量，利用向量法表示出二面角的大小，建立方程求解分析即可. 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，且平面， 所以以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，则， 又，在棱上，，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 因为，所以，所以平面平面. （2）存在点，使得二面角的余弦值为，且点为线段的中点，理由如下： 设点在线段上，且，则， 当时，重合，得不到二面角不满足题意， 当时，重合，此时二面角即为， 因为平面，即平面，且平面， 所以平面平面，即二面角为直二面角，不满足题意，所以， 由， 所以，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则， 令，则，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则 ，即或， 当时，解得：，当时，无解，故， 即，所以存点，使得二面角的余弦值为，此时点为线段的中点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $