专题01一元二次方程及其解法题型专练-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程全体系，从定义、形式到解法及根的性质，构建概念-应用-深化的递进逻辑，通过多样化题型培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|5题|判断方程类型及参数条件|概念基础，明确一元二次方程要素| |一般形式|5题|化为标准形式及系数确定|定义延伸，为解法铺垫| |方程的解|7题|根的代入、代数式求值|连接方程与代数式，培养推理意识| |配方法|9题|配方变形及解方程|转化思想，体现数学思维严谨性| |公式法|7题|公式应用及方程求解|配方法的一般化，培养运算能力| |因式分解法|11题|因式分解解方程及应用|特殊方程快捷解法，强化转化能力| |根的判别式|9题|根的情况判断及参数范围|深化方程性质，培养逻辑推理| |根与系数关系|7题|两根关系应用及求值|方程根的整体性质，提升数学语言表达|

专题01一元二次方程及其解法题型专练 题型一 一元二次方程的定义 1．（2026春•苍梧县期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．3（x+1）2＝2（x+1） B． C．ax2+bx+c＝0 D．2x﹣3＝1 2．（2026春•海门区校级期中）下列方程中，一元二次方程的个数有（　　） （1）2x2﹣3＝0；（2）x2+y2＝5；（3）x2﹣5x＝0；（4）x22． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025秋•闵行区校级期末）若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．2y2 B．22 C．3x2 D．x 4．（2026春•顺义区校级期中）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是　 　 ． 5．（2025秋•瑞昌市月考）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x+5＝0． （1）当m满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ （2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 题型二 一元二次方程的一般形式 6．（2026春•苍梧县期中）将一元二次方程3x2﹣2＝x化成一般形式后，常数项是﹣2，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．3，﹣2 B．3，1 C．3，﹣1 D．3，0 7．（2026春•威海期末）关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 8．（2026春•舒城县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 9．（2026春•苍南县期中）将一元二次方程x（x+2）＝1化为一般式为　 　 ． 10．（2025秋•武侯区校级期末）将方程（x﹣1）（x+4）＝3化为一般形式得x2+bx+c＝0，则b+c＝　 　 ． 题型三 一元二次方程的解 11．（2025秋•呼伦贝尔期末）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个实数根，则a的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2025秋•隆昌市校级期末）如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 13．（2025秋•嵩县期末）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 14．（2026•嘉陵区二模）关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0有一个根为x＝﹣1，则实数a，b之间的关系为　 　 ． 15．（2026春•临淄区期末）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，试求的值． 16．（2026春•安庆校级期中）已知t是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，求： （1）代数式3t2﹣6t+4的值； （2）代数式t3﹣4t2+2t+1的值． 17．（2026•越秀区校级三模）已知A＝（2x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x． （1）化简A； （2）若x为方程x2+2x﹣3＝0的解，求A的值． 题型四 解一元二次方程-配方法 18．（2026•焦作开学）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0，原方程应变形为（　　） A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝4 D．（x﹣2）2＝4 19．（2026春•宁海县校级期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x+1）2＝4 20．（2026春•安庆校级期中）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，若配方后结果为（x﹣m）2＝n，则m﹣n的值为（　　） A．﹣13 B．13 C．﹣7 D．7 21．（2026春•鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝　 　 ． 22．（2026春•庐阳区校级期中）用配方法解一元二次方程9x2+bx+a＝0得，则a的值为　 　 ． 23．（2026•安庆二模）解方程：x2﹣6＝﹣2（x+1） 24．（2026•颍东区模拟）解方程：x2﹣4x＝1． 25．（2026春•杨浦区校级期中）（用配方法解方程）2x2﹣3x﹣3＝0． 26．（2025秋•白山期末）解方程：x2﹣10x+6＝0． 题型五 解一元二次方程-公式法 27．（2026春•桥西区期末）用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 28．（2026•福州校级模拟）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 29．（2026•新疆一模）一元二次方程2x2﹣3x＝1的根为　 　 ． 30．（2026春•绵阳期末）已知a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，则　 　 ． 31．（2026•龙沙区三模）解方程x2+3x﹣1＝0． 32．（2026•依安县校级三模）用公式法解方程：5x2﹣4x﹣1＝0． 33．（2026春•凤阳县期末）解方程：（2x﹣1）（x+3）＝4． 题型六 解一元二次方程-因式分解法 34．（2025秋•祥符区期末）方程x（x﹣2）＝x﹣2的解为（　　） A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 35．（2026•乌当区校级二模）关于x的一元二次方程x2+5x＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 36．（2026•黄冈模拟）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝2x，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得x＝2． 移项，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0． ∴x﹣2＝0或x＝0，解得x1＝2，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 37．（2026春•长武县校级期末）方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定 38．（2026春•拱墅区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1，则a的值为 　 　 ． 39．（2026春•萨尔图区校级月考）已知2x2+5xy﹣7y2＝0，且y≠0，则的值　 　 ． 40．（2026•龙江县一模）解方程：x2﹣4x+3＝0． 41．（2026•东光县模拟）用适当的方法解方程． （1）x2＝8x+9； （2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）． 42．（2025秋•奈曼旗期末）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 43．（2026春•上城区校级期中）解方程： （1）x2+4x+3＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 44．（2026春•顺义区校级期中）计算： （1）x2﹣10x+21＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1． 题型七 根的判别式 45．（2026•渭源县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 46．（2025秋•呼伦贝尔期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（　　） A．﹣2026 B．4 C． D． 47．（2026•叶县三模）关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 48．（2026•雷州市校级模拟）已知关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围为　 　 ． 49．（2026春•上城区校级期中）关于x的方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，则m能取的所有正整数的和为　 　 ． 50．（2025秋•新余校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣3＝0（k为常数）． （1）若方程的一个根为2，求k的值； （2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 51．（2026•南充模拟）a为实数，关于x的方程为（2a+2）x2﹣3（a﹣3）x﹣2a+4＝0． （1）求证：原方程一定有实数根． （2）若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数a的值． 52．（2026春•河口区期末）已知关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m+2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，求m的值． 53．（2026春•奉化区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 题型八 根与系数的关系 54．（2026•南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 55．（2026•内江模拟）若x1，x2是方程x2﹣10x﹣1＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　） A．11 B．10 C．﹣9 D．0 56．（2026•马鞍山三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+4＝0的两个根为x1，x2，且满足x1+x2＝x1•x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 57．（2026•江州区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0的两实数根之积等于m2﹣9m+2，则m的值为（　　） A．0 B．﹣10 C．10 D．0 或10 58．（2026春•肥城市期末）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则m2﹣mn+n﹣2m的值为　 　 ． 59．（2026春•仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根为x1，x2，求的值． 60．（2026春•成武县期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围．； （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程及其解法题型专练 题型一 一元二次方程的定义 题型二 一元二次方程的一般形式 题型三 一元二次方程的解 题型四 解一元二次方程-配方法 题型五 解一元二次方程-公式法 题型六 解一元二次方程-因式分解法 题型七 根的判别式 题型八 根与系数的关系 题型一 一元二次方程的定义 1．（2026春•苍梧县期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．3（x+1）2＝2（x+1） B． C．ax2+bx+c＝0 D．2x﹣3＝1 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可． 【解答】解：A、3（x+1）2＝2（x+1），整理得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有分式，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（2026春•海门区校级期中）下列方程中，一元二次方程的个数有（　　） （1）2x2﹣3＝0；（2）x2+y2＝5；（3）x2﹣5x＝0；（4）x22． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断每个方程是否符合要求，统计符合定义的方程个数即可，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【解答】解：由题意，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． （1）对于2x2﹣3＝0，符合定义，故是一元二次方程； （2）对于x2+y2＝5，含有x和y两个未知数，不符合定义，则不是一元二次方程； （3）对于x2﹣5x＝0，符合题意，故是一元二次方程； （4）对，分母含有未知数x，不是整式方程，故不符合定义，则不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 故选：B． 3．（2025秋•闵行区校级期末）若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．2y2 B．22 C．3x2 D．x 【答案】C 【分析】需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可． 【解答】解：根据一元二次方程定义对各选项分析如下： A选项：代入后方程为6x﹣2＝2y2，含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程定义； B选项：代入后方程为6x﹣2＝22，整理得6x﹣24＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； C选项：代入后方程为6x﹣2＝3x2，整理得3x2﹣6x+2＝0，只含一个未知数x，且x的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意； D选项：代入后方程为6x﹣2＝x，整理得5x﹣2＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 4．（2026春•顺义区校级期中）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是m＝±3　 ． 【答案】m＝±3． 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出等式与不等式求解即可． 【解答】解：由题意得|m|﹣1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝±3， 故答案为：m＝±3． 5．（2025秋•瑞昌市月考）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x+5＝0． （1）当m满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ （2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】（1）m＝﹣2； （2）m≠±2． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：（1）由题意得m2﹣4＝0且m﹣2≠0． 解得m＝﹣2； （2）由题意得m2﹣4≠0， 解得m≠±2． 题型二 一元二次方程的一般形式 6．（2026春•苍梧县期中）将一元二次方程3x2﹣2＝x化成一般形式后，常数项是﹣2，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．3，﹣2 B．3，1 C．3，﹣1 D．3，0 【答案】C 【分析】将方程整理为一般形式ax2+bx+c＝0，确定各项系数即可求解． 【解答】解：根据题意可知，方程3x2﹣2＝x的一般形式为3x2﹣x﹣2＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项为﹣2， ∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣1． 故选：C． 7．（2026春•威海期末）关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义和一般形式作答． 【解答】解：A、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，二次项系数为1，说法正确； B、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，一次项系数为﹣6，说法正确； C、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，常数项为3，说法错误； D、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，它是一元二次方程，说法正确； 故选：C． 8．（2026春•舒城县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 【答案】C 【分析】根据二次项的系数不等于0，常数项等于0即可得出答案． 【解答】解：根据题意得：， 解得：m＝﹣2． 故选：C． 9．（2026春•苍南县期中）将一元二次方程x（x+2）＝1化为一般式为x2+2x﹣1＝0　 ． 【答案】x2+2x﹣1＝0． 【分析】去括号，移项，即可得出答案． 【解答】解：x（x+2）＝1， x2+2x﹣1＝0， 故答案为：x2+2x﹣1＝0． 10．（2025秋•武侯区校级期末）将方程（x﹣1）（x+4）＝3化为一般形式得x2+bx+c＝0，则b+c＝　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】利用一元二次方程的一般形式进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣1）（x+4）＝3， x2+4x﹣x﹣4＝3， x2+4x﹣x﹣4﹣3＝0， x2+3x﹣7＝0， ∴b＝3，c＝﹣7， ∴b+c＝3+（﹣7）＝﹣4， 故答案为：﹣4． 题型三 一元二次方程的解 11．（2025秋•呼伦贝尔期末）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个实数根，则a的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值． 【解答】解：由题意得：将x＝﹣1代入原方程，得（﹣1）2+2×（﹣1）+a＝0， 计算得1﹣2+a＝0， 整理得a﹣1＝0， 解得a＝1， 故选：C． 12．（2025秋•隆昌市校级期末）如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【答案】C 【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2﹣2m＝1，再将其代入原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025＝﹣2×1+2025＝2023． 故选：C． 13．（2025秋•嵩县期末）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 【答案】B 【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2． 【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0， x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0， ∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0， 即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2， 故选：B． 14．（2026•嘉陵区二模）关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0有一个根为x＝﹣1，则实数a，b之间的关系为a﹣b＝1　 ． 【答案】a﹣b＝1． 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根x＝﹣1代入原方程，化简整理即可得到a与b的关系． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0，得a×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣1＝0， 整理得a﹣b﹣1＝0， 所以a﹣b＝1， 故答案为：a﹣b＝1． 15．（2026春•临淄区期末）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，试求的值． 【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程的解计算即可． 【解答】解：由条件可得：a2﹣2026a+1＝0， ∴a2+1＝2026a，a2﹣2025a＝a﹣1， ∴． 16．（2026春•安庆校级期中）已知t是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，求： （1）代数式3t2﹣6t+4的值； （2）代数式t3﹣4t2+2t+1的值． 【答案】（1）10； （2）﹣3． 【分析】（1）将x＝t代回方程并将其变形得t2﹣2t＝2，进而即可求解； （2）由（1）可得t2＝2t+2，将t3变形为2t2+2t，再将其代回原式即可求解． 【解答】解：（1）当x＝t时，t2﹣2t﹣2＝0 t2﹣2t＝2， ∵3t2﹣6t+4＝3（t2﹣2t）+4， ∴原式＝3×2+4 ＝10； （2）由（1）得，t2﹣2t＝2， ∴t2＝2t+2， ∴t3＝t•t2 ＝t（2t+2） ＝2t2+2t， ∴原式＝（2t2+2t）﹣4t2+2t+1 ＝﹣2t2+4t+1 ＝﹣2（t2﹣2t）+1 ＝﹣2×2+1 ＝﹣3． 17．（2026•越秀区校级三模）已知A＝（2x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x． （1）化简A； （2）若x为方程x2+2x﹣3＝0的解，求A的值． 【答案】（1）3x2+6x+10； （2）19． 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到x2+2x＝3，再根据A＝3x2+6x+10＝3（x2+2x）+10计算求解即可． 【解答】解：（1）A＝（2x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x ＝4x2+4x+1﹣（x2﹣9）+2x ＝3x2+6x+10； （2）由条件可知：x2+2x﹣3＝0， ∴x2+2x＝3， ∴A＝3x2+6x+10＝3（x2+2x）+10＝3×3+10＝9+10＝19． 题型四 解一元二次方程-配方法 18．（2026•焦作开学）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0，原方程应变形为（　　） A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝4 D．（x﹣2）2＝4 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到结果． 【解答】解：原方程移项得x2﹣2x＝3， 方程两边同时加1，得x2﹣2x+1＝3+1， 整理得（x﹣1）2＝4． 故选：C． 19．（2026春•宁海县校级期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x+1）2＝4 【答案】A 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， 移项，得x2﹣2x＝5， 两边都加1，得x2﹣2x+1＝5+1， 配方，得（x﹣1）2＝6． 故选：A． 20．（2026春•安庆校级期中）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，若配方后结果为（x﹣m）2＝n，则m﹣n的值为（　　） A．﹣13 B．13 C．﹣7 D．7 【答案】C 【分析】根据题意先给x2﹣6x﹣1＝0配方求出m，n的值，再求出代数式的值即可． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0， ∴x2﹣6x＝1， ∴x2﹣6x+9＝1+9， ∴（x﹣3）2＝10， ∵（x﹣m）2＝n， ∴m＝3，n＝10， ∴m﹣n＝3﹣10＝﹣7， 即m﹣n的值为﹣7． 故选：C． 21．（2026春•鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】利用配方法把方程x2﹣6x+a＝0化为（x+b）2＝7的形式，进而求出a、b，代入计算即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+a＝0， ∴x2﹣6x+9＝﹣a+9， ∴（x﹣3）2＝﹣a+9， ∵关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7， ∴b＝﹣3，﹣a+9＝7， ∴a＝2， ∴（a+b）2026＝（2﹣3）2026＝1． 故答案为：1． 22．（2026春•庐阳区校级期中）用配方法解一元二次方程9x2+bx+a＝0得，则a的值为　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为9x2﹣18x+3＝0，再通过对比系数求出a的值． 【解答】解：两边平方得（3x﹣3）2＝6， 展开左边得9x2﹣18x+9＝6， 整理得9x2﹣18x+3＝0， 原方程为9x2+bx+a＝0， 对比系数，可得a＝3． 故答案为：3． 23．（2026•安庆二模）解方程：x2﹣6＝﹣2（x+1） 【答案】见试题解答内容 【分析】方程变形后，配方为完全平方式，开方即可求出解． 【解答】解：方程整理得：x2+2x＝4， 配方得：x2+2x+1＝5，即（x+1）2＝5， 开方得：x+1＝±， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1． 24．（2026•颍东区模拟）解方程：x2﹣4x＝1． 【答案】见试题解答内容 【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【解答】解：配方得x2﹣4x+4＝1+4， 即（x﹣2）2＝5， 开方得x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2． 25．（2026春•杨浦区校级期中）（用配方法解方程）2x2﹣3x﹣3＝0． 【答案】，． 【分析】先把x的系数化为1，再利用配方法求解即可． 【解答】解：2x2﹣3x﹣3＝0， x的系数化为1得，， 移项得，， 方程两边同时加二次项系数一半的平方得，， ， ， 解得，． 26．（2025秋•白山期末）解方程：x2﹣10x+6＝0． 【答案】，． 【分析】利用配方法解方程即可． 【解答】解：由题意得，x2﹣10x＝﹣6， ∴x2﹣10x+25＝19， ∴（x﹣5）2＝19， ∴， ∴，． 题型五 解一元二次方程-公式法 27．（2026春•桥西区期末）用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【解答】解：原方程移项得x2﹣2x﹣1＝0， ， 对比题干给出的式子，可知□处应填2． 故选：C． 28．（2026•福州校级模拟）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 【答案】B 【分析】通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴， ∴﹣b＝1，2a＝6， 解得b＝﹣1，a＝3， ∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）， ∴c＝﹣5， ∴原方程为3x2﹣x﹣5＝0， 故选：B． 29．（2026•新疆一模）一元二次方程2x2﹣3x＝1的根为　，　 ． 【答案】，． 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，计算根的判别式Δ＝b2﹣4ac，再利用求根公式 求解即可． 【解答】解：2x2﹣3x＝1， 2x2﹣3x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0， ∴， ∴，． 30．（2026春•绵阳期末）已知a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，则　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据题意将a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3代入计算即可． 【解答】解：由条件可得： ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 31．（2026•龙沙区三模）解方程x2+3x﹣1＝0． 【答案】，． 【分析】根据公式法求解即可． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，则方程有两个不相等的实数根， ， 即，． 32．（2026•依安县校级三模）用公式法解方程：5x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】x1＝1，x2． 【分析】先求出判别式的值，判断是否是非负数，再代入求根公式可得答案 【解答】解：∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0， 则x， 即x1＝1，x2． 33．（2026春•凤阳县期末）解方程：（2x﹣1）（x+3）＝4． 【答案】x1＝1，． 【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式；利用求根公式求出方程的解． 【解答】解：（2x﹣1）（x+3）＝4， 2x2+5x﹣7＝0， ∵a＝2，b＝5，c＝﹣7， ∴Δ＝b2﹣4ac＝81， ∴， ∴x1＝1，． 题型六 解一元二次方程-因式分解法 34．（2025秋•祥符区期末）方程x（x﹣2）＝x﹣2的解为（　　） A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 【答案】D 【分析】可通过因式分解法解方程，注意不能直接约去含未知数的因式，避免漏根． 【解答】解：原方程移项可得： x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝1，x2＝2． 故选：D． 35．（2026•乌当区校级二模）关于x的一元二次方程x2+5x＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 【答案】C 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：x2+5x＝0， x（x+5）＝0， x＝0或x+5＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣5． 故选：C． 36．（2026•黄冈模拟）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝2x，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得x＝2． 移项，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0． ∴x﹣2＝0或x＝0，解得x1＝2，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 【答案】B 【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可． 【解答】解：由题意得，甲同学的解法错误，理由如下： 方程两边不能同时除以x，因为x可能为0，这样会漏解； 乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确， ∴完全正确的是乙同学． 故选：B． 37．（2026春•长武县校级期末）方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出方程的解，根据等腰三角形的性质得出两种情况，①当等腰三角形的三边为4，4，5，②当等腰三角形的三边为4，5，5，再求出答案即可． 【解答】解：x2﹣9x+20＝0， （x﹣4）（x﹣5）＝0， x﹣4＝0或x﹣5＝0， 解得：x＝4或5， ①当等腰三角形的三边为4，4，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+4+5＝13， ②当等腰三角形的三边为4，5，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+5+5＝14， 所以等腰三角形的周长是13或14， 故选：C． 38．（2026春•拱墅区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1，则a的值为 　1　 ． 【答案】1． 【分析】利用因式分解法解方程得x1＝5，x2＝a，从而可确定a的值． 【解答】解：∵（x﹣5）（x﹣a）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣a＝0， 解得x1＝5，x2＝a， ∵关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1， ∴a＝1． 故答案为：1． 39．（2026春•萨尔图区校级月考）已知2x2+5xy﹣7y2＝0，且y≠0，则的值　﹣3.5或1　 ． 【答案】﹣3.5或1 【分析】方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程变形得：2（）2+5•7＝0， 分解因式得：（2•7）（1）＝0， 解得：3.5或1， 故答案为：﹣3.5或1 40．（2026•龙江县一模）解方程：x2﹣4x+3＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用因式分解法解出方程． 【解答】解：x2﹣4x+3＝0 （x﹣1）（x﹣3）＝0 x﹣1＝0或x﹣3＝0 x1＝1，x2＝3． 41．（2026•东光县模拟）用适当的方法解方程． （1）x2＝8x+9； （2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）． 【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣1； （2）． 【分析】（1）把方程整理成一般形式，用因式分解法解方程即可： （2）移项后用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程整理得：x2﹣8x﹣9＝0， （x﹣9）（x+1）＝0， x﹣9＝0，x+1＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣1； （2）整理得：3（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣5）＝0， x﹣1＝0，3x﹣5＝0， 解得：． 42．（2025秋•奈曼旗期末）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝1； （2）x1，x2． 【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便； （2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2． 43．（2026春•上城区校级期中）解方程： （1）x2+4x+3＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝﹣1； （2）x1＝3，x2． 【分析】（1）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）∵x2+4x+3＝0， ∴（x+3）（x+1）＝0， x+3＝0或x+1＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1； （2）∵2x（x﹣3）+x＝3， ∴2x（x﹣3）+x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（2x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或2x+1＝0， ∴x1＝3，x2． 44．（2026春•顺义区校级期中）计算： （1）x2﹣10x+21＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1． 【答案】（1）x1＝3，x2＝7； （2）． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先整理原方程，再利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程因式分解可得： （x﹣3）（x﹣7）＝0， x﹣3＝0或x﹣7＝0， x1＝3，x2＝7． （2）原方程移项可得： 5x2﹣4x﹣1＝0， （5x+1）（x﹣1）＝0， 5x+1＝0，x﹣1＝0， ． 题型七 根的判别式 45．（2026•渭源县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】B 【分析】根据根的判别式解答即可． 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0， 整理得16﹣4c＝0， 解得c＝4． 故选：B． 46．（2025秋•呼伦贝尔期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（　　） A．﹣2026 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义要求二次项系数不为0，结合两个不相等的实数根对应判别式大于0，据此列不等式可求出m的取值范围，再结合各选项即可解答． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根． ∴， 解得且m≠3，即选项A符合题意． 故选：A． 47．（2026•叶县三模）关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根． 故选：C． 48．（2026•雷州市校级模拟）已知关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围为k＜﹣1　 ． 【答案】k＜﹣1． 【分析】根据根的判别式，即可求出k的取值范围． 【解答】解：根据根的判别式可得：（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0， 解得：k＜﹣1． 故答案为：k＜﹣1． 49．（2026春•上城区校级期中）关于x的方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，则m能取的所有正整数的和为　6　 ． 【答案】6． 【分析】当m＝1时，是一次方程，方程的解为x，当m≠1时，是一元二次方程，根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果． 【解答】解：当m﹣1＝0时，m＝1， 方程为﹣4x+4+6＝0，方程的解为x， 当m﹣1≠0时，则Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0， 解得m≤3且m≠1． 故m能取的正整数值为1，2，3，其和为6． 故答案为：6． 50．（2025秋•新余校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣3＝0（k为常数）． （1）若方程的一个根为2，求k的值； （2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）﹣1； （2）证明：∵x2+kx﹣k﹣3＝0中a＝1，b＝k，c＝﹣k﹣3， ∴Δ＝k2﹣4×1×（﹣k﹣3）＝k2+4k+12＝（k+2）2+8， ∴（k+2）2+8＞0，即Δ＞0， ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【分析】（1）将x＝2代入方程，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值； （2）计算方程的判别式，通过配方证明Δ＞0，从而证明方程总有两个不相等的实数根． 【解答】（1）解：由条件可得：22+2k﹣k﹣3＝0， 解得k＝﹣1； （2）证明：∵x2+kx﹣k﹣3＝0中a＝1，b＝k，c＝﹣k﹣3， ∴Δ＝k2﹣4×1×（﹣k﹣3）＝k2+4k+12＝（k+2）2+8， ∴（k+2）2+8＞0，即Δ＞0， ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 51．（2026•南充模拟）a为实数，关于x的方程为（2a+2）x2﹣3（a﹣3）x﹣2a+4＝0． （1）求证：原方程一定有实数根． （2）若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数a的值． 【答案】（1）证明：当2a+2＝0时，a＝﹣1． 此时原方程为12x+6＝0．有实数根． 当2a+2≠0时，Δ＝9（a﹣3）2+4（2a+2）（2a﹣4） ＝9（a2﹣6a+9）+4（4a2﹣4a﹣8） ＝9a2﹣54a+81+16a2﹣16a﹣32 ＝25a2﹣70a+49 ＝（5a﹣7）2≥0， ∴原方程有两个实数根， 综上，原方程一定有实数根． （2）a的值为2，或5． 【分析】（1）需分二次项系数2a+2是否为0两种情况讨论．当2a+2＝0时，方程为一次方程，有实数根；当2a+2≠0时，计算并证明判别式Δ≥0． （2）先求出方程的根，因为根为自然数，再通过此来限制即可得出a的值． 【解答】（1）证明：当2a+2＝0时，a＝﹣1． 此时原方程为12x+6＝0．有实数根． 当2a+2≠0时，Δ＝9（a﹣3）2+4（2a+2）（2a﹣4） ＝25a2﹣70a+49 ＝（5a﹣7）2≥0， ∴原方程有两个实数根， 综上，原方程一定有实数根． （2）解：原方程的根． 则， ． 由，知a+1是6的因数． ∴a+1≥1． 当a+1＝1，即a＝0时，x1＝2﹣6＝﹣4（舍）． 当a+1＝2，即a＝1时，x1＝2﹣3＝﹣1（舍）． 当a+1＝3，即a＝2时，x1＝2﹣2＝0． 当a+1＝6，即a＝5时，x1＝2﹣1＝1． 综上，a的值为2或5． 52．（2026春•河口区期末）已知关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m+2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，求m的值． 【答案】（1）； （2）m＝5． 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）将x＝p代入方程得2p2+3p﹣m+2＝0，整理得出2p2+3p＝m﹣2，再代入（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，计算即可得出结果． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m+2＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣m+2）≥0， 解得：； （2）∵p是方程的一个实数根， ∴2p2+3p﹣m+2＝0， 变形得2p2+3p＝m﹣2， ∵（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6， ∴（m﹣2﹣1）（m﹣2）＝6， 解得m1＝0，m2＝5， ∵， ∴m＝5． 53．（2026春•奉化区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 【答案】（1）因为关于x的一元二次方程为x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0， 则Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4（2m﹣2）＝m2+2m+1﹣8m+8＝（m﹣3）2≥0， 所以不论m为何值，方程总有两个实数根； （2）7或8． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）根据等腰三角形的性质，结合分类讨论的数学思想进行计算即可． 【解答】（1）证明：因为关于x的一元二次方程为x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0， 则Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4（2m﹣2）＝m2+2m+1﹣8m+8＝（m﹣3）2≥0， 所以不论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由题知， 当AB为等腰三角形ABC的底时， Δ＝（m﹣3）2＝0， 则m＝3， 所以方程为x2﹣4x+4＝0， 解得x1＝x2＝2， 因为2+2＞3， 所以m＝3符合题意， 此时△ABC的周长为：2+2+3＝7； 当AB为等腰三角形ABC的腰时， 将x＝3代入方程得， 9﹣3（m+1）+2m﹣2＝0， 解得m＝4， 所以方程为x2﹣5x+6＝0， 解得x1＝2，x2＝3， 因为2+3＞3， 所以m＝4符合题意， 此时△ABC的周长为：2+3+3＝8， 综上所述：△ABC的周长为7或8． 题型八 根与系数的关系 54．（2026•南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，利用计算即可． 【解答】解：方程的两根之积为． 故选：B． 55．（2026•内江模拟）若x1，x2是方程x2﹣10x﹣1＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　） A．11 B．10 C．﹣9 D．0 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含x1的一次式表示，再结合韦达定理（根与系数的关系）得到x1+x2的值，最后代入代数式化简求值． 【解答】解：由条件可知：， ∴， ∵x1，x2是方程x2﹣10x﹣1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝10， ∴ ＝x1+x2+1 ＝10+1 ＝11． 故选：A． 56．（2026•马鞍山三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+4＝0的两个根为x1，x2，且满足x1+x2＝x1•x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解k，再验证方程存在两个实根即可得到结果． 【解答】解：由条件可知：x1+x2＝3k，x1•x2＝4， ∵x1+x2＝x1•x2， ∴3k＝4， 解得：， 验证判别式：Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×4＝0，符合要求， 故k的值为． 故选：A． 57．（2026•江州区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0的两实数根之积等于m2﹣9m+2，则m的值为（　　） A．0 B．﹣10 C．10 D．0 或10 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积，结合题意列方程求解m，再根据方程有两个实数根，利用判别式检验，舍去不符合题意的解． 【解答】解：由题知， 一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0两根之积为m+2， 又因为该方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2， 所以m+2＝m2﹣9m+2， 解得m1＝0，m2＝10， 因为方程有两个实数根， 所以Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m+2）＝m2﹣6m﹣7≥0， 当m＝0时，Δ＝﹣7＜0，此时方程无实数根，舍去， 当m＝10时，Δ＝102﹣6×10﹣7＝33＞0，符合题意， 所以m的值为10． 故选：C． 58．（2026春•肥城市期末）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则m2﹣mn+n﹣2m的值为　15　 ． 【答案】15． 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 【解答】解：由一元二次方程根的定义得m2﹣3m﹣6＝0，即m2＝3m+6， 由根与系数的关系得m+n＝3，mn＝﹣6， 将m2＝3m+6代入所求代数式得： m2﹣mn+n﹣2m＝3m+6﹣mn+n﹣2m＝m+n﹣mn+6＝3﹣（﹣6）+6＝15 ＝m+n﹣mn+6 ＝3﹣（﹣6）+6 ＝15． 故答案为：15． 59．（2026春•仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根为x1，x2，求的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×[﹣m（m+4）] ＝16+4m2﹣16m ＝4（m﹣2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）16． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到Δ＝4（m﹣2）2，再利用非负数的性质得到Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，先把原式变形为x1（x1+x2）+4x2，再整体代入得到原式＝4（x1+x2），然后再次利用整体代入的方法计算． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×[﹣m（m+4）] ＝16+4m2﹣16m ＝4（m﹣2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝4， 原式＝x1（x1+x2）+4x2 ＝4x1+4x2 ＝4（x1+x2） ＝4×4 ＝16． 60．（2026春•成武县期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围．； （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求a的值． 【答案】（1）a的取值范围是且a≠0； （2）2． 【分析】（1）利用根的判别式即可解决问题． （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根， a≠0，Δ＝[2（a+1）]2﹣4a（a﹣1）＞0， 解得， ∴a的取值范围是且a≠0． （2）由题意可知， ，． 由 （x1+x2）2﹣2x1x2＝8可得： 28， 解得：a1，a2＝2， 经检验，a1，a2＝2是方程的解． ∵a的取值范围是且a≠0． ∴a＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $