第1章《有理数》单元测试 2026--2027学年沪科版七年级数学上册

**基本信息** 《有理数》单元提优卷，覆盖负数、绝对值、科学记数法等核心知识，通过文化情境（如《九章算术》）、实际应用（出租车行程）及新定义运算，培养抽象能力、运算能力与应用意识，适配初中数学单元复习提优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/20|负数与整数概念（1）、绝对值（3）、科学记数法（4）|《九章算术》引入负数（2）、洛书幻方延伸（10）| |填空题|4/12|温度变化计算（11）、数轴整数识别（13）|“美好关联数”新定义（14）| |解答题|8/68|有理数混合运算（15）、实际行程应用（19）|出租车计费问题（19）、数轴折叠操作探究（22）|

第1章 《有理数》单元测试（提优卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （卷面总分100分，考试用时100分钟） 一、单选题（每题2分，共20分） 1．下列各数中，既是负数，又是整数的是（　　） A． B． C．0 D．0.5 2．中国古代著作 《九章算术》 在数学史上首次正式引入负数，如果收入元记作元，那么支出元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．如果|x|=6，那么x的值等于（    ） A．6 B．－6 C．－6或6 D．不能确定 4．我国南海海域面积约为3500000km2，用科学记数法表示数3500000为（ ） A．0.35×107 B．3.5×106 C．3.5×105 D．35×105 5．对于任意有理数,定义一种新运算“⊕”，规则如下：，例如：，则的值为（    ） A． B．11 C． D．29 6．在苏果超市，某品牌的食品包装袋上“质量”标注：500g±10g下列待检查的各袋食品中质量合格的是（　　） A．530g B．515g C．480g D．495g 7．下列说法正确的是（    ） A．0既没有倒数也没有相反数 B．一个数的相反数一定比这个数本身小 C．只有的平方等于它本身 D．任何一个有理数都可以写成分数的形式 8．数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 9．如果a、b、c都不为零，且，则的所有可能的值为（    ） A．0 B．1或 C．2或 D．0或 10．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 二、填空题（每题3分，共12分） 11．某市一天上午的气温是，下午上升，半夜下降了，半夜气温是______． 12．比较大小：_____ ．（填“＜”或“＞”）． 13．如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数是________． 14．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，，则4和3关于1的“美好关联数”为5．若m和n关于4的“美好关联数”为2，则的最小值为______． 三、解答题（共68分） 15．（本题8分）计算 （1） （2） 16．（（本题8分））将下列各数填在相应的圆圈里（每个数只能写在一个对应区域）： +6，8，75， |0.4| ，0，23%，（1.8） 17．（本题8分）将，，2，，0在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． 18．（本题8分）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 19．（本题8分）某一出租车一天下午以孝武超市为出发点在南北方向营运，向北为正，向南为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下：+9，+2，-5，-4，-12，+8，+3，-1，-4，+10. （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离孝武超市出发点多远？ （2）直接写出该出租车行驶过程中，离孝武超市最远的距离是 （3）若每千米出租车耗油0.15升，求该出租车这天下午共耗油多少升？ （4）出租车按物价部门规定，行程不超过3km，按起步价10元收费，若行程超过3km，则超过的部分，每千米加收1.6元，该司机这个下午的营业额是多少？ 20．（本题8分）我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用分配律．对于下面这道计算题：，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒数：×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣请你仿照以上小明的做法计算： 21．（本题10分）对于有理数，，， ，若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则和关于的“友谊数”为． (1)和关于的“友谊数”为 ； (2)若和关于的“友谊数”为，求的值； (3)有一组有理数，分别记为，若和关于的“友谊数”为，和关于的“友谊数为，和关于的“友谊数”为，……，和关于的“友谊数”为． ①则的最大值为 ； ②则的最小值为 ． 22．（本题10分）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： （1）折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 《有理数》单元测试（提优卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （卷面总分100分，考试用时100分钟） 一、单选题 1．下列各数中，既是负数，又是整数的是（　　） A． B． C．0 D．0.5 【答案】A 【分析】根据整数和负数的定义即可得出答案； 【详解】解：-4是负数，也是整数，符合题意； 是负数，也是分数，不符合题意； 0既不是正数也不是负数，不符合题意； 0.5是正数，也是分数，不符合题意； 故选：A 【点睛】此题考查了有理数的分类，属于基础题，解答本题的关键是掌握负数和分数的特点，难度一般． 2．中国古代著作 《九章算术》 在数学史上首次正式引入负数，如果收入元记作元，那么支出元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据相反意义关系，规定一方为正，相反的方向为负即可得到答案． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元记作元， 故选B． 【点睛】本题考查相反意义量：规定一方为正，相反的方向为负． 3．如果|x|=6，那么x的值等于（    ） A．6 B．－6 C．－6或6 D．不能确定 【答案】C 【详解】∵， ∴. 故选C. 4．我国南海海域面积约为3500000km2，用科学记数法表示数3500000为（ ） A．0.35×107 B．3.5×106 C．3.5×105 D．35×105 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 【详解】解：将3500000用科学记数法表示为3.5×106． 故选：B 【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 5．对于任意有理数,定义一种新运算“⊕”，规则如下：，例如：，则的值为（    ） A． B．11 C． D．29 【答案】C 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解公式及所求式子中对应的a与b的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 6．在苏果超市，某品牌的食品包装袋上“质量”标注：500g±10g下列待检查的各袋食品中质量合格的是（　　） A．530g B．515g C．480g D．495g 【答案】D 【分析】先分别计算出净重的最大值和最小值，再确定合格范围，即可得出答案． 【详解】解：净重的最大值是500+10=510（g）， 净重的最小值是500-10=490（g）， 这种食品的净重在490g～510g之间都是合格的，所以质量合格的是495g. 故选：D． 【点睛】本题考查了正数和负数的知识，要能读懂题意，正确理解500±5克的实际意义，分别计算最大值和最小值来确定合格范围． 7．下列说法正确的是（    ） A．0既没有倒数也没有相反数 B．一个数的相反数一定比这个数本身小 C．只有的平方等于它本身 D．任何一个有理数都可以写成分数的形式 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的内容，掌握有关概念是关键．0没有倒数，有相反数；不是所有数的相反数一定比它本身小；0和1的平方等于它本身；任何一个有理数都可以写成分数的形式． 【详解】解：A、0没有倒数，有相反数，故本选项错误，不符合题意； B、负数的相反数比它本身大，故本选项错误，不符合题意； C、，，故本选项错误，不符合题意； D、任何一个有理数都可以写成分数的形式的说法正确，符合题意； 故选D． 8．数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键． 观察数轴得出，在数轴上表示出、，即可由图得出结论． 【详解】解：由图得， 在数轴上表示出、为： 由图可得：， 故选：C． 9．如果a、b、c都不为零，且，则的所有可能的值为（    ） A．0 B．1或 C．2或 D．0或 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c为非零有理数，且， ∴a、b、c只能为两正一负或一正两负． ①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负， 原式， ②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负， 原式， 综上，的值为0， 故选：A． 10．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律题，熟练找准规律是解题的关键． 根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，可以得到、、的关系，观察发现，小正方形的顶点数字和与左上斜线的数字和之间的关系，进而分情况讨论求解即可． 【详解】解：假设填数图中右上角为、左下角为、中间右下角为， 每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，设为， 则， 即， 根据得：， 所有数的总和为： ， 则， 即 因此； 由题意可知，、、、为2、、6、中的数， 由可得， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 综上，该填数图余下的空位一共有种填法． 故选：B． 二、填空题 11．某市一天上午的气温是，下午上升，半夜下降了，半夜气温是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算的应用，根据题意列出算式，然后根据有理数加减法运算法则进行计算求解． 【详解】解： 故答案为：． 12．比较大小：_____ ．（填“＜”或“＞”）． 【答案】< 【详解】解：， 故. 故答案是：＜ 13．如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数是________． 【答案】0，1 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键．根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴可知：墨迹盖住的整数有0，1． 故答案为：0，1． 14．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，，则4和3关于1的“美好关联数”为5．若m和n关于4的“美好关联数”为2，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】本题考查绝对值的意义、整式的加减，理解题中新定义是关键．利用新定义得到，利用绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵m和n关于4的“美好关联数”为2， ∴， ∴当，时，有，则； ∴当，时，有，则， ∴； 当，时，有，则， ∴； 当，时，有，则， 综上，， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 三、解答题 15．计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用乘法的分配律去括号，最后计算加减运算即可得到结果； （2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可得到结果； 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．将下列各数填在相应的圆圈里（每个数只能写在一个对应区域）： +6，8，75， |0.4| ，0，23%，（1.8） 【答案】见详解 【分析】根据有理数的分类可进行求解． 【详解】解：， 【点睛】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 17．将，，2，，0在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． 【答案】 . 【分析】首先把，，化简，再在数轴上表示出各数，根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大可以得到答案． 【详解】，， 在数轴上表示出来为： ， 【点睛】此题主要考查了绝对值，相反数，在数轴上表示数，关键是正确在数轴上表示出个数，然后比较大小． 18．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 【答案】(1)二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序及有理数除法的运算法则即可解答； （2）先计算括号内的有理数乘法，再将除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步错误，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步错误，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）解： ． 19．某一出租车一天下午以孝武超市为出发点在南北方向营运，向北为正，向南为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下：+9，+2，-5，-4，-12，+8，+3，-1，-4，+10. （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离孝武超市出发点多远？ （2）直接写出该出租车行驶过程中，离孝武超市最远的距离是 （3）若每千米出租车耗油0.15升，求该出租车这天下午共耗油多少升？ （4）出租车按物价部门规定，行程不超过3km，按起步价10元收费，若行程超过3km，则超过的部分，每千米加收1.6元，该司机这个下午的营业额是多少？ 【答案】　(1)　6km；(2)　11km；(3)　8.7升；　(4)　149.6元 【分析】（1）将+9，+2，-5，-4，-12，+8，+3，-1，-4，+10相加，取结果的绝对值即可； (2)依据题意可求出答案； （3）将+9，+2，-5，-4，-12，+8，+3，-1，-4，+10的绝对值相加，再乘以0.15即可． （4）将每一单的收费计算出来，即可算出下午的营业额. 【详解】解：（1）（+9）+（+2）+（-5）+（-4）+（-12）+（+8）+（+3）+（-1）+（-4）+（+10）=+6， ∴出租车离出发点孝武超市6千米远． （2）离孝武超市最远的距离是11km； （3）|+9|+|+2|+|-5|+|-4|+|-12|+|+8|+|+3|+|-1|+|-4|+|+10|=58千米， 58×0.15=8.7升， ∴从出发地出发到收工时共耗油8.7升． （4）不超过3千米的有：|+2|+|+3|+|-1|=6千米，收费为：3×10=30元； 超过3千米的有：|+9|+|-5|+|-4|+|-12|+|+8|+|-4|+|+|10|=52千米，其收费为7×10+(52-3×7)×1.6=119.6元， 综上所述，这个下午的营业额是119.6+30=149.6元. 【点睛】本题考查了正负数的意义以及正负数的有关计算，是基础知识比较简单. 20．我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用分配律．对于下面这道计算题：，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒数：×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣请你仿照以上小明的做法计算： 【答案】 【分析】仿照小明的做法，计算即可求出所求． 【详解】解：先求原式的倒数= ＝（1﹣1﹣+）×（﹣24） ＝﹣24+36+9﹣14 ＝7， 则原式＝． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．对于有理数，，， ，若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则和关于的“友谊数”为． (1)和关于的“友谊数”为 ； (2)若和关于的“友谊数”为，求的值； (3)有一组有理数，分别记为，若和关于的“友谊数”为，和关于的“友谊数为，和关于的“友谊数”为，……，和关于的“友谊数”为． ①则的最大值为 ； ②则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义； （1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【详解】（1）解：和2关于3的“友谊数”为： ； （2）解：∵和关于的“友谊数”为， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 故答案为：． ②由题意可知：和关于的“友谊数为， ∴， ∴， ∴当和均在上时，取最小值，且最小值； 和关于3的“友谊数”为1， ∴， ∴， ∴当和均在上时，取最小值，且最小值； 和关于4的“友谊数”为1， ∴， ∵ ∴当和均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值为； ，的最小值； 和关于的“友谊数”为 ，的最小值； ∴的最小值为： ． 故答案为：． 22．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： （1）折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少． 【答案】（1）；（2）①；②和． 【分析】本题考查了有理数的运算与数轴的应用； （1）与重合，可以发现与互为相反数，因此表示的点与表示的点重合； （2）①表示的点与表示的点重合，则折痕点为，因此表示的点与数表示的点重合；②由①知折痕点为，且、两点之间距离为，则B点表示，A表示． 【详解】解：（1）与重合， 折痕点为原点， 表示的点与表示的点重合． 故答案为． （2）①∵由表示的点与表示的点重合， 可确定对称点是表示的点， 表示的点与数表示的点重合． 故答案为； ②由题意可得，，两点距离对称点的距离为 ， 对称点是表示的点， 、两点表示的数分别是，， 即、两点表示的数是和 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $