专题01 一元二次方程的解法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“通法-题型-挑战”三阶架构系统整合一元二次方程解法，通过题型特征分类与方法模版提炼，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|提炼解法选择策略（因式分解优先等）、易错提醒（a≠0等）|构建解法选择的底层逻辑，衔接后续题型应用| |题型归纳|5类题型（各含1典例+3变式）|各题型操作流程（如配方法“移项-配方-开方”）、换元法转化思想|从基础解法（直接开方）到高阶技巧（换元法），形成梯度进阶| |压轴挑战|16道综合题|综合解法应用、跨知识整合（如几何与方程结合）|从单一解法到多法融合，体现数学思维的系统性与应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元二次方程的解法的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法解一元二次方程 题型二、配方法解一元二次方程 题型三、公式法解一元二次方程 题型四、用因式分解法解一元二次方程 题型五、换元法解一元二次方程 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 -题型特征：含一个未知数、最高次为2，通常化为一般式x2+bx+c=0。 -解题方法：优先考虑因式分解（十字相乘）法；系数复杂时用公式法：缺常数项用直接开平方或提公因 式；缺一次项用直接开平方。 -易错提醒：先化为标准形式：注意0，公式法须先算判别式：开平方要带士号。 同题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法解一元二次方程 (x+1)2-18=0 典例1.(25-26九年级上江苏南京·期末)解方程 题型模版 1.特征：方程可化为x2p或(ax+b)2p(p20)的形式，缺一次项。 2.方法：直接对两边开平方，得x=±Vp或ax+b=±Vp,再解一次方程。 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-1.(25-26九年级上全国课后作业)用直接开平方法解下列方程： 1)20-y2=18 、3(x+1)2-75=0 (2 变式1-2.(23-24九年级上全国单元测试)用直接开平方法解方程： ①x-3=16 (2(2xr-32=25 变式1-3.(2026八年级下·全国·专题练习)用直接开平方法解方程： 0)(2x-2=6; (23(x-1)-6=0 6x+3x-3)=9 ④(x+2-+ 类型二、配方法解一元二次方程 典例2.(25-26九年级上湖北十堰阶段检测)用配方法解方程： 0P-42x-2=0 g3r2-5x-1=0 题型模版 1.特征：方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，或可通过变形凑成完全平方式。 2方法：移常数项，加一次项系数一半的平方配方，写成(x+)p,再开方求解。 变式2-1.(25-26九年级上·全国·期中)用配方法解方程： ()(x+3)-2x+5 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②5r-3x+5=r2+5x 变式2-2.(25-26九年级上广东揭阳阶段检测)用配方法解下列方程： 0)r-4x-1=0 2-5=2V5x 变式23.(2425八年级下·全国课后作业)运算能力用配方法解方程： 02r2-4x-1=0 (Q2-x-1=0, 07-3x+6=0, ④2x+30x-6)=16 题型三、公式法解一元二次方程 典例3.(25-26八年级下全国课后作业)用公式法解下列方程： 3x2=2(2-x) (1) ②+2x+1=-2x+9 题型模版 1.特征：适用于所有一元二次方程x2+bx+cO(a≠0)，无需特殊形式，通用解法。 2,方法：代入求根公式x-b士5D-4aC,先计算判别式Ac再求根。 2a 变式3-1.(25-26九年级上·全国课后作业)用公式法解方程： 02r2-5x+3=0 (2)-2xc+0=1: (3)0y-3)=2+y1-3y) 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2.(25-26八年级全国·暑假作业)用公式法解下列方程. 、x2-3x-7=0 (1) 3-5=20x+) g)2x+V5r-5=0 变式33.(2026八年级下·全国专题练习)使用“公式法”解一元二次方程 ④2-2-=0. 4； 22x-22x+1=0 3x2+20=2x2+8x (3) 题型四、用因式分解法解一元二次方程 典例4.(25-26九年级下山东淄博期末)解下列方程： 0-2x-8=0 22x(-3列=50x-3) 题型模版 1.特征：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积（提公因式、十字相乘、平方差等）。 2方法：移项使右边为0，左边因式分解，令各因式为0，得两个一元一次方程求解。 变式41.(25-26八年级下辽宁大连期末)解一元二次方程： 0+2x-3=0 (2(r-4)=8-2x 变式42.(25-26八年级下浙江绍兴阶段检测)解一元二次方程： 0①3-2x-1=0 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2-3+2x(c-3)=0 变式43.(25-26八年级下·山东淄博期末)解方程： (1)x2+12x+27=0 ②2x-=2(2x-) 题型五、换元法解一元二次方程 典例5.(25-26九年级上·贵州遵义期中)阅读材料，解答问题. 解方程：(4--10(4r-1)+24=0 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 2-10y+24=0 则原方程化为 月=62=4 解得 ∴.4x-1=6或4x-1=4 75 4,= .x= 4. 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： x4-3x2+2=0 (1) a2-2x-5x2+10x-6=0 题型模版 1特征：方程含有相同或对称的重复结构（如高次、分式、根式），通过整体代换可化为二次方程。 2,方法：设重复部分为新未知数（如设t=x+1),解出t后，再代回解原未知数。 X 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式5-1.(25-26九年级上河南商丘阶段检测)阅读下面的材料，回答问题： 解方程-5r2+4=0 x2=y 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 ,那么 x4=y2 2-5y+4=0 ,于是原方程可变为 ，解这个方程得=少=4 当y=1时，x2=1,.x=±1； 当y=4时，x2=4,.x=2: 六原方程有四个根： =1,x3=-1x3=2x4=-2 请运用上面学到的方法填空： ①解方程(：+2-4(0+2x-5=0,则2+2x= 因若+6e+-刂20，求心+6 变式5-2.(25-26九年级上江苏扬州期中)阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一 个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化。 如：解方程-2-6=0，可将方程安形为(c-r-6=0,设=y,则(c)=少，原方程化为 y2-y-6=0 =-2，乃=3.当=2时，=-2无意义，去：当=3时，=3，解得 解得 x=士5，六原方程的解为=5，与=V5 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：x4-4x2-12=0: ②已知实数、y满足(2+2+3(2x2+2y2-5)=-7 求+少的值. 变式5-3.(25-26九年级上山东临沂阶段检测)【阅读材料】解方程：x-3x2+2=0. 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：设x2=m,则原方程变为m2-3m+2=0, m=1,m2=2 解得， 当%1 时，2=1 解得术1 当m=22=2 解得土V 所以，原方程的解为=。=-山，x=2,x=-2 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：x4-5x2+6=0: (②利用上述方法，解方程：(r-2x'-42+8r-12=0 同压轴挑战一支克高难压轴，突威思维上保 1.用配方法解一元二次方程2x2-4x-6=0时，配方后的方程是() A.(2x-=8B.(c-4 c.(r-2=8 D.2(-102=4 2.方程2少=8+3 的根是() 1有酒g1@ 2 见方%座 2 c., 2 n为西 2 3.关于x的方程x+m心广=，下列说法正确的是《) 时，有两个解女=土V万-m A.当n≥0。 B.有两个解x=士Vn-m 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当”≤0时，有两个解=士n-m D.当”≤0时，方程无实根 4.已知菱形ABCD的边长是一元二次方程x2-12x+35=0的一个根，且两条对角线长的和为14，则菱形 ABCD的边长为() A.5 B.7 C.12 D.5或7 5.若方程r+6x+2=0能配方成x+p+g= 的形式，则直线'=px+9不经过第 象限. 6已知ab满起0*h=a+6 3,已知3*x=4,x为正数，则x=一 7.已知m+n儿m++2列小-8=0.则m+㎡的值为 8.方程x2-7x+12=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为一 9.解方程： 1)x-3)°=2(x-3) 2x+10(x-1)=2V2x 10.用十字相乘法解方程 1)-r-90=0 222+x-10=0 11.用适当的方法解下列方程： 2r-2-4=0 2-4r-1=0 B)r-5x+6=0 12.用适当的方法解下列一元二次方程： 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)3(x--27=0 2-8r-9=0 B)x+4)}'=2x+8 13.解方程 1)r-2x-2=0 22x(2x-0=3(2x-) B③r+2x+3)=x+14 14.用适当的方法解下列一元二次方程： 4x2=12x 0)9 22x(6r-3)+x=3 B4r-28x+13=0 4倒r+x+2=0 3 15.(1)解方程：x2+8x-20=0: (2)解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“x2-4x+3=0”，让同学们求解. 球宝和甜宝两位同学的做法如下： 球宝同学的解答 甜宝同学的解答 解：原方程可化为 解：原方程可化为x2-4x=3, (x-1)x-3)=0 x2-4x+4=3+4, 当x-1=0时， (x-2)2=7 x=1, 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x-3=0时， 所以-2=±V万 x=3, =1x2=3 所以 所以=7+2.飞=-万+2 ①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断_（填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因 是_： ②请你写出其他的正确解法. 16。阅读材料，解答问慰。材：为解方程-2-3(-2)=0，我们可以将2-2作为一个整体，然 后设y=-2,则(：-2=少.原方程可化为：户-3y=0,解得：1=0，=3. y=0 x2-2=0 时， ，解得：x=±V 当=时，r-2=3,解得：=士v5 所以原方程的解为：=V2,=V2,=V5,x=5 1方程：(x+2-8(+2)+15=0的解为： 2解方程：6(t+2x+5(:+2x)-21=0:(写出解题过程) 10/10 专题01 一元二次方程的解法的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法解一元二次方程 题型二、配方法解一元二次方程 题型三、公式法解一元二次方程 题型四、用因式分解法解一元二次方程 题型五、换元法解一元二次方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：含一个未知数、最高次为2，通常化为一般式ax2+bx+c=0。 - 解题方法：优先考虑因式分解（十字相乘）法；系数复杂时用公式法；缺常数项用直接开平方或提公因式；缺一次项用直接开平方。 - 易错提醒：先化为标准形式；注意a≠0；公式法须先算判别式；开平方要带号。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法解一元二次方程 典例1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键．先移项，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 题型模版 1.特征：方程可化为x2=p或(ax+b)2=p（p≥0）的形式，缺一次项。 2.方法：直接对两边开平方，得x=或ax+b=，再解一次方程。 变式1-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 变式1-2．（23-24九年级上·全国·单元测试）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴，． 变式1-3．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）先整理成，再直接开平方可得； （4）利用直接开平方法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， 则， ∴，即，； （4）解：∵． ∴或， 解得，． 类型二、配方法解一元二次方程 典例2．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 题型模版 1.特征：方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，或可通过变形凑成完全平方式。 2.方法：移常数项，加一次项系数一半的平方配方，写成(x+n)2=p，再开方求解。 变式2-1．（25-26九年级上·全国·期中）用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 变式2-2．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． （1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可； （2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 变式2-3．（24-25八年级下·全国·课后作业）运算能力用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，配方法的核心步骤为：先将二次项系数化为1，再移项将常数项移至方程右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后通过直接开平方法求解方程的根． （1）先将二次项系数化为1，再依次进行移项、配方、开平方操作求解； （2）先消除二次项的分数系数，转化为整系数方程后，按配方法步骤求解； （3）先将二次项系数化为正数且为1，再移项、配方、开平方求解； （4）先将方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再按照配方法的标准步骤求解． 【详解】（1）解：两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， ∴， 即，； （2）解：两边同时乘以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （3）解：两边同时乘以得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （4）解：展开得：， 合并同类项得：， 移项得：， 两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，． 题型三、公式法解一元二次方程 典例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定、、的值，代入求根公式求解； （2）先将方程整理为一般形式，再确定系数后用求根公式求解． 【详解】（1）解：整理，得． ， ， ，． （2）解：整理，得． ， ， ，． 题型模版 1.特征：适用于所有一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，无需特殊形式，通用解法。 2.方法：代入求根公式x=，先计算判别式=b2-4ac再求根。 变式3-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)方程没有实数解； (3)，． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程没有实数解； （3）， 方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 变式3-2．（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 变式3-3．（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 题型四、用因式分解法解一元二次方程 典例4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 题型模版 1.特征：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积（提公因式、十字相乘、平方差等）。 2.方法：移项使右边为0，左边因式分解，令各因式为0，得两个一元一次方程求解。 变式4-1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． 变式4-2．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先因式分解转化为两个因式的乘积，即可求得答案； （2）先提取公因式转化为两个因式的乘积，即可求得答案． 【详解】（1）解：因式分解，得， ，； （2）解：提取公因式，得， 即， ，． 变式4-3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 题型五、换元法解一元二次方程 典例5．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 题型模版 1.特征：方程含有相同或对称的重复结构（如高次、分式、根式），通过整体代换可化为二次方程。 2.方法：设重复部分为新未知数（如设 t = x + ），解出t后，再代回解原未知数。 变式5-1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 【答案】(1)5或 (2)5 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． （2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴， 故答案为：5或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 变式5-3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，解得． 所以，原方程的解为． （2）， ， 设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，此方程无实数根． 所以，原方程的解为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： 故答案选B 2．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，用公式法、配方法均可求解. 【详解】解：将方程化为一般式， ∴a=2，b=-8，c=-3， ∴Δ==64-4×2×（-3）=88＞0， ∴ 故选： A． 3．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，当时，才有意义，那么把原方程两边同时开平方可得，即，当时，无意义，即此时方程无解，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ ∴当时，有两个解， 当时，无意义，即此时方程无解， 故选：A． 4．已知菱形的边长是一元二次方程的一个根，且两条对角线长的和为，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性质和解一元二次方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出，求出方程的解，利用三角形的三边关系确定解即可． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 解， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．若方程能配方成的形式，则直线不经过第 象限． 【答案】二 【详解】由配方，得，即， ，， 的解析式为， 图象不经过第二象限． 6．已知a，b满足，已知，x为正数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，根据题意得到方程，再将方程转换为一元二次方程即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 整理得， 两边平方得， 整理得， 解得，， 当时，，故舍去， ， 故答案为：． 7．已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．设，根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 8．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长．熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解：， ， 解得：，， 若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为； 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为． 则这个三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴，， ∴ （2）解： ， ， ∴． 10．用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 11．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的方法进行求解是解题的关键． （1）根据直接开平方法进行求解即可； （2）根据配方法进行求解即可； （3）根据因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ， ， ． （3） ， 或， ． 12．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）去括号整理，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，； （3）解： 解得，． 13．解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴ 解得； （2） 或 解得，； （3） ∴或 解得，． 14．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述两种解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程； （3）利用公式法解一元二次方程； （4）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：移项得： 提取公因式，得到： 和， 解得：，； （2）去括号，得：， 即， 方程左边因式分解，得：， ∴和， 解得：，； （3）方程， , ∴， ∴， ∴，； （4）， 方程两边同乘，得， , ∴， ∴， 解得：，． 15．（1）解方程：； （2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“”，让同学们求解．球宝和甜宝两位同学的做法如下： 球宝同学的解答 甜宝同学的解答 解：原方程可化为 ． 当时， ， 当时， ， 所以，． 解：原方程可化为， ， ． 所以， 所以，． ①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因是 ； ②请你写出其他的正确解法． 【答案】（1）；（2）①甜宝；原方程常数项移项时未变号；② 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法法解一元二次方程，解题关键是掌握上述两方法求解． （1）利用因式分解法求解； （2）先判断甜宝解法错误，再找出错因，然后写出正确解法即可． 【详解】（1）解：方程左边分解因式，得：， 可得：或， 解得：，； （2）①甜宝同学的解法有误，错误的原因是原方程常数项移项时未变号； 故答案为：甜宝，原方程常数项移项时未变号； ②∵， ∴， 所以， 所以· 16．阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：． 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为：． (1)方程：的解为：_______ (2)解方程：；（写出解题过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）设，则原方程可以化为，再仿照题意解方程即可； （2）设，则原方程可以化为，再仿照题意解方程即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为：； （2）解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，此时方程无解； 综上所述，原方程的解为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $